Trigonometry Identity Review/Fun
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0:01 - 0:02我已經制作了一些影片
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0:02 - 0:04來記錄我所要教授的知識
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0:04 - 0:05在這個影片中
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0:05 - 0:06我要講一下三角恆等式
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0:06 - 0:08錄制這個影片是因爲
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0:08 - 0:10我需要複習一下學過的知識
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0:10 - 0:12因爲我要做些微積分的問題
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0:12 - 0:13這需要先了解三角學知識
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0:13 - 0:15我現在有更好的錄制軟體了
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0:15 - 0:18所以想一舉兩得
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0:18 - 0:19錄制影片
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0:19 - 0:22也算是在腦子裏重新複習一下知識
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0:22 - 0:24這些三角恆等式
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0:24 - 0:25假設大家已經了解了
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0:25 - 0:27因爲我已經做過關於它們的影片了
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0:27 - 0:29並且影片中提到了一些
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0:29 - 0:30記憶和證明的方法
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0:30 - 0:34sin(a+b)等於
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0:34 - 0:39sina・cosb
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0:39 - 0:48加上sinb・cosa
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0:48 - 0:49這是第一個式子
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0:49 - 0:51假設這個式子在這段影片中是已知條件
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0:51 - 0:53如果我們想知道sin
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0:53 - 0:54我用不同形式寫一下
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0:54 - 1:00如果我想求出sina加
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1:00 - 1:02這樣寫一下 -c 會怎樣?
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1:02 - 1:05這個和減c是一樣的 對吧?
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1:05 - 1:05好的
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1:05 - 1:08我們可以用上面這個公式
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1:08 - 1:12這就等於sina
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1:12 - 1:16乘以cos(-c)
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1:16 - 1:24加上sin(-c)乘以cosa
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1:24 - 1:25我們知道
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1:25 - 1:26我想還有另外一個
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1:26 - 1:28在這個影片中要用到的假設
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1:28 - 1:32cos(-c)
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1:32 - 1:35等於cosc
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1:35 - 1:38餘弦函數是偶函數
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1:38 - 1:39大家可以
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1:39 - 1:42查閱餘弦函數表
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1:42 - 1:43或者通過單位圓推導出來
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1:43 - 1:45正弦函數是奇函數
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1:45 - 1:49sin(-c)實際上等於
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1:49 - 1:53-sinc
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1:53 - 1:55我們可以利用這些信息
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1:55 - 1:58把第二行重寫到這裡
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1:58 - 2:02sin(a-c)等於
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2:02 - 2:05sina乘以cosc
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2:05 - 2:08因爲cos(-c)等於
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2:08 - 2:09cosc
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2:09 - 2:12乘以cosc
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2:12 - 2:15然後 減去sinc
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2:15 - 2:17不這樣寫了 我要這樣寫
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2:17 - 2:23減去sinc乘以cosa
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2:23 - 2:26這樣我們通過已知的這個和這個
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2:26 - 2:28證明了這個
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2:28 - 2:28有道理
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2:28 - 2:30我要用所有的這些
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2:30 - 2:33去證明更多
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2:33 - 2:34我需要的三角恆等式
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2:34 - 2:36另一個三角恆等式是
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2:36 - 2:42cos(a+b)等於cos a
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2:42 - 2:44在這種情況下
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2:44 - 2:46你們不要把cos和sin搞混了
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2:46 - 2:49cosa乘以sinb
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2:49 - 2:51這是負 哦 不好意思
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2:51 - 2:53我剛說了你們不要搞混了
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2:53 - 2:54然後我就混了
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2:54 - 2:57乘以cosb
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2:57 - 3:03減去sina乘以sinb
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3:03 - 3:04現在 如果你們想知道
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3:04 - 3:08cos(a-b)等於什麽
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3:08 - 3:10就可以用同樣的性質
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3:10 - 3:11cos(-b)
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3:11 - 3:13同樣的 等於cosb
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3:13 - 3:14所以這個等於
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3:14 - 3:17cosa乘以cos
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3:17 - 3:21cos(-b)等於cosb
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3:21 - 3:23但是你們在這裡會遇到sin(-b)
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3:23 - 3:27它等於-sinb
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3:27 - 3:28這個負號和這個負號抵消
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3:28 - 3:34所以就是加上sina乘以sinb
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3:34 - 3:35這有點難
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3:35 - 3:38當這邊是加號 那邊就是減號
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3:38 - 3:39當這邊是減號
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3:39 - 3:41那邊就是個加號
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3:41 - 3:42但是很公平
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3:42 - 3:43我不想在這個問題上多說
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3:43 - 3:47因爲我們還有更多等式要講
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3:47 - 3:50假如我要證明
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3:50 - 3:53cos2a呢?
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3:53 - 3:57cos2a
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3:57 - 3:59它其實就是
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3:59 - 4:02cos(a+a)
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4:02 - 4:03這樣我們就可以使用上面這個公式
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4:03 - 4:05如果第二個a就是b
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4:05 - 4:07這樣這個式子就等於
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4:07 - 4:14cosa・cosa減去
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4:14 - 4:18sina・sina
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4:18 - 4:21在這個題目中 b也是a
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4:21 - 4:23重寫一下
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4:23 - 4:27這個等於cosa的平方
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4:27 - 4:28我剛寫了cosa
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4:28 - 4:31乘以它自己
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4:31 - 4:35減去sina的平方
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4:35 - 4:38我認爲已經導出這個公式了
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4:38 - 4:39cos2a等於
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4:39 - 4:41cosa的平方減去
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4:41 - 4:42sina的平方
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4:42 - 4:45我把這個影片中要展示的
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4:45 - 4:47公式都圈起來
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4:47 - 4:50我剛給你們展示了這個
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4:50 - 4:51我要是還不滿足呢?
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4:51 - 4:54如果我想只用cos表示呢?
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4:54 - 4:57我們突然想到了三角函數在
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4:57 - 4:58單位圓中的定義
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4:58 - 5:01這是最基本的定義
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5:01 - 5:05sina的平方加上cosa的平方
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5:05 - 5:07等於1
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5:07 - 5:10或者你們可以寫成
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5:10 - 5:11我來想一個最好的方法
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5:11 - 5:16你們可以把sina的平方寫成
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5:16 - 5:191減去cosa的平方
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5:19 - 5:20然後我們就可以用這個式子
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5:20 - 5:21代換這裡
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5:21 - 5:24所以這個式子也可以寫成
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5:24 - 5:29cosa的平方減去sina的平方
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5:29 - 5:32sina的平方在這裡
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5:32 - 5:36所以減去 我換個顏色
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5:36 - 5:39減去(1-cosa的平方)
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5:39 - 5:41這就是我剛剛代替
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5:41 - 5:42sina的平方的式子
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5:42 - 5:46這個就等於cosa的平方
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5:46 - 5:50減1加cosa的平方
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5:50 - 5:52也就是 只要加起來就可以了
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5:52 - 5:54我寫到右邊
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5:54 - 5:55一個cosa的平方
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5:55 - 5:57加上另一個cosa的平方
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5:57 - 6:03也就是2倍cosa的平方減1
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6:03 - 6:08所有的這些等於cos2a
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6:09 - 6:11如果我想
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6:11 - 6:14用這個表示cosa的平方呢?
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6:14 - 6:15我們可以解決一下這個問題
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6:15 - 6:18實際上 如果把方程兩邊同時加1
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6:18 - 6:19讓我寫下來
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6:19 - 6:21這就是另一個等式
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6:21 - 6:27但是如果等式兩邊同時加上1
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6:27 - 6:32就能得到2倍cosa的平方等於
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6:32 - 6:37cos2a加1
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6:37 - 6:39如果等式兩邊同時除以2
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6:39 - 6:45就得到cosa的平方等於1/2
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6:45 - 6:48現在重新排列一下這些
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6:48 - 6:55乘以1加cos2a
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6:55 - 6:57好了
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6:57 - 7:00這樣得到了另一個等式
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7:00 - 7:01cosa的平方
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7:01 - 7:05有時也叫做
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7:05 - 7:07降冪公式
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7:07 - 7:09如果我想要用sina的平方
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7:09 - 7:11來表示呢?
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7:11 - 7:13可能我們要回到上面這裡
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7:13 - 7:15從這個等式我們知道
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7:15 - 7:16sina的平方等於
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7:16 - 7:181減cosa的平方
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7:18 - 7:19或者可以用另外一種方法
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7:19 - 7:22從兩邊同時提出sina的平方
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7:22 - 7:24就能得到
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7:24 - 7:25我把它寫到下面
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7:25 - 7:28如果我從兩邊同時提出sina的平方
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7:28 - 7:30就得到cosa的平方等於
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7:30 - 7:341減去sina的平方
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7:34 - 7:36然後就又得到
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7:36 - 7:37上面這個公式
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7:37 - 7:39可以寫下
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7:39 - 7:41我要用這個藍色寫
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7:41 - 7:48我們可以寫cos2a等於
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7:48 - 7:50不是寫成cosa的平方的形式
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7:50 - 7:51而是寫成
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7:51 - 7:56等於1減去sina的平方
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7:56 - 7:57減去sina的平方
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8:01 - 8:05cos2a等於
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8:06 - 8:07我來看一下 有個負sina的平方
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8:07 - 8:08減去另一個sina的平方
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8:08 - 8:14就得到1減去2倍sina的平方
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8:14 - 8:15這就是另外一個等式
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8:15 - 8:19cos2a的另外一種表示方法
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8:19 - 8:21我們發現了很多
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8:21 - 8:23表示cos2a的方法
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8:23 - 8:25現在 如果想要表示sin2a的平方
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8:25 - 8:28可以把它加到方程的兩邊
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8:28 - 8:30開始吧 爲了節省點空間
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8:30 - 8:33我把它寫到這邊
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8:33 - 8:36我把屏幕向下滾動一點
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8:36 - 8:37我把它寫在這裡
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8:37 - 8:39如果我兩邊同時加上
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8:39 - 8:402倍sina的平方
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8:40 - 8:47就得到2倍sina的平方
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8:48 - 8:51加上cos2a等於1
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8:51 - 8:54從兩邊同時提出cos2a
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8:54 - 8:57就得到2倍sina的平方等於
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8:57 - 9:01等於1減cos2a
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9:01 - 9:04然後式子兩邊同時除以2
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9:04 - 9:07就得到sina的平方等於
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9:07 - 9:121/2乘1減去cos2a
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9:12 - 9:15這樣就得到了另一個公式
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9:15 - 9:17我認爲可以把它叫做
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9:17 - 9:19我們的發現
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9:19 - 9:20這是很有趣的
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9:20 - 9:21對稱一直是一件有趣的事情
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9:21 - 9:22cos平方
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9:22 - 9:24它們幾乎相同
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9:24 - 9:26除了cosa平方這邊是加cos2a
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9:26 - 9:28sina的平方這邊是
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9:28 - 9:31減cos2a
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9:31 - 9:33所以我們發現了很多有趣的東西
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9:33 - 9:37看一下 sin2a還能化成什麽形式
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9:40 - 9:43我選一個沒用過的顏色
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9:43 - 9:45哦 我幾乎把所有的顏色都用過了
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9:45 - 9:49所以如果我要把sin2a算出來
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9:49 - 9:54它就等於sin(a+a)
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9:54 - 10:03也就等於sina乘以cos
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10:03 - 10:05我不想用這麽粗的筆畫
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10:05 - 10:10乘以cosa加- 這是cosa
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10:10 - 10:11這是第二個a
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10:11 - 10:12實際上 你們可以用這種方式考慮
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10:12 - 10:16加上sin 我只是用sin(a+b)的等式
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10:16 - 10:18加sin第二個a 乘以
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10:18 - 10:20cos第一個a
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10:20 - 10:21我把同樣的東西寫了第二遍
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10:21 - 10:26所以這個等於2sinacosa
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10:26 - 10:27這個簡單點
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10:27 - 10:32所以sin2a等於這個
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10:32 - 10:33這是另一個結果
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10:36 - 10:37我一直在鼓搗sin和cos
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10:37 - 10:40我覺得有點累了
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10:40 - 10:41我算出了解決微分問題所需要的
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10:41 - 10:43所有三角等式
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10:43 - 10:45希望這對你們來說是個不錯的複習
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10:45 - 10:48因爲對我來說這還不錯
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10:48 - 10:49你們可以把這些東西寫下來
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10:49 - 10:51如果可以 記住他們
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10:51 - 10:53但真正重要的是
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10:53 - 10:54意識到可以從
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10:54 - 11:00我們已知的最初的公式中
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11:00 - 11:00推倒出這些公式來
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11:00 - 11:02甚至這些式子 我已經給你們展示了
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11:02 - 11:03從基本三角函數恆等式中
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11:03 - 11:07推導出它們的過程