Trigonometrik Özdeşlikler Tekrarı

Bazı trigonometrik özdeşliklerin kanıtlarını tekrarlama.

.

Bu vidyoda anlatacağım trigonometrik özdeşlikleri anlatan birçok vidyo yapmıştım.

.

.

Bunu yapmamın nedeni, bunları bilmemi gerektiren bazı kalkülüs problemleri çözmem ve artık daha iyi bir kayıt yazılımına sahip olamamdır.

.

.

Böylece bir taşla iki kuş vururum diye düşündüm, bilgilerimi tazelemem için yeniden kaydedeceğim.

.

Trigonometrik özdeşlikleri bildiğinizi kabul edeceğim, çünkü bunları hatırlatmak ve kanıtlamak için vidyolar yapmıştım.

.

.

"a artı b" nin sinüsü sinüs a çarpı kosinüs b artı sinüs b çarpı kosinüs a'dır.

.

Bu ilk öğrendiğimizdi.

Eğer bilmek istediğimiz-- şunu daha değişik yazayım.

.

Eğer sinüs a eksi c'yi açmayı isteseydik ne olacaktı?

.

Eksi c'ye eşit olan nedir?

Üstteki formülü kullanıp ifadenin, sinüs a çarpı kosinüs eksi c artı sinüs eksi c çarpı kosinüs a'ya eşit olduğunu yazabilirdik.

.

.

Bu video varsayım kabul edeceğimiz, kosinüs eksi c eşittir kosinüs c, olduğunu biliyoruz.

.

.

Kosinüs bir çift fonksiyondur.

Bunu kosinüsün grafiğine ya da birim çembere bakarak görebilirsiniz.

.

Sinüs ise tek fonksiyondur.

Bu yüzden sinüs eksi c, sinüs c'ye eşittir.

.

Bu bilgileri kullanarak ikinci satırı yeniden yazabiliriz; sinüs a eksi c, eşittir sinüs a çarpı kosinüs c.

.

.

Çünkü kosinüs eksi c, kosinüs c ile aynı şeydir.

.

Çarpı kosinüs c.

Sonra da, eksi sinüs c.

Bunun yerine şunu yazabilirim.

Eski sinüs c çarpı kosinüs a.

Yani bunu yalancıktan kanıtlamış olduk.

.

Doğruya doğru.

Bunları ihtiyacım olan birkaç trigonometrik özdeşlikleri daha kanıtlamak için kullanacağım.

.

Bir diğer özdeşlik kosinüs a artı b eşittir kosinüs a-- bu durumda kosinüsler ile sinüsleri karıştırmayın.

.

.

Kosinüs a çarpı sinüs b.

Ve bu eksi-- pardon.

Size karıştırmayın dedim, kendim karıştırdım.

Kosinüs a çarpı kosinüs b eksi sinüs a çarpı sinüs b.

Şimdi, eğer kosinüs a eksi b'nin ne olduğunu öğrenmek istiyorsanız, aynı özellikleri kullanmalısınız.

.

Kosinüs eksi b, kosinüs b olacaktır.

Kosinüs a çarpı kosinüs b olacaktır.

.

Burada sinüs eksi b'niz var, o ise sinüs b'ye eşit.

.

Bu yüzden eksi sadeleşecek yani, artı sinüs a çarpı sinüs b olacaktır.

.

Bunun karıştırılma oranı yüksek.

Burada artı işareti varken, oraya eksi koyuyorsunuz.

Eksi işareti varsa, artı koyuyorsunuz.

.

.

Bunlara takılıp kalmak istemiyorum, çünkü daha çok özdeşliğimiz var.

.

Peki kosinüs 2a için bir özdeşlik isteseydim ne olurdu?

.

Kosinüs 2a.

Bu kosinüs a artı a ile aynı şey.

O zaman yukarıdaki formülü uygulayabiliriz.

B yerine ikinci bir a koyarsak, ifade kosinüs a çarpı kosinüs a eksi sinüs a çarpı sinüs a olacaktır.

.

.

Bu durumda da b, a'dır, yani bu kosinüs kare a olarak yeniden yazabilirim.

.

Sadece kosinüs a çarpı kendisini yazdım.

Eksi sinüs kare a.

Sanırım bu özdeşlik oldu bile.

Kosinüs 2a kosinüs kare a eksi sinüs kare a'ya eşit.

.

Bu vidyoda gösterdiğim özdeşlikleri kutu içene alıyım.

.

Bunu demin gösterdim.

Eğer bunla tatmin olmadıysam?

Eğer terimleri kosinüs türünden istiyorsam?

Trigonometrik fonksiyonları birim çember değerleriyle yazabiliriz.

.

Bu en temel özdeşlik.

Sinüs kare a artı sinüs kare a eşittir 1.

.

Bunu daha iyi şekilde yazayım.

.

Sinüs kare a eşittir 1 eksi kosinüs kare a.

.

Bunu alıp burada yerine yazabiliriz.

Yani bu ifadeyi, kosinüs kare a eksi sinüs kare a'ye eşit olduğu şeklinde yazabiliriz.

.

Ama sinüs kare a şuna eşitti.

Farklı renkte yazacağım.

eksi 1 eksi kosinüs kare a.

Bu yüzden sinüs kare'nin yerine bunu yazdım.

Yani bu, kosinüs kare eksi 1 artı kosinüse eşit oldu.

.

İşlemi yaparsak.

Sağda devam edeceğim.

Elimizde 1 kosinüs kare a + başka bir kosinüs kare a var, yani bu 2 kosinüs kare a eksi 1 olur.

.

Bunların hepsi kosinüs 2a'ya eşit.

.

Eğer kosinüs kare a'nın bular türünden eşiti veren bir özdeşliğie ihtiyacım olsaydı?

.

Bunu çözebiliriz.

İki tarafa da 1 ekleriz, şunu yazayım.

.

Bu özdeşliklerimizden biri.

Eğer iki tarafa 1 eklersek eşitlik, 2 kere kosinüs kare a eşittir kosinüs 2a artı bir olacak.

.

Ve iki tarafı da 2'ye bölersek, kosinüs kare a eşittir 1/2 kere 1 artı kosinüs 2a buluruz.

.

.

Tamamdır.

Başka bir özdeşlik bulduk.

Kosinüs kare a, bazen buna derece düşürme özdeşliği derler.

.

Eğer sinüs kare a cinsinden bir şey isteseydik ne olurdu?.

.

Geriye gidip, sinüs kare a eşittir 1 eksi kosinüs kare a, özdeşliğini kullanırdık.

.

.

Ya da öteki yoldan giderdik.

İki taraftan da sinüs kare a çıkarabiliriz ve elimizde-- şuraya yazayım.

.

Eğer iki taraftan da sinüs kare a çıkarırsanız elinizde,kosinüs kare a eşittir 1 eksi sinüs kare a olur.

.

Buradaki formüle dönüp-- mavi renkte yazacağım.

.

Kosinüs 2a eşittir 1 eksi sinüs kare a eksi sinüs kare a yazabiliriz.

.

.

.

.

Yani kosinüs 2a neye eşit oldu?

Bakalım.

Elimde eksi sinüs kare a eksi sinüs kare a var.

.

Yani elimde 1 eksi 2 sinüs kare a var.

İşte başka bir özdeşlik.

Kosinüs 2a'yı yazmanın başka bir yolu.

Kosinüs 2a'yı yazmanın birçok yolunu öğreniyoruz.

Şimdi eğer bunu sinüs kare a için çözmek istersek, iki tarafa da bundan ekleyebiliriz.

.

Yerden kazanç için şuraya yazayım.

.

Biraz aşağı ineyim.

Buraya geçeceğim.

İki tarafa da 2 sinüs kare a eklersem, elimde 2 sinüs kare a artı kosinüs 2a eşittir 1 kalır.

.

İki taraftan da kosinüs 2a çıkaralım.

Elinizde 2 sinüs kare a eşittir 1 eksi kosinüs 2a olur.

Sonra, iki tarafı da 2 ye bölersiniz, ve sinüis kare a eşittir 1/2 kere 1 eksi kosinüs 2a bulursunuz.

.

Elimizde diğer bir buluşumuz oldu, sanırım böyle adlandırılır.

.

İlginç.

Simetriye bakmak her zaman ilginçtir.

İfadeler aynı, sadece kosinüs kare için artı kosinüs 2a ve sinüs kare için eksi kosinüs 2a var.

.

.

Şimdiden bir sürü ilginç şey bulduk.

Bakalım sinüs 2a için bir şeyler yapabilecek miyiz?

.

Daha önce kullanmadığım yeni bir renk kullanayım.

Neredeyse her rengi kullandım.

Sinüs 2a, sinüs a artı sinüs a'ya eşit.

.

O da sinüs kare a çarpı-- bu kadar kalın olsun istemedim.

.

Çarpı kosinüs a artı-- ve buradaki a ikinci a.

.

Aslında bunu o şekilde görebilirsiniz.

Sadece sinüs a artı b özdeşliğini kullanıyorum.

Artı sinüs ikinci a çarpı kosinüs birinci a.

.

Aynı şeyi iki kere yazdım, yani bu 2 sinüs a, kosinüs a.

.

Bu biraz daha kolay oldu.

Yani sinüs 2a buna eşit.

Bu başka bir sonuç oldu.

.

Biliyorum, bütün bu sinüslerle ve kosinüslerle uğraşmak tan yoruldum.

.

Kalkülüs problemlerim için gerekli bütün sonuçlara ulaşmayı başardım, umarım bu sizin için iyi bir tekrar olmuştur, çünkü benim için oldu.

.

.

Bunları yazabilirsiniz.

İsterseniz ezberleye de bilirsiniz, ama bence bunları not edin ki bütün bu formulleri başlangıç formüllerinden çıkarabileceğinizden emin olun.

.

.

.

Bunların, trigonometrik fonksiyonların basit tanımlarından çıkarılan kanıtlarım da var.

.

.