Integrales lineales y campos vectoriales

Usando integrales lineales para encontrar el trabajo hecho en una practica moviendo a través de campos vectoriales

una de las ideas mas fundamentales en toda la fisica

es la idea de trabajo

Ahora, cuando tu aprendes sobre el "trabajo" por primera vez, tu dices, "oh, eso

es solamente la fuerza multiplicada por distancia"

Pero después, cuando aprendes un poco sobre

los vectores, te das cuenta que la fuerza no siempre se dirije

en la misma dirección que el desplazamiento.

Entonces cuando aprendes que el trabajo, es en verdad la magnitud, déjame

escribir esto... la magnitud de la fuerza, en la dirección,

o el componente de la fuerza en la dirección

del desplazamiento.

El desplazamiento es solo la distancia con alguna dirección

Por la magnitud del desplazamiento, o podrías decir,

que es por la distancia desplazada.

Y el ejemplo clásico.

A lo mejor tienes un hielo, o algun tipo de bloque.

Digo hielo, para que no haya mucha fricción.

A lo mejor está encima de una superficie congelada, o algo parecido.

Y estarás tirando de ese cubo de hielo en un ángulo

un angulo asi

Esa es mi fuerza, allí

digamos que mi fuerza es igual a--bueno ese

es mi vector de fuerza.

Digamos que la magnitud de my vector de fuerza

es de 10 newtons.

y digamos que la direccion de my vector de fuerza,

tiene que tener una magnituda y una direccion,

digamos que tiene un angulo de 60 grados

sobre la horizontal

entonce esa es la dirccion en la que jalo

y digamos que la desplazo

Ojala que todo esto sea solo un resumen

si lo estas desplazando, digamos 5 newtons

Digamos entonces que el desplazamiento, ése es el vector de desplazamiento

justo ahí, y su magnitud es igual a 5 metros.

Entonces haz aprendido de la definición de trabajo, no puedes

decir, oh, estoy tirando con 10 newtons de fuerza y

lo estoy moviendo 5 metros.

Simplemente no puedes multiplicar los 10 newtons por los 5 metros.

Tienes que encontrar la magnitud del componente yendo

en la misma dirección que mi desplazamiento.

Así que esencialmente lo que tengo que hacer, la distancia, si tu

te imaginas la distancia de este vector siendo 10, ésa es la

fuerza total, pero tienes que descubrir la distancia del

vector, ése es el componente de la fuerza, yendo en la misma

dirección como mi desplazamiento.

Y un poco de simple trigonometría, tú sabes que

esto es 10 multiplicado el coseno de 60 grados, o es igual a,

coseno de 60 grados es 1/2, así que eso es igual a 5.

Así que esta magnitud, la magnitud de la fuerza yendo

en la misma dirección que el desplazamiento en este

caso, es 5 newtons.

Y luego puedes darte cuenta del trabajo.

Puedes decir que el trabajo es igual a 5 newtons multiplicado, voy

a escribir un punto por la multiplicación.

No quiero que piensen que es un producto cruzado.

Multiplicado por 5 metros, que es 25 newton metros, o podrías

incluso decir 25 Joules de trabajo se han hecho.

Y todo esto es un repaso de física básica.

Pero piensa acerca de lo que ha pasado, aquí.

Cuál era el trabajo?

Si escribo en lo abstracto.

El trabajo es igual a los 5 newtons.

Esa era la magnitud de mi vector de fuerza, así que era

la magnitud de mi vector de fuerza, multiplicado por el coseno de éste ángulo.

Entonces, llamemos a eso theta.

Digámoslo de manera general.

Entonces multiplicado el coseno del ángulo.

Esta es la cantidad de trabajo en la dirección del

desplazamiento, el coseno del ángulo entre ellos, multiplicado por

la magnitud del desplazamiento.

Entonces multiplicado la magnitud del desplazamiento.

O si quisiera reescribir eso, yo podría escribirlo como, la

magnitud del desplazamiento multiplicado por la magnitud de

la fuerza multiplicado por el coseno de theta.

Y como hice múltiples videos acerca de esto, en la lista de álgebra linear,

en la lista de física, donde hablo acerca de

el producto punto y la multiplicación cruzada y todo eso, pero

esto es el producto punto de los vectores d y f.

Entonces en general, si estas tratando de encontrar el trabajo para un desplazamiento

constante, y tienes una fuerza constante, simplemente tomas

el producto punto de estos dos vectores.

Y si el producto punto es un concepto completamente extraño para

ti, podrías querer mirar, creo haber hecho múltiples, 4

o 5 videos del producto punto, y su intuición,

y como se compara.

Pero sólo para darte un poquito de esa intuición aquí

mismo, el producto punto, cuando tomo f punto d, o d punto f,

lo que me está dando es, estoy multiplicando la magnitud, bueno

yo podría simplemente leerlo.

Pero la idea del producto punto es, tomar cuanto de este

vector está yendo en la misma dirección que este vector,

en este caso, este tanto.

Y luego multiplicar las dos magnitudes.

Y eso es lo que hemos hecho aquí.

Entonces el trabajo va a hacer el vector de fuerza, punto, tomando la

parte del punto del vector de fuerza con el vector de desplazamiento,

y este, obviamente, es un valor escalar.

Y haremos paso a paso algunos ejemplos en el futuro donde

verás que eso es verdadero.

Hasta ahora, estamos repasando física elementario

Pero ahora pasamos a un ejemplo mas complejo

que muestra la misma idea

Definamos un campo vectorial

Digamos que tengo un campo vectorial, y en un segundo

vamos a enfocar el significado

Es una función de x e y, que iguala a una función escalar

de x e y multiplicado por el vector unitario i, o

el vector unitario horizontal mas alguna otra función, escalar

función de x e y, multiplicado por el vector unitario vertical

Entonces, ¿qué sería algo de este estilo?

Es un campo vectorial

Un campo vectorial en el espacio de dos dimenciones

Estamos en el plan x-y

O incluso se podría decir, en R2.

De cualquier manera, no quiero entrar demasiado en

la mathiness de la misma.

Pero ¿qué hace esto?

Bueno, si tuviera que señalar mi plano x-y, por lo que es mi, de nuevo,

tiene problemas para dibujar una línea recta.

Bien, allá vamos.

Es mi eje y, y es mi eje x.

Yo sólo estoy sacando el primer cuadrante, y pero usted podría

vaya negativo en cualquier dirección, si lo desea.

¿Qué hace esta cosa?

Pues esencialmente es decir, mira.

Darme cualquier x, cualquier, darle cualquier x, y en el plano x-y,

¿y estos van a acabar con algunos números, correctas?

Cuando pones x, y aquí, vas a obtener algún valor, cuando

pones x, y aquí, vas a obtener algún valor.

Así que vas a obtener una combinación de la i-

y vectores unitarios j.

Así que vas a obtener algunos vectores.

Así que lo que hace esto, define un vector que está asociado

cada punto en el plano x-y.

Por lo tanto se puede decir, si tomo este punto en el plano x-y,

y yo sería pop en esto, voy a algo veces me plus

algo veces j, y cuando añades esos 2, tal vez me sale un

vector que algo parecido.

Y se podía hacer eso en cada punto.

Sólo estoy tomando muestras aleatorias.

Tal vez cuando me voy de aquí, se ve el vector

algo así.

Tal vez cuando me voy de aquí, el vencedor este aspecto.

Tal vez cuando me voy de aquí, el vector parece como ese.

Y quizás cuando voy aquí, el vector va así.

Sólo al azar yo estoy recogiendo puntos.

Define un vector en todas la x, y coordenadas donde

Estas funciones escalares están definidas correctamente.

Y por eso se llama un campo vectorial.

Define qué potencial, tal vez, sería la fuerza,

o algún otro tipo de fuerza, en cualquier momento.

En cualquier momento, si usted tiene algo allí.

Quizás eso es lo que la función.

Y yo pude seguir haciendo esto para siempre, y

llenar todos los vacíos.

Pero creo que usted consigue la idea.

Se asocia un vector a cada punto en el plano x-y.

Ahora, esto se llama un campo vectorial, así que probablemente tiene un

mucho sentido que esto podría ser usado para describir

cualquier tipo de campo.

Podría ser un campo de gravitación.

Podría ser un campo eléctrico, puede ser un campo magnético.

Y esto podría ser esencialmente indica cuánta fuerza

habría en algunas partículas en ese campo.

Eso es exactamente lo que describiría esto.

Ahora, supongamos que en este campo, tengo algunas partículas

viajando en el plano x-y.

Vamos a decir empieza allí y en virtud de todas estas loco

s las fuerzas que actúan sobre él y quizás en algunos temas

o algo, por lo que no siempre se mueva exactamente en la

dirección que el campo está tratando de mover a.

Digamos que se mueve en una ruta que pasa algo como esto.

Y digamos que esta ruta, o esta curva es definida por

una función del vector de posición.

Así que vamos a decir es definido por r t, que es

x justo de t veces además de y de t veces nuestra unidad factor j.

Es r t allí.

Bueno, en orden para que esto sea una ruta finita, esto es cierto

antes de que t es mayor o igual a una y menos

o igual que b.

Este es el camino que la partícula solo pasa a

tomar, debido a todas estas fuerzas extravagantes.

Así que cuando la partícula está justo aquí, tal vez el campo vectorial

actuando sobre ella, tal vez está poniendo una fuerza como ese.

Pero ya la cosa está en algún tipo de pistas, se mueve

en este sentido.

Y luego cuando está aquí, quizá el campo vectorial es como ese,

pero se mueve en esa dirección, porque es en algunas

tipo de pistas.

Ahora, todo lo que he hecho en este video es para construir

a una pregunta fundamental.

¿Cuál fue el trabajo realizado sobre la partícula por el campo?

Para responder a esa pregunta, podríamos acercar un poco.

Me voy a acercar sólo un poco pequeño

fragmento de nuestro camino.

Y vamos a intentar averiguar lo que el trabajo se realiza un muy

pequeña parte de nuestro camino, porque está cambiando constantemente.

El campo está cambiando de dirección.

mi objeto es cambiar de dirección.

Así que vamos a decir cuando estoy aquí, y vamos a decir mover un

pequeña cantidad de mi camino.

Así que vamos a decir me muevo, esto es un infinitesimalmente

dr pequeña. ¿Verdad?

Tengo un diferencial, es un vector diferencial, infinitamente

pequeño desplazamiento.

y digamos que en el transcurso de que es el campo vectorial

actuando en esta zona, digamos que parece

algo así.

Que proporciona una fuerza que se ve algo así.

Por lo es el campo vectorial en esa área, o la fuerza

dirigido en esa partícula derecha cuando es en ese momento.

¿Verdad?

Es una cantidad infinitesimal de tiempo en el espacio.

Se podría decir, OK, sobre ese punto pequeño poco, nos

tener esta fuerza constante.

¿Cuál fue el trabajo realizado durante este período de pequeña?

Se puede decir, ¿cuál es el intervalo pequeño de trabajo?

Se puede decir d trabajo, o un diferencial de trabajo.

Bien, por la misma lógica exacta que hicimos con la simple

problema, es la magnitud de la fuerza en la dirección de

nuestro desplazamiento veces la magnitud de nuestro desplazamiento.

Y sabemos lo que es, sólo este ejemplo aquí.

Es el producto escalar.

Es el producto escalar de la fuerza y nuestro super-small

desplazamiento.

Por lo que es igual al producto escalar de nuestra fuerza y nuestra

desplazamiento Super-Small.

Ahora, sólo haciendo esto, nosotros estamos simplemente averiguar el trabajo

más, tal vez como un dr. super-small, realmente pequeño pero

lo que queremos hacer, es que queremos todo suma.

Queremos resumir todos los drs para averiguar el total,

todos los drs de punto f averiguar el total de trabajan.

Y que es donde entra en juego la integral.

Haremos una línea integral de--o sea, usted podría

Piénsalo dos formas.

Podría escribir allí sólo d punto w, pero podríamos decir, veremos

hacer una integral de línea a lo largo de esta curva c, podría llamar a que c

o a lo largo de r, lo que quieras decir de dw.

Nos daremos el trabajo total.

Así que vamos a decir, es igual a la obra.

O también nos podríamos escribir sobre la integral, más de lo mismo

curva de f de f punto Rd.

Y esto podría parecer como una realidad, ustedes lo saben, Caray,

es muy abstracto, Sal.

¿Cómo realidad calculamos algo como esto?

Sobre todo porque tenemos todo parametrizada

en términos de t.

¿Cómo hacemos esto en términos de t?

Y si usted sólo piense en él, ¿qué es f punto r?

O ¿qué es f punto dr?

Bueno, en realidad, para contestar eso, recordemos

parecía qué dr.

Si recuerdas, dr/dt es igual a x prime de t, me dirijo a usted

así, podría haber escrito dx dt si quería hacerlo, muchas veces la

vector de la unidad i, plus y primo de t, a veces el vector j-unidad.

Y si queríamos dr, podríamos multiplicar ambos lados, si

nosotros estamos siendo un poco más manos-ondulados con el

diferenciales, no demasiado rigurosos.

Nos pondremos dr es igual a x prime de t dt veces la unidad

vector i plus y primo de t veces el diferencial dt

veces la unidad vector j.

Este es nuestro dr aquí.

Y recordar lo que fue nuestro campo vectorial.

Fue esta cosa aquí.

Me deja copiarlo y pegarlo.

Y veremos que es el producto escalar

realmente no es tan loco.

Lo copie y me deja pegarlo aquí abajo.

¿Qué es esta integral va a parecer?

Esta integral aquí, da el trabajo total realizado por

el campo, sobre la partícula, que se mueve a lo largo de ese camino.

Simplemente super fundamental para prácticamente cualquier física grave

que eventualmente puede encontrar usted mismo haciendo.

Por lo tanto se puede decir, bien gee.

Va a ser la integral, vamos a decir justo de t es igual

a, para t es igual a b.

¿Verdad? una es donde comenzamos en el camino, t es igual

para una t es igual a b.

Os podéis imaginar como está programado, como una partícula

movimiento, como el tiempo aumenta.

Y entonces ¿qué es f punto dr?

Bueno, si te acuerdas de sólo a lo que el producto escalar es, usted

esencialmente sólo puede tomar el producto de la correspondiente

componentes de su de vector y les sume.

Así que esto va a ser la integral de t es igual a una t

es igual a b, de la p de p x, realmente, en lugar de escribir x,

¿y, es x de t, correcto? x como una función de t, y como

una función de t.

Así que eso es todo.

¿Veces esta cosa derecha aquí, tiempos este componente, correcto?

Nos estamos multiplicando los componentes i.

Tan veces veces prime de t d t y, a continuación, que además, nos vamos

hacer lo mismo con la función de q.

Esto es q además, iré a otra línea.

Ojala te das cuenta de que podía han mantenido escribiendo solo, pero

Estoy quedando sin espacio.

Plus q x de t, y de t, veces el componente de nuestros tiempos de dr.

la componente y, o el componente de j.

y primo de t dt.

Y hemos terminado!

Y hemos terminado.

Esto todavía puede parecer un poco abstracto, pero vamos

para ver en el siguiente vídeo, todo está ahora en términos de

t, así que esto es sólo una integración vertical,

con respecto al dt.

Si queremos, podríamos tomar el dt fuera de la ecuación,

y veremos un poco más normal para usted.

Pero esto es básicamente todo lo que tenemos que hacer.

Y vamos a ver algunos ejemplos concretos de tomar un

línea integral a través de un campo vectorial, o utilizando vectores

funciones, en el siguiente vídeo.