Sætninger for ligedannethed i trekanter

Lad os sige,

at vi har trekant A, B, C, og at den ser nogenlunde sådan her ud.

Vi skal finde nogle regler,

som vi kan bruge til at bestemme,

om to trekanter er ligedannede.

Vi ved allerede,

at hvis alle tre vinkler vinkler er kongruente

med de ensliggende vinkler i trekant ABC,

så er de 2 trekanter kongruente.

Vi kan for eksempel sige, at den her vinkel er 30 grader, den her er 90,

og vinklen herovre er 60 grader.

Nu har vi så en anden trekant, som ser sådan her ud.

Den er uden tvivl mindre end den første,

men de ensliggende vinkler er 30 grader,

90 grader og 60 grader ligesom vinklerne i ABC.

Vi ved derfor, at trekant XYZ og trekant ABC er ligedannede.

.

Fordi vi ved,

at de ensliggende vinkler er kongruente,

ved vi, at trekant ABC og trekant XYZ er ligedannede.

Det er vigtigt at have bogstaverne i den rigtige rækkefølge,

så det er de rigtige vinkler, der er ensliggende.

Y er ensliggende med vinklen på 90 grader,

X er ensliggende med vinklen på 30 grader og A er ensliggende med vinklen på 30 grader.

A og X hører altså sammen,

B og Y, som er vinklerne på 90 grader, hører sammen

og til sidst hører C og Z sammen.

Det er, hvad vi ved, når vi har tre vinkler,

men er tre vinkler egentlig nødvendige?

Ville det være nok kun at kende to af vinklerne?

.

Det ville det,

fordi vi kan regne os frem til den tredje vinkel i trekanten ved at kende de to andre vinkler.

Vi kan sige, at vi har en anden trekant,

som ser sådan her ud.

Vi får at vide, at kun to af de ensliggende vinkler er kongruente.

.

Måske er den her vinkel kongruent

med den her vinkel, og den her vinkel er kongruent

med den her.

Er det nok til at sige, at de to trekanter er ligedannede?

Selvfølgelig er det det, fordi vi kan regne os frem til den sidste vinkel i trekanten,

når vi kender de to andre.

Hvis vi for eksempel ved, at den her er 30 grader og den her er 90,

så ved vi, at den her skal være 60 grader.

Ligemeget hvad de her to vinkler er,

skal man trække de to fra 180, og så finder man den sidste vinkel.

For at vise, at de er ligedannede,

behøver man altså ikke vise, at tre ensliggende vinkler

er kongruente.

Man skal bare vise, at to af dem er.

Det er den første af reglerne for ligedannethed.

Vi kan kalde den vinkel-vinkel.

Hvis man kan vise, at de ensliggende vinkler er kongruente,

har man to ligedannede trekanter.

Vi skriver lige vinklerne ind i den her trekant.

Den her vinkel er 30 grader,

og vinklen skal være 90 grader her.

Vi ved derfor, at de her to trekanter

er ligedannede.

Man kan finde den tredje vinkel på en ret enkel måde.

Vi kan sige,

at den her vinkel er 60 grader,

og så er alle tre ensliggende vinkler de samme i de to trekanter.

Man skal altså kun kende to af vinklerne for at kunne vise, at trekanterne er ligedannede.

En anden ting, vi ved om ligedannethed, er,

at forholdet mellem alle siderne skal være det samme.

Vi har endnu en trekant herovre.

Vi tegner lige endnu en trekant.

Den her trekant kan vi kalde X, Y og Z.

Lad os nu sige, at vi ved, at forholdet mellem siden AB og siden XY

er AB over XY.

Det er altså forholdet mellem den her og den her side.

Læg mærke til, at siderne ikke nødvendigvis er kongruente.

Det er kun forholdet mellem siderne, vi kigger på nu.

Vi kan sige, at side AB over side XY

er lig med side BC over side YZ.

Det er lig med BC over YZ, og det er lig med AC over XZ.

AC over XZ.

Det er en af måderne til at finde ud af,

om trekanterne er ligedannede.

Hvis vi har alle 3 ensliggende sider,

så vil forholdet mellem alle tre ensliggende sider være det samme.

På den måde ved vi, at vi har med ligedannede trekanter at gøre.

Den her regel kalder vi side-side-side-ligedannethed.

Det skal ikke blandes sammen med

side-side-side-kongruens.

Nu har vi fundet vores regler om ligedannethed.

Man kan også kalde det postulater eller grundsætninger.

Det er nogle ting, vi antager

for at kunne løse nogle problemer

og bevise andre ting.

Hvis vi snakker om kongruens, så betyder side-side-side,

at de ensliggende sider er kongruente.

Når vi snakker om ligedannethed, betyder side-side-side,

at forholdet mellem de ensliggende sider er det samme.

Vi kan sige, at det herovre er 10.

Hvis den herovre er 10.

Nej, vi siger 60 i stedet for, og så er den herovre 30,

og siden herovre er 30 gange kvadratrod 3.

Vi brugte de her tal,

fordi vi snart vil lære, hvilket forhold der typisk er mellem siderne

i trekanter med vinklerne 30, 60, 90.

Lad os sige at siderne herovre er 6, 3 og 3 gange kvadratrod 3.

Læg mærke til, at AB over XY er 30 gange kvadratrod 3

over 3 gange kvadratrod 3, og det vil give 10.

Hvad er så BC over XY?

30 divideret med 3 er 10.

Hvad er så 60 divideret med 6?

AC over XZ må altså også give 10.

.

For at gå fra den ensliggende side her

til den ensliggende side her, skal vi altid

gange med 10.

Vi siger altså ikke, at siderne er kongruente

eller at siderne er ens

for side-side-side-ligedannethed.

Vi siger, at vi forstørrer dem op ved at gange

med det samme tal.

.

Forholdet mellem de ensliggende sider er altså det samme.

Lad os prøve med en ny trekant.

Vi kan sige, at vi har endnu en trekant herovre.

Vi tegner den lige.

.

Vi tegner en anden trekant ABC.

På den nye trekant er det her A, det her B og det her C.

Vi ved nu, at vi kan finde forholdet mellem siderne på den her trekant

og siderne på en anden trekant.

Vi tegner lige lidt af en ny trekant.

Vi ved nu, at XY giver AB,

når vi ganger med en bestemt konstant.

Det kan vi skrive herovre.

XY er lig med en konstant gange AB.

Vi tegner lige XY lidt større,

så konstanten kan være mindre end 1.

I det tilfælde vil det være en mindre værdi.

Vi tegner XY en smule større.

Lad os sige at det her er X, og det her er Y.

Nu ved vi, at XY over AB er lig med

en eller anden konstant.

Hvis man ganger begge sider med AB,

vil man få XY som en forstørret udgave af AB.

Måske AB er 5 og XY er 10,

og så vil vores konstant være 2.

Vi forstørrede AB med faktor 2.

Lad os sige, at vi også ved,

at trekant ABC og trekant XYZ er kongruente,

og så skal vi lige have endnu et punkt på trekanten herovre.

Vi tegner lige en ny side på trekanten, og så er det her Z.

Vi ved altså også, at trekant ABC og trekant XYZ er kongruente.

Lad os nu sige, at vi ved,

at forholdet mellem BC og YZ er den samme konstant.

Forholdet mellem BC og YZ er altså lig med den samme konstant som forholdet mellem AB og XY.

Hvis AB er 5, og XY er 10, så er BC måske 3, og YZ er 6.

Med konstanten fordobler vi altså på en måde længden af BC.

Vil trekant XYZ være ligedannet?

Vi kan kun tegne én trekant herovre.

Hvis vi siger, at forholdet mellem XY og AB

er det samme som forholdet mellem YZ og BC,

og vinklen imellem er kongruent,

så vil der kun være en mulig trekant at tegne herovre.

Vi er begrænset til én trekant herovre.

Længden af den her side kan altså kun være,

som den er nu.

Længden af den her side skal kunne findes

ved at gange den her side med en konstant.

Den regel kalder vi side-vinkel-side-ligedannethed.

Vi så SSS og SVS i vores regler for kongruens,

men vi siger noget anderledes her.

Vi siger ved SVS reglen,

at hvis forholdet mellem én ensliggende side og

den anden enslignede er det samme,

så er trekanterne også de samme.

.

Vi har forholdet mellem AB og XY på den ene ensliggende side,

og så har vi på den anden ensliggende side

forholdet mellem BC og YZ,

og vinklen mellem de to er ens.

I det tilfælde siger vi, at de er ligedannede.

For kongruens i SVS-reglen sagde vi,

at siderne skulle være kongruente.

Her siger vi, at forholdet mellem de ensliggende sider

skal være det samme.

Vi kan lige vise nogle eksempler med SVS-reglen hernede.

Vi tegner en trekant her.

Den her trekant har siderne 3, 2 og 4.

Vi har så en anden trekant her,

som har har sidelængderne 9 og 6.

Vi ved også, at vinklerne mellem de to sider er ens.

Den her vinkel er altså lig med den her vinkel.

SVS reglen siger så,

at de her trekanter uden tvivl vil være ligedannede.

.

Vi kan kun tegne én trekant herovre,

og det er den trekant, hvor alle siderne

skal ganges med den samme faktor.

Der er altså kun én lang side, vi kan tegne her,

og den skal ganges med faktoren 3 ligesom de to andre sider.

Det er den eneste mulige trekant, vi kan tegne.

Vi kan se, at den her side er 3 gange den her,

at den her er 3 gange den her, og at vinklerne mellem dem er ens.

Der er derfor kun én mulig trekant at tegne.

Vi ved, at der skal være en ligedannet trekant,

hvor alle siderne skal ganges med faktoren 3.

Den eneste trekant, vi kan tegne, skal altså være den ligedannede trekant.

Det er SVS-reglen, vi har med at gøre.

Vi siger ikke, at den her side er ligeså lang som den her side,

eller at den her side er ligeså lang som den her.

Vi siger, at siderne er ganget med den samme faktor.

Hvis vi havde en anden trekant, der så sådan her ud,

så ville den her side måske være 9, den her være 4,

og vinklerne mellem dem ville være ens.

Vi kan ikke sige, at de er ligedannede,

fordi den her side er ganget med faktor 3.

Den her side er kun ganget med faktor 2.

Derfor kan vi sætte et kryds over den her,

for vi kan ikke sige, at den nødvendigvis er ligedannet.

Man kunne også have en anden trekant, hvor den ene side var 9

og den anden 6, men vi ved ikke,

om de to vinkler imellem er ens.

I det tilfælde har vi altså ikke begrænset mulighederne nok til at kunne sige,

at de to trekanter er ligedannede.

Vi ved nemlig ikke,

om de to vinkler er ens.

Nu kan man måske sige, at der er et par regler mere,

som vi havde, da vi snakkede om kongruens,

men hvis man tænker over det,

har vi allerede vist, at to vinkler i sig selv er nok til at vise,

at to trekanter er ligedannede.

Man behøver altså ikke bekymre sig om at have to vinkler og en side

eller forholdet mellem siderne.

Da vi snakkede om kongruens,

havde vi også vinkel-side-vinkel,

men vi ved, at to vinkler er nok til at vise, at trekanterne er ligedannede,

så vi skal egentlig ikke bruge den ekstra side til noget.

Vi behøver egentlig ikke den herovre.

De her er altså vores regler for ligedannethed.

Det er vigtigt at huske, at side-side-side reglen for ligedannethed

ikke er den samme regel som side-side-side for kongruens.

For ligedannethed snakker vi nemlig om forholdet mellem de korresponderende sider,

og vi siger altså ikke, at de er kongruente.

Side-vinkel-side reglen for ligedannethed er også forskellig

far side-vinkel-side reglen for kongruens.

Reglerne hænger på en måde sammen,

men for ligedannethed snakker vi om forholdet mellem siderne og ikke de eksakte længder.