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Trigonometry Identity Review/Fun

  • 0:01 - 0:02
    我已經制作了一些影片
  • 0:02 - 0:04
    來記錄我所要教授的知識
  • 0:04 - 0:05
    在這個影片中
  • 0:05 - 0:06
    我要講一下三角恆等式
  • 0:06 - 0:08
    錄制這個影片是因爲
  • 0:08 - 0:10
    我需要複習一下學過的知識
  • 0:10 - 0:12
    因爲我要做些微積分的問題
  • 0:12 - 0:13
    這需要先了解三角學知識
  • 0:13 - 0:15
    我現在有更好的錄制軟體了
  • 0:15 - 0:18
    所以想一舉兩得
  • 0:18 - 0:19
    錄制影片
  • 0:19 - 0:22
    也算是在腦子裏重新複習一下知識
  • 0:22 - 0:24
    這些三角恆等式
  • 0:24 - 0:25
    假設大家已經了解了
  • 0:25 - 0:27
    因爲我已經做過關於它們的影片了
  • 0:27 - 0:29
    並且影片中提到了一些
  • 0:29 - 0:30
    記憶和證明的方法
  • 0:30 - 0:34
    sin(a+b)等於
  • 0:34 - 0:39
    sina・cosb
  • 0:39 - 0:48
    加上sinb・cosa
  • 0:48 - 0:49
    這是第一個式子
  • 0:49 - 0:51
    假設這個式子在這段影片中是已知條件
  • 0:51 - 0:53
    如果我們想知道sin
  • 0:53 - 0:54
    我用不同形式寫一下
  • 0:54 - 1:00
    如果我想求出sina加
  • 1:00 - 1:02
    這樣寫一下 -c 會怎樣？
  • 1:02 - 1:05
    這個和減c是一樣的 對吧？
  • 1:05 - 1:05
    好的
  • 1:05 - 1:08
    我們可以用上面這個公式
  • 1:08 - 1:12
    這就等於sina
  • 1:12 - 1:16
    乘以cos(-c)
  • 1:16 - 1:24
    加上sin(-c)乘以cosa
  • 1:24 - 1:25
    我們知道
  • 1:25 - 1:26
    我想還有另外一個
  • 1:26 - 1:28
    在這個影片中要用到的假設
  • 1:28 - 1:32
    cos(-c)
  • 1:32 - 1:35
    等於cosc
  • 1:35 - 1:38
    餘弦函數是偶函數
  • 1:38 - 1:39
    大家可以
  • 1:39 - 1:42
    查閱餘弦函數表
  • 1:42 - 1:43
    或者通過單位圓推導出來
  • 1:43 - 1:45
    正弦函數是奇函數
  • 1:45 - 1:49
    sin(-c)實際上等於
  • 1:49 - 1:53
    -sinc
  • 1:53 - 1:55
    我們可以利用這些信息
  • 1:55 - 1:58
    把第二行重寫到這裡
  • 1:58 - 2:02
    sin(a-c)等於
  • 2:02 - 2:05
    sina乘以cosc
  • 2:05 - 2:08
    因爲cos(-c)等於
  • 2:08 - 2:09
    cosc
  • 2:09 - 2:12
    乘以cosc
  • 2:12 - 2:15
    然後 減去sinc
  • 2:15 - 2:17
    不這樣寫了 我要這樣寫
  • 2:17 - 2:23
    減去sinc乘以cosa
  • 2:23 - 2:26
    這樣我們通過已知的這個和這個
  • 2:26 - 2:28
    證明了這個
  • 2:28 - 2:28
    有道理
  • 2:28 - 2:30
    我要用所有的這些
  • 2:30 - 2:33
    去證明更多
  • 2:33 - 2:34
    我需要的三角恆等式
  • 2:34 - 2:36
    另一個三角恆等式是
  • 2:36 - 2:42
    cos(a+b)等於cos a
  • 2:42 - 2:44
    在這種情況下
  • 2:44 - 2:46
    你們不要把cos和sin搞混了
  • 2:46 - 2:49
    cosa乘以sinb
  • 2:49 - 2:51
    這是負 哦 不好意思
  • 2:51 - 2:53
    我剛說了你們不要搞混了
  • 2:53 - 2:54
    然後我就混了
  • 2:54 - 2:57
    乘以cosb
  • 2:57 - 3:03
    減去sina乘以sinb
  • 3:03 - 3:04
    現在 如果你們想知道
  • 3:04 - 3:08
    cos(a-b)等於什麽
  • 3:08 - 3:10
    就可以用同樣的性質
  • 3:10 - 3:11
    cos(-b)
  • 3:11 - 3:13
    同樣的 等於cosb
  • 3:13 - 3:14
    所以這個等於
  • 3:14 - 3:17
    cosa乘以cos
  • 3:17 - 3:21
    cos(-b)等於cosb
  • 3:21 - 3:23
    但是你們在這裡會遇到sin(-b)
  • 3:23 - 3:27
    它等於-sinb
  • 3:27 - 3:28
    這個負號和這個負號抵消
  • 3:28 - 3:34
    所以就是加上sina乘以sinb
  • 3:34 - 3:35
    這有點難
  • 3:35 - 3:38
    當這邊是加號 那邊就是減號
  • 3:38 - 3:39
    當這邊是減號
  • 3:39 - 3:41
    那邊就是個加號
  • 3:41 - 3:42
    但是很公平
  • 3:42 - 3:43
    我不想在這個問題上多說
  • 3:43 - 3:47
    因爲我們還有更多等式要講
  • 3:47 - 3:50
    假如我要證明
  • 3:50 - 3:53
    cos2a呢？
  • 3:53 - 3:57
    cos2a
  • 3:57 - 3:59
    它其實就是
  • 3:59 - 4:02
    cos(a+a)
  • 4:02 - 4:03
    這樣我們就可以使用上面這個公式
  • 4:03 - 4:05
    如果第二個a就是b
  • 4:05 - 4:07
    這樣這個式子就等於
  • 4:07 - 4:14
    cosa・cosa減去
  • 4:14 - 4:18
    sina・sina
  • 4:18 - 4:21
    在這個題目中 b也是a
  • 4:21 - 4:23
    重寫一下
  • 4:23 - 4:27
    這個等於cosa的平方
  • 4:27 - 4:28
    我剛寫了cosa
  • 4:28 - 4:31
    乘以它自己
  • 4:31 - 4:35
    減去sina的平方
  • 4:35 - 4:38
    我認爲已經導出這個公式了
  • 4:38 - 4:39
    cos2a等於
  • 4:39 - 4:41
    cosa的平方減去
  • 4:41 - 4:42
    sina的平方
  • 4:42 - 4:45
    我把這個影片中要展示的
  • 4:45 - 4:47
    公式都圈起來
  • 4:47 - 4:50
    我剛給你們展示了這個
  • 4:50 - 4:51
    我要是還不滿足呢？
  • 4:51 - 4:54
    如果我想只用cos表示呢？
  • 4:54 - 4:57
    我們突然想到了三角函數在
  • 4:57 - 4:58
    單位圓中的定義
  • 4:58 - 5:01
    這是最基本的定義
  • 5:01 - 5:05
    sina的平方加上cosa的平方
  • 5:05 - 5:07
    等於1
  • 5:07 - 5:10
    或者你們可以寫成
  • 5:10 - 5:11
    我來想一個最好的方法
  • 5:11 - 5:16
    你們可以把sina的平方寫成
  • 5:16 - 5:19
    1減去cosa的平方
  • 5:19 - 5:20
    然後我們就可以用這個式子
  • 5:20 - 5:21
    代換這裡
  • 5:21 - 5:24
    所以這個式子也可以寫成
  • 5:24 - 5:29
    cosa的平方減去sina的平方
  • 5:29 - 5:32
    sina的平方在這裡
  • 5:32 - 5:36
    所以減去 我換個顏色
  • 5:36 - 5:39
    減去(1-cosa的平方)
  • 5:39 - 5:41
    這就是我剛剛代替
  • 5:41 - 5:42
    sina的平方的式子
  • 5:42 - 5:46
    這個就等於cosa的平方
  • 5:46 - 5:50
    減1加cosa的平方
  • 5:50 - 5:52
    也就是 只要加起來就可以了
  • 5:52 - 5:54
    我寫到右邊
  • 5:54 - 5:55
    一個cosa的平方
  • 5:55 - 5:57
    加上另一個cosa的平方
  • 5:57 - 6:03
    也就是2倍cosa的平方減1
  • 6:03 - 6:08
    所有的這些等於cos2a
  • 6:09 - 6:11
    如果我想
  • 6:11 - 6:14
    用這個表示cosa的平方呢？
  • 6:14 - 6:15
    我們可以解決一下這個問題
  • 6:15 - 6:18
    實際上 如果把方程兩邊同時加1
  • 6:18 - 6:19
    讓我寫下來
  • 6:19 - 6:21
    這就是另一個等式
  • 6:21 - 6:27
    但是如果等式兩邊同時加上1
  • 6:27 - 6:32
    就能得到2倍cosa的平方等於
  • 6:32 - 6:37
    cos2a加1
  • 6:37 - 6:39
    如果等式兩邊同時除以2
  • 6:39 - 6:45
    就得到cosa的平方等於1/2
  • 6:45 - 6:48
    現在重新排列一下這些
  • 6:48 - 6:55
    乘以1加cos2a
  • 6:55 - 6:57
    好了
  • 6:57 - 7:00
    這樣得到了另一個等式
  • 7:00 - 7:01
    cosa的平方
  • 7:01 - 7:05
    有時也叫做
  • 7:05 - 7:07
    降冪公式
  • 7:07 - 7:09
    如果我想要用sina的平方
  • 7:09 - 7:11
    來表示呢？
  • 7:11 - 7:13
    可能我們要回到上面這裡
  • 7:13 - 7:15
    從這個等式我們知道
  • 7:15 - 7:16
    sina的平方等於
  • 7:16 - 7:18
    1減cosa的平方
  • 7:18 - 7:19
    或者可以用另外一種方法
  • 7:19 - 7:22
    從兩邊同時提出sina的平方
  • 7:22 - 7:24
    就能得到
  • 7:24 - 7:25
    我把它寫到下面
  • 7:25 - 7:28
    如果我從兩邊同時提出sina的平方
  • 7:28 - 7:30
    就得到cosa的平方等於
  • 7:30 - 7:34
    1減去sina的平方
  • 7:34 - 7:36
    然後就又得到
  • 7:36 - 7:37
    上面這個公式
  • 7:37 - 7:39
    可以寫下
  • 7:39 - 7:41
    我要用這個藍色寫
  • 7:41 - 7:48
    我們可以寫cos2a等於
  • 7:48 - 7:50
    不是寫成cosa的平方的形式
  • 7:50 - 7:51
    而是寫成
  • 7:51 - 7:56
    等於1減去sina的平方
  • 7:56 - 7:57
    減去sina的平方
  • 8:01 - 8:05
    cos2a等於
  • 8:06 - 8:07
    我來看一下 有個負sina的平方
  • 8:07 - 8:08
    減去另一個sina的平方
  • 8:08 - 8:14
    就得到1減去2倍sina的平方
  • 8:14 - 8:15
    這就是另外一個等式
  • 8:15 - 8:19
    cos2a的另外一種表示方法
  • 8:19 - 8:21
    我們發現了很多
  • 8:21 - 8:23
    表示cos2a的方法
  • 8:23 - 8:25
    現在 如果想要表示sin2a的平方
  • 8:25 - 8:28
    可以把它加到方程的兩邊
  • 8:28 - 8:30
    開始吧 爲了節省點空間
  • 8:30 - 8:33
    我把它寫到這邊
  • 8:33 - 8:36
    我把屏幕向下滾動一點
  • 8:36 - 8:37
    我把它寫在這裡
  • 8:37 - 8:39
    如果我兩邊同時加上
  • 8:39 - 8:40
    2倍sina的平方
  • 8:40 - 8:47
    就得到2倍sina的平方
  • 8:48 - 8:51
    加上cos2a等於1
  • 8:51 - 8:54
    從兩邊同時提出cos2a
  • 8:54 - 8:57
    就得到2倍sina的平方等於
  • 8:57 - 9:01
    等於1減cos2a
  • 9:01 - 9:04
    然後式子兩邊同時除以2
  • 9:04 - 9:07
    就得到sina的平方等於
  • 9:07 - 9:12
    1/2乘1減去cos2a
  • 9:12 - 9:15
    這樣就得到了另一個公式
  • 9:15 - 9:17
    我認爲可以把它叫做
  • 9:17 - 9:19
    我們的發現
  • 9:19 - 9:20
    這是很有趣的
  • 9:20 - 9:21
    對稱一直是一件有趣的事情
  • 9:21 - 9:22
    cos平方
  • 9:22 - 9:24
    它們幾乎相同
  • 9:24 - 9:26
    除了cosa平方這邊是加cos2a
  • 9:26 - 9:28
    sina的平方這邊是
  • 9:28 - 9:31
    減cos2a
  • 9:31 - 9:33
    所以我們發現了很多有趣的東西
  • 9:33 - 9:37
    看一下 sin2a還能化成什麽形式
  • 9:40 - 9:43
    我選一個沒用過的顏色
  • 9:43 - 9:45
    哦 我幾乎把所有的顏色都用過了
  • 9:45 - 9:49
    所以如果我要把sin2a算出來
  • 9:49 - 9:54
    它就等於sin(a+a)
  • 9:54 - 10:03
    也就等於sina乘以cos
  • 10:03 - 10:05
    我不想用這麽粗的筆畫
  • 10:05 - 10:10
    乘以cosa加- 這是cosa
  • 10:10 - 10:11
    這是第二個a
  • 10:11 - 10:12
    實際上 你們可以用這種方式考慮
  • 10:12 - 10:16
    加上sin 我只是用sin(a+b)的等式
  • 10:16 - 10:18
    加sin第二個a 乘以
  • 10:18 - 10:20
    cos第一個a
  • 10:20 - 10:21
    我把同樣的東西寫了第二遍
  • 10:21 - 10:26
    所以這個等於2sinacosa
  • 10:26 - 10:27
    這個簡單點
  • 10:27 - 10:32
    所以sin2a等於這個
  • 10:32 - 10:33
    這是另一個結果
  • 10:36 - 10:37
    我一直在鼓搗sin和cos
  • 10:37 - 10:40
    我覺得有點累了
  • 10:40 - 10:41
    我算出了解決微分問題所需要的
  • 10:41 - 10:43
    所有三角等式
  • 10:43 - 10:45
    希望這對你們來說是個不錯的複習
  • 10:45 - 10:48
    因爲對我來說這還不錯
  • 10:48 - 10:49
    你們可以把這些東西寫下來
  • 10:49 - 10:51
    如果可以 記住他們
  • 10:51 - 10:53
    但真正重要的是
  • 10:53 - 10:54
    意識到可以從
  • 10:54 - 11:00
    我們已知的最初的公式中
  • 11:00 - 11:00
    推倒出這些公式來
  • 11:00 - 11:02
    甚至這些式子 我已經給你們展示了
  • 11:02 - 11:03
    從基本三角函數恆等式中
  • 11:03 - 11:07
    推導出它們的過程
Title:
Trigonometry Identity Review/Fun
Description:

Revisiting the proofs of some trigonometry identities.
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Video Language:
English
Duration:
11:07
David Chiu added a translation Feb 17, 2013, 6:28 AM

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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