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Trigonometry Identity Review/Fun

  • 0:01 - 0:02
    我已经制作了一些视频
  • 0:02 - 0:04
    来记录我所要教授的知识
  • 0:04 - 0:05
    在这个视频中
  • 0:05 - 0:06
    我要讲一下三角恒等式
  • 0:06 - 0:08
    录制这个视频是因为
  • 0:08 - 0:10
    我需要复习一下学过的知识
  • 0:10 - 0:12
    因为我要做些微积分的问题
  • 0:12 - 0:13
    这需要先了解三角学知识
  • 0:13 - 0:15
    我现在有更好的录制软件了
  • 0:15 - 0:18
    所以想一举两得
  • 0:18 - 0:19
    录制视频
  • 0:19 - 0:22
    也算是在脑子里重新复习一下知识
  • 0:22 - 0:24
    这些三角恒等式
  • 0:24 - 0:25
    假设大家已经了解了
  • 0:25 - 0:27
    因为我已经做过关于它们的视频了
  • 0:27 - 0:29
    并且视频中提到了一些
  • 0:29 - 0:30
    记忆和证明的方法
  • 0:30 - 0:34
    sin(a+b)等于
  • 0:34 - 0:39
    sina・cosb
  • 0:39 - 0:48
    加上sinb・cosa
  • 0:48 - 0:49
    这是第一个式子
  • 0:49 - 0:51
    假设这个式子在这段视频中是已知条件
  • 0:51 - 0:53
    如果我们想知道sin
  • 0:53 - 0:54
    我用不同形式写一下
  • 0:54 - 1:00
    如果我想求出sina加
  • 1:00 - 1:02
    这样写一下 -c 会怎样？
  • 1:02 - 1:05
    这个和减c是一样的 对吧？
  • 1:05 - 1:05
    好的
  • 1:05 - 1:08
    我们可以用上面这个公式
  • 1:08 - 1:12
    这就等于sina
  • 1:12 - 1:16
    乘以cos(-c)
  • 1:16 - 1:24
    加上sin(-c)乘以cosa
  • 1:24 - 1:25
    我们知道
  • 1:25 - 1:26
    我想还有另外一个
  • 1:26 - 1:28
    在这个视频中要用到的假设
  • 1:28 - 1:32
    cos(-c)
  • 1:32 - 1:35
    等于cosc
  • 1:35 - 1:38
    余弦函数是偶函数
  • 1:38 - 1:39
    大家可以
  • 1:39 - 1:42
    查阅余弦函数表
  • 1:42 - 1:43
    或者通过单位圆推导出来
  • 1:43 - 1:45
    正弦函数是奇函数
  • 1:45 - 1:49
    sin(-c)实际上等于
  • 1:49 - 1:53
    -sinc
  • 1:53 - 1:55
    我们可以利用这些信息
  • 1:55 - 1:58
    把第二行重写到这里
  • 1:58 - 2:02
    sin(a-c)等于
  • 2:02 - 2:05
    sina乘以cosc
  • 2:05 - 2:08
    因为cos(-c)等于
  • 2:08 - 2:09
    cosc
  • 2:09 - 2:12
    乘以cosc
  • 2:12 - 2:15
    然后 减去sinc
  • 2:15 - 2:17
    不这样写了 我要这样写
  • 2:17 - 2:23
    减去sinc乘以cosa
  • 2:23 - 2:26
    这样我们通过已知的这个和这个
  • 2:26 - 2:28
    证明了这个
  • 2:28 - 2:28
    有道理
  • 2:28 - 2:30
    我要用所有的这些
  • 2:30 - 2:33
    去证明更多
  • 2:33 - 2:34
    我需要的三角恒等式
  • 2:34 - 2:36
    另一个三角恒等式是
  • 2:36 - 2:42
    cos(a+b)等于cos a
  • 2:42 - 2:44
    在这种情况下
  • 2:44 - 2:46
    你们不要把cos和sin搞混了
  • 2:46 - 2:49
    cosa乘以sinb
  • 2:49 - 2:51
    这是负 哦 不好意思
  • 2:51 - 2:53
    我刚说了你们不要搞混了
  • 2:53 - 2:54
    然后我就混了
  • 2:54 - 2:57
    乘以cosb
  • 2:57 - 3:03
    减去sina乘以sinb
  • 3:03 - 3:04
    现在 如果你们想知道
  • 3:04 - 3:08
    cos(a-b)等于什么
  • 3:08 - 3:10
    就可以用同样的性质
  • 3:10 - 3:11
    cos(-b)
  • 3:11 - 3:13
    同样的 等于cosb
  • 3:13 - 3:14
    所以这个等于
  • 3:14 - 3:17
    cosa乘以cos
  • 3:17 - 3:21
    cos(-b)等于cosb
  • 3:21 - 3:23
    但是你们在这里会遇到sin(-b)
  • 3:23 - 3:27
    它等于-sinb
  • 3:27 - 3:28
    这个负号和这个负号抵消
  • 3:28 - 3:34
    所以就是加上sina乘以sinb
  • 3:34 - 3:35
    这有点难
  • 3:35 - 3:38
    当这边是加号 那边就是减号
  • 3:38 - 3:39
    当这边是减号
  • 3:39 - 3:41
    那边就是个加号
  • 3:41 - 3:42
    但是很公平
  • 3:42 - 3:43
    我不想在这个问题上多说
  • 3:43 - 3:47
    因为我们还有更多等式要讲
  • 3:47 - 3:50
    假如我要证明
  • 3:50 - 3:53
    cos2a呢？
  • 3:53 - 3:57
    cos2a
  • 3:57 - 3:59
    它其实就是
  • 3:59 - 4:02
    cos(a+a)
  • 4:02 - 4:03
    这样我们就可以使用上面这个公式
  • 4:03 - 4:05
    如果第二个a就是b
  • 4:05 - 4:07
    这样这个式子就等于
  • 4:07 - 4:14
    cosa・cosa减去
  • 4:14 - 4:18
    sina・sina
  • 4:18 - 4:21
    在这个题目中 b也是a
  • 4:21 - 4:23
    重写一下
  • 4:23 - 4:27
    这个等于cosa的平方
  • 4:27 - 4:28
    我刚写了cosa
  • 4:28 - 4:31
    乘以它自己
  • 4:31 - 4:35
    减去sina的平方
  • 4:35 - 4:38
    我认为已经导出这个公式了
  • 4:38 - 4:39
    cos2a等于
  • 4:39 - 4:41
    cosa的平方减去
  • 4:41 - 4:42
    sina的平方
  • 4:42 - 4:45
    我把这个视频中要展示的
  • 4:45 - 4:47
    公式都圈起来
  • 4:47 - 4:50
    我刚给你们展示了这个
  • 4:50 - 4:51
    我要是还不满足呢？
  • 4:51 - 4:54
    如果我想只用cos表示呢？
  • 4:54 - 4:57
    我们突然想到了三角函数在
  • 4:57 - 4:58
    单位圆中的定义
  • 4:58 - 5:01
    这是最基本的定义
  • 5:01 - 5:05
    sina的平方加上cosa的平方
  • 5:05 - 5:07
    等于1
  • 5:07 - 5:10
    或者你们可以写成
  • 5:10 - 5:11
    我来想一个最好的方法
  • 5:11 - 5:16
    你们可以把sina的平方写成
  • 5:16 - 5:19
    1减去cosa的平方
  • 5:19 - 5:20
    然后我们就可以用这个式子
  • 5:20 - 5:21
    代换这里
  • 5:21 - 5:24
    所以这个式子也可以写成
  • 5:24 - 5:29
    cosa的平方减去sina的平方
  • 5:29 - 5:32
    sina的平方在这里
  • 5:32 - 5:36
    所以减去 我换个颜色
  • 5:36 - 5:39
    减去(1-cosa的平方)
  • 5:39 - 5:41
    这就是我刚刚代替
  • 5:41 - 5:42
    sina的平方的式子
  • 5:42 - 5:46
    这个就等于cosa的平方
  • 5:46 - 5:50
    减1加cosa的平方
  • 5:50 - 5:52
    也就是 只要加起来就可以了
  • 5:52 - 5:54
    我写到右边
  • 5:54 - 5:55
    一个cosa的平方
  • 5:55 - 5:57
    加上另一个cosa的平方
  • 5:57 - 6:03
    也就是2倍cosa的平方减1
  • 6:03 - 6:08
    所有的这些等于cos2a
  • 6:09 - 6:11
    如果我想
  • 6:11 - 6:14
    用这个表示cosa的平方呢？
  • 6:14 - 6:15
    我们可以解决一下这个问题
  • 6:15 - 6:18
    实际上 如果把方程两边同时加1
  • 6:18 - 6:19
    让我写下来
  • 6:19 - 6:21
    这就是另一个等式
  • 6:21 - 6:27
    但是如果等式两边同时加上1
  • 6:27 - 6:32
    就能得到2倍cosa的平方等于
  • 6:32 - 6:37
    cos2a加1
  • 6:37 - 6:39
    如果等式两边同时除以2
  • 6:39 - 6:45
    就得到cosa的平方等于1/2
  • 6:45 - 6:48
    现在重新排列一下这些
  • 6:48 - 6:55
    乘以1加cos2a
  • 6:55 - 6:57
    好了
  • 6:57 - 7:00
    这样得到了另一个等式
  • 7:00 - 7:01
    cosa的平方
  • 7:01 - 7:05
    有时也叫做
  • 7:05 - 7:07
    降幂公式
  • 7:07 - 7:09
    如果我想要用sina的平方
  • 7:09 - 7:11
    来表示呢？
  • 7:11 - 7:13
    可能我们要回到上面这里
  • 7:13 - 7:15
    从这个等式我们知道
  • 7:15 - 7:16
    sina的平方等于
  • 7:16 - 7:18
    1减cosa的平方
  • 7:18 - 7:19
    或者可以用另外一种方法
  • 7:19 - 7:22
    从两边同时提出sina的平方
  • 7:22 - 7:24
    就能得到
  • 7:24 - 7:25
    我把它写到下面
  • 7:25 - 7:28
    如果我从两边同时提出sina的平方
  • 7:28 - 7:30
    就得到cosa的平方等于
  • 7:30 - 7:34
    1减去sina的平方
  • 7:34 - 7:36
    然后就又得到
  • 7:36 - 7:37
    上面这个公式
  • 7:37 - 7:39
    可以写下
  • 7:39 - 7:41
    我要用这个蓝色写
  • 7:41 - 7:48
    我们可以写cos2a等于
  • 7:48 - 7:50
    不是写成cosa的平方的形式
  • 7:50 - 7:51
    而是写成
  • 7:51 - 7:56
    等于1减去sina的平方
  • 7:56 - 7:57
    减去sina的平方
  • 8:01 - 8:05
    cos2a等于
  • 8:06 - 8:07
    我来看一下 有个负sina的平方
  • 8:07 - 8:08
    减去另一个sina的平方
  • 8:08 - 8:14
    就得到1减去2倍sina的平方
  • 8:14 - 8:15
    这就是另外一个等式
  • 8:15 - 8:19
    cos2a的另外一种表示方法
  • 8:19 - 8:21
    我们发现了很多
  • 8:21 - 8:23
    表示cos2a的方法
  • 8:23 - 8:25
    现在 如果想要表示sin2a的平方
  • 8:25 - 8:28
    可以把它加到方程的两边
  • 8:28 - 8:30
    开始吧 为了节省点空间
  • 8:30 - 8:33
    我把它写到这边
  • 8:33 - 8:36
    我把屏幕向下滚动一点
  • 8:36 - 8:37
    我把它写在这里
  • 8:37 - 8:39
    如果我两边同时加上
  • 8:39 - 8:40
    2倍sina的平方
  • 8:40 - 8:47
    就得到2倍sina的平方
  • 8:48 - 8:51
    加上cos2a等于1
  • 8:51 - 8:54
    从两边同时提出cos2a
  • 8:54 - 8:57
    就得到2倍sina的平方等于
  • 8:57 - 9:01
    等于1减cos2a
  • 9:01 - 9:04
    然后式子两边同时除以2
  • 9:04 - 9:07
    就得到sina的平方等于
  • 9:07 - 9:12
    1/2乘1减去cos2a
  • 9:12 - 9:15
    这样就得到了另一个公式
  • 9:15 - 9:17
    我认为可以把它叫做
  • 9:17 - 9:19
    我们的发现
  • 9:19 - 9:20
    这是很有趣的
  • 9:20 - 9:21
    对称一直是一件有趣的事情
  • 9:21 - 9:22
    cos平方
  • 9:22 - 9:24
    它们几乎相同
  • 9:24 - 9:26
    除了cosa平方这边是加cos2a
  • 9:26 - 9:28
    sina的平方这边是
  • 9:28 - 9:31
    减cos2a
  • 9:31 - 9:33
    所以我们发现了很多有趣的东西
  • 9:33 - 9:37
    看一下 sin2a还能化成什么形式
  • 9:40 - 9:43
    我选一个没用过的颜色
  • 9:43 - 9:45
    哦 我几乎把所有的颜色都用过了
  • 9:45 - 9:49
    所以如果我要把sin2a算出来
  • 9:49 - 9:54
    它就等于sin(a+a)
  • 9:54 - 10:03
    也就等于sina乘以cos
  • 10:03 - 10:05
    我不想用这么粗的笔画
  • 10:05 - 10:10
    乘以cosa加- 这是cosa
  • 10:10 - 10:11
    这是第二个a
  • 10:11 - 10:12
    实际上 你们可以用这种方式考虑
  • 10:12 - 10:16
    加上sin 我只是用sin(a+b)的等式
  • 10:16 - 10:18
    加sin第二个a 乘以
  • 10:18 - 10:20
    cos第一个a
  • 10:20 - 10:21
    我把同样的东西写了第二遍
  • 10:21 - 10:26
    所以这个等于2sinacosa
  • 10:26 - 10:27
    这个简单点
  • 10:27 - 10:32
    所以sin2a等于这个
  • 10:32 - 10:33
    这是另一个结果
  • 10:36 - 10:37
    我一直在鼓捣sin和cos
  • 10:37 - 10:40
    我觉得有点累了
  • 10:40 - 10:41
    我算出了解决微分问题所需要的
  • 10:41 - 10:43
    所有三角等式
  • 10:43 - 10:45
    希望这对你们来说是个不错的复习
  • 10:45 - 10:48
    因为对我来说这还不错
  • 10:48 - 10:49
    你们可以把这些东西写下来
  • 10:49 - 10:51
    如果可以 记住他们
  • 10:51 - 10:53
    但真正重要的是
  • 10:53 - 10:54
    意识到可以从
  • 10:54 - 11:00
    我们已知的最初的公式中
  • 11:00 - 11:00
    推倒出这些公式来
  • 11:00 - 11:02
    甚至这些式子 我已经给你们展示了
  • 11:02 - 11:03
    从基本三角函数恒等式中
  • 11:03 - 11:07
    推导出它们的过程
Title:
Trigonometry Identity Review/Fun
Description:

Revisiting the proofs of some trigonometry identities.
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Video Language:
English
Duration:
11:07
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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