Linear Algebra: 3x3 Determinant

تعرفنا في الفيديو السابق على كيفية إيجاد محدد مصفوفة اثنين في اثنين

ولتكن لدينا هنا مصفوفة مسماة b بهذا الشكل ومكونة من (a,b,c,d,)

والتي ممكن أن تكتب كb مع هذه الخطوط من حولها

لا أريد أن أخلط هذه

هذه هي المصفوفة في حال وجود الأقواس

وهذا محدد المصفوفة, عند وجود هذه الخطوط المستقيمة

وهذا بالطبع يساوي ad ناقص bc

ولربما كما رأيتم في الفيديو السابق

عندما حددنا معكوس المصفوفة b, حددنا ذلك على أنه يساوي واحد على ad ناقص bc مضروبة في bcمضروبة في مصفوفة أخرى

وهذا يعني إستبدال هذين المدخلين ببعضهما البعض وبالتالي سيكون لدينا a dو a

ويتم جعل هذين العنصرين في حالة سالبة وبالتالي سيصبحان سالب c, و سالب b

وهذا كان معكوس المصفوفة b

ومتى يتم تعريف هذا؟

يتم تعريف هذه المصفوفة طالما كان هذا العنصر الموجود هاهنا لا يساوي صفر

حسنا, تبدو هذه الخطوة مهمة إلى حد ما

فلنسمي المصفوفة الموجودة هاهنا بالمحدد

ومن ثم, يمكننا القول أو المصفوفة b قابلة للعكس إذا وفقط إذا محدد المصفوفة b لا يساوي صفر

ولأن هذا المحدد يساوي صفر, فهذه الصيغة للمعكوس لن تكون معرفة بشكل جيد

حيث أننا حصلنا على هذا من آلية إنشاء المصفوفة المزيدة

ولكن الخلاصة التي يمكن التوصل لها هنا هي أننا عرفنا فكرة المحدد هذه لمصفوفة اثنين في اثنين

والسؤال الثاني الآن, حسنا, هذه عبارة عن مصفوفة اثنين في اثنين, حيث أننا نفضل في الجبر الخطي تعميم جميع القيم والمدخلات إلى أعداد أكبر من الصفوف والأعمدة

والآن الخطوة التالية ستكون البدء بمصفوفة ثلاثة في ثلاثة. ودعونا الآن نعرف محددها

سأنشئ مصفوفة ثلثاة في ثلاثة هنا ولتكن a تساوي- سأكتب الآن مدخلات هذه المصفوفة- وهي الصف الأول, العمود الأول, العمود الثاني, الصف الأول, العمود الثالث

وبالتالي سيكون لدينا aاثنين, واحد, aاثنين, اثنين, aاثنين, ثلاثة

وبالتالي سيكون لدينا هنا a ثلاثة واحد, الصف الثالث, العمود الأول, a ثلاثة, اثنين, ثم هنا aثلاثة, ثلاثة

وهذه مصفوفة ثلاثة في ثلا الموجودة لدينا

ثلاث صفوف وثلاث أعمدة. وهذه مصفوفة ثلاثة في ثلاثة

سأعرف الآن محدد المصفوفة a

وبالتالي سأعرف محدد المصفوفة ثلاثة في ثلاثة

حيث أنها طريقة معقدة قليلا إلا أنك في النهاية ستفهمها

وفي مجموعة الفيديوهات التالية, سنعمل على إيجاد الكثير من المحداد

ومن ثم ستتعود عليها. حيث أنها في بعض الأحيان تكون معقدة حسابيا

وهي أيضا تساوي الصف الأول أي أنها تساوي aواحد, واحد مضروبة في محدد المصفوفة التي تنتج لدينا, لو تخلصنا من أعمدة وصفوف هذه المصفوفة

فلو تخلصنا من أعمدة وصفوف هذه المصفوفة , ستبقى لدينا هذه المصفوفة الموجود هنا

وبالتالي مضروبة في محدد المصفوفة( a اثنين, اثنين, aاثنين ثلاثة, a ثلاثة اثنين, وهنا a ثلاثة ثلاثة

وهذا عبارة عن المدخل الأول زائد هذا #

ثم أنني قلت هذا زائد هذا وذلك لأن المدخل التالي سيكون سالب

لدينا هنا سالب هذا العنصر الموجود هاهنا

ومن ثم سيكون لدينا سالب aواحد اثنين مضروبة في المصفوفة التي تنتج لدينا لو حذفت عمودها وصفها

وبالتالي ستكون هذه المدخلات الموجود لدينا هنا( aاثنين واحد, aاثنين ثلاثة, aثلاثة واحد) ثم سيكون لدينا a ثلاثة ثلاثة. إلا أننا لم ننتهي بعد

يمكنك التخمين بماذا سيكون التالي

وسنسميها بالمصفوفة الجزئية الآن

وبالتالي ستكون لدينا هذه المصفوفة والمكونة من(a اثنين واحد, a اثنين اثنين, aثلاثة واحد, a ثلاثة اثنين)

وهذا عبارة عن تعريف محدد المصفوفة ثلاثة في ثلاثة

والتحفيز هنا

ولهذا, إذا كان محدد هذه المصفوفة يساوي صفر, لن نستطيع إيجاد المعكوس

وعندما عرفت المحدد بهذه الطريقة

واذا كان المحدد لا يساوي صفر, لن نستطيع إيجاد المعكوس

كما أنني لم أوضح ذلك لكم

لربما أني لم أوضح ذلك لكم لأنها عملية حسابية معقدة وتستغرف وقتا طويلا

ستكون عملية صعبة جدا ولربما ولربما أرتكب بعض الأخطاء البسيطة

ولكن التحفير يأتي من المكان ذاته كنسخة اثنين في اثنين

ولكني أعتقد ما تريد رأيته هنا الآن على الأقل تطبيق ها العنصر في المصفوفة الحقيقة, لأن هذا يبدو مجردا الآن

ولو أردنا ضربها في مصفوفة حقيقية, ....

والآن, سنترك التعريف هاهنا في الأعلى, ولنقل أن لدينا الصفوفة( واحد, اثنين, أربعة, اثنين, اثنين) ناقص واحد, ثلاثة و أربعة, صفر, واحد

ومن خلال تعريفنا للمحدد,,,ولنفترض أننا نسمي هذه المصفوفة C,,, وCتساوي هذه

وبالتالي, إذا أردت تحدد محدد المصفوفة C, فمحدد C سيساوي- سآخذ هذا العنصر الموجود هاهنا أي واحد- مضروبة في محدد- سأسميه المصفوفة الجزئية هنا

وبالتالي سيصبح لدينا سالب واحد, a ثلاثة, a ثلاثة و a واحد

لاحظ أننب تخلصت من عمود هذه المصفوفة وصف هذه المصفوفة

كما تبقى لدينا, سالب واحد, ثلاثة, صفر, واحد

ثم سآخذ هذه المصفوفة, وهنا تكمن الصعوبة

ينبغي علينا هنا تبديل الرموز. فلو بدأنا بموجب هنا, سيكون هذا سالب

لذا, سيكون لدينا سالب اثنين مضروبة في المصفوفة الجزئية...يمكننا تسميتها ب...فلو تخلصنا من عمود هذه المصفوفة وصف هذه المصفوفة سيكون لدينا هنا( اثنين, ثلاثة, أربعة, واحد)

سأمحي هذه ال

فلو وضعت أصبعي هنا, سأغطي هذا العمود هذا والصف الموجود هنا

وبالتالي يمكنك رؤية (aاثنين, aثلاثة, aأربعة, و a واحد)

وهذا هو ما سأوضعه هنا

وبالنهاية, ستبقى لدينا موجب أربعة مضروبة في محدد المصفوفة الجزئية, لو أردنا التخلص من هذا الصف في وهذا العمود

لذا, يبقى لدينا (اثنين, سالب واحد, أربعة, صفر)

والآن هذه العناصر واضحة وسهلة الحساب. لذا, دعونا نقم بذلك

هذا سيكون عبارة عن واحد مضروب في ماذا؟ مضروبا في سالب واحد مضروبا في واحد

سالب واحد مضروبا واحد, سالب صفر مضروبا في ثلاثة

وهذا يأتي من تعريف المحدد اثنين في اثنين

حيث أننا قمنا تماما بتعرف ذلك. ومن ثم سيكون لدينا سالب اثنين مضروبة في اثنين مضروبة في واحد سالب أربعة مضروبة في ثلاثة

وبالنهاية, سيبقى لدينا موجب أربعة مضروبة في اثنين نضروبة في صفر ناقص سالب واحد مضروب في أربعة

سأكتبها هنا في الخارج لعلكم ترونها

وهذه المصفوفة الموجودة هي نفسها الموجودة هنا

ثم سيكون لدينا في أربعة في الأمام

وهذا العنصر الموجود هاهنا هو نفسه هذا العنصر الموجود هاهنا

وبالتالي سيكون لدينا محدد المصفوفة الجزئية اثنين في اثنين لكل من من هذه العناصر

لذا, لو حسبنا هذه المعادلة فهذا سيساوي سالب واحد مضروبا في واحد يساوي سالب واحد

سالب صفر

وهذا عبارة عن سالب واحد مضروبة في واحد يساوي aناقص واحد

ماذا هذا يساوي؟

هذا العنصر الموجود هنا يساوي اثني عشر

وبالتالي سيكون لدينا اثنين ناقص اثني عشر

ستحصل على اثنين مضروبة في واحد ناقص أربعة مضروبة في ثلاثة وهذا يساوي عشرة

وبالتالي هذا يساوي سالب عشرة

ثم بقي لدينا سالب عشرة مضروبة في سالب اثنين وهذا يساوي موجب عشرين

سالب اثنين مضروبة في سالب عشرة. وبالنهاية لدينا هنا في اللون الأخضر اثنين مضروبة في صفر وهذا يساوي صفر

ثم لدينا سالب واحد مضروبة في أربعة يساوي أربعة

ثم سيكون لدينا سالب هذه الإشارة الموجودة هنا وهذا يساوي موجب أربعة

وبالتالي موجب أربعة مصروبة في أربعة يساوي ستة عشر

وعلى ماذا سنحصل عند جمع هذه العناصر؟

سنحصل على عشرين زائد سةت عشرة ناقص واحد وهذا يساوي خمسة وثلاثين

لقد إنتهينا الآن

حيث وجدنا أن محدد مصفوفة ثلاثة في ثلاثة ليس صعب جدا

وهذا يساوي محدد المصفوفة C.

وبما أن هذا العنصر ليس صفرا, فهذا يعني أن المصفوفة C قابلة للعكس

وفي الفيديو القادم, سنحاول مد هذه المصفوفة الى مصفوفات تربيعية n في n