Linear Algebra: 3x3 Determinant

...

En el darrer vídeo definírem el concepte de determinant

d'una matriu 2 per 2

Per tant, si tenim una matriu --diguem-ne B--, si la meva

matriu és com aquesta, si les cel·les són a, b, c, d,

hem definit el determinant de B.

Això també es podia escriure com B amb aquestes línies als costats,

que també es podien escriure com les cel·les de la matriu amb

aquelles línies al voltant, a, b, c, d.

I no vull que us confongueu.

Aquesta és la matriu quan tenim els claudàtors.

Aquest és el determinant de la matriu, quan simplement es tenen

aquestes línies rectes.

I aquest, per definició, era igual a "ad" menys "bc".

I vegéreu en el darrer vídeo, o potser vegéreu en el darrer

vídeo, quina era la motivació de la qual procedia això.

Quan ens adonàrem de la inversa de B, determinàrem

que era igual a 1 partit "ad" menys "bc" multiplicat per una altra matriu,

que era essencialment aquests dos intercanvis de cel·les,

es tenia "a d" i una "a".

I quan aquestes dues cel·les eren negatives, aleshores

menys "c" i "menys" b"

Aquesta era la inversa de B.

I diguérem, bé, quan és que això està definit?

Això està definit sempre i quan l'expressió d'aquí

no és igual a 0.

Per tant diguéreu hey, això sembla bastant important.

Anomenem aquesta cosa d'aquí el determinant.

...

I aleshores podíem dir que B és invertible si, i només si,

el determinant de B no és igual a 0.

Perquè si és igual a 0, aleshores aquesta fórmula per a la inversa

no estarà definit.

I això ho obtenguérem de la nostra tècnica de crear una

matriu augmentada.

Però la gran presa de distància és que definírem aquest concepte de

determinant d'una matriu 2 per 2.

Ara la següent pregunta és, bé això és només 2 per 2,

tot allò que fem a àlgebra lineal, ens agrada generalitzar-ho

a un nombre més alt de files i de columnes.

Per tant la pròxima passa, almenys --facem només passes petites--

comencem per una 3 per 3.

Definim què és el seu determinant.

Per tant deixau-me construir una matriu 3 per 3 aquí.

Diguem que la meva matriu A és igual a --deixa-me només escriure les seves

cel·les-- primera fila, primera columna, primera fila, segona

columna, primera fila, tercera columna.

Aleshores es té "a 2 1", "a 2 2", "a 2 3".

Després es té "a 3 1", tercera fila primera columna, "a 3 2",

i després "a 3 3".

Aquesta és una matriu 3 per 3.

Tres files i tres columnes.

Això és 3 per 3.

Definiré el determinant de A.

Per tant aquesta és la definició.

Definiré el determinant d'aquesta 3 per 3

matriu A com igual a -- i això és una mica

complicat, però ho dominareu amb el temps.

En alguns dels propers vídeos, farem moltíssims

de determinants.

De manera que esdevé com una segona pell.

De vegades és computacionalment una mica intensiu.

Però és igual a la primera fila.

És igual a "a 1 1" multiplicat pel determinant de la matriu que

s'obté, si s'eliminen aquesta columna i aquesta fila.

Per tant, si eliminam aquestes columna i fila, us

quedau amb aquesta matriu aquí.

Per tant, multiplicat pel determinant de la matriu "a 2 2, a 2 3, a 3 2"

i després "a 3 3".

Tal com axiò.

Per tant aquesta és la nostra primera cel·la i hi ha un més.

I he dit un més, perquè la propera cel·la

serà un menys.

Es té un menys just aquí.

De manera que tendrem un menys "a 1 2" multiplicat per la matriu

que s'obté si s'eliminen la seva columna i la seva fila

I multiplicat, s'obtendran aquestes cel·les d'aquí.

Per tant, "a 2 1, a 2 3, a 3 1", i després es té "a 3 3".

No ho hem fet tot.

Podríeu endevinar probablament quina serà la pròxima passa.

Després tendrem un més -- deixau-me que canviï

a un color millor -- més aquí.

Més "a 1 3" multiplicat pel determinant de la seva -- intuesc

que podríeu anomenar-ho-- la seva submatriu.

Ho anomenarem d'aquesta manera per ara.

És a dir aquesta matriu d'aquí.

Per tant "a 2 1, a 2 2, a 3 1, a 3 2".

Aquesta és la nostra definició del

determinant d'una matriu 3 per 3.

I la motivació és perquè quan agafam el determinant

de 3 per 3 resulta --no us ho he mostrat encara--

que la propietat és la mateixa.

Que si el determinant d'això és 0, no podreu

trobar cap inversa.

I quan he definit el determinant d'aquesta manera.

Si el determinant no és igual a 0, podreu

trobar una inversa.

Per tant, d'aquí és d'on venia.

I no us ho he mostrat encara.

I no us ho podria mostrar perquè és molt

computacional.

Ens ocuparà molt de temps.

Serà molt embullós i cometré errors per distracció.

Però la motivació ve del mateix lloc que venia la

versió 2 per 2.

Però pens que allò que probablement voleu veure ara és

almenys aplicar aquesta cosa a una matriu real, perquè

tot això sembla abstracte ara mateix.

Però si ho veiem amb una matriu concreta, de fet veureu

que no està tan malament.

Per tant, deixem la definició allà dalt i diguem que

tenc la matriu 1, 2, 4, 2, 2, menys 1, 3, i 4, 0, 1.

De manera que per la nostra definició de determinant, el determinant

d'aquesta cosa d'aquí --diguem que anomen aquella matriu

C-- C és igual a allò.

Per tant si volem esbrinar el determinant de C, el

determinant de C és igual a -- agafo aquesta cosa d'aquí,

deixau-me agafar aquell 1-- multiplicat pel determinat de --

diguem-ne la submatriu, just aquí.

Per tant tenim un menys 1, tenim un 3, tenim un 0,

i tenim un 1.

Com això.

Adonem-nos que m'he alliberat de la columna d'aquesta cel·la

i de la fila d'aquesta cel·la

I m'he quedat simplement amb menys 1, 3, 0, 1.

...

Després, agaf aquesta cel·la.

I aquest és el truc.

S'han d'alternar els signes.

Si es comença amb un positiu aquí, aquest pròxim serà

serà un menys

De manera que es tendrà un menys 2 vegades la submatriu -- podem

dir-ho-- si ens alliberam de la columna d'aquesta cel·la

i de la fila d'aquesta cel·la.

Per tant 2, 3, 4, 1.

...

Simplement ho he esborrat.

Si pogués enregistrar el meu dit, cobriria amb el meu

dit aquesta columna d'aquí i aquella columna, i

només es veuria un 2, un 3, un 4 i un 1.

I és just és que he posat allà.

I finalment, hem posat més, menys, més.

Finalment tendrem un més 4 multiplicat pel determinant de la

submatriu, si s'eliminen aquella filla i aquella columna.

Per tant, 2, menys 1, 4, 0.

...

Ara, això és bastant senzill.

No hi ha coses males de calcular.

Facem-ho tot.

Per tant, això serà igual a 1 multiplicat per quina cosa?

Menys 1 multiplicat per 1.

Deixau-me que ho escrigui.

Menys 1 multiplicat per 1, menys 0 multiplicat per 3.

Això s'obté de la definició d'un

determinant 2 x 2.

Ja l'hem definit.

I aleshores tendrem un menys 2 multiplicat per 2 multiplicat per 1,

menys 4 multiplicat per 3.

I finalment, tendrem un més 4 multiplicat per 2 multiplicat per

0 menys menys 1 multiplicat per 4.

...

Ho he escrit perquè es pugui veure.

Aquesta cosa d'aquí és precisament aquesta cosa d'aquí.

I ara tenim un 4 davant.

Aquesta cosa d'aquí era precisament aquesta cosa d'aquí.

Per tant, és el determinant de la matriu 2 per 2 de cada una

d'aquestes coses.

I si calculam això, és igual a --menys 1 multiplicat per 1

és menys 1.

Menys 0, això és un 0.

Aquest és menys 1 multiplicat per 1, aleshores això és menys 1.

I aleshores s'obté-- a què és igual?

Això d'aquí és 12.

Per tant s'obté 2 menys 12.

Correcte?

Obtenim 2 multiplicat per 1 menys 4 multiplicat per 3.

Per tant, és menys 10.

I això és igual a menys 10.

Després tenim un menys 10 multiplicat per menys 2.

I això es converteix en més 20, correcte?

Menys 2 multiplicat per menys 10.

I finalment, en verd, tenim 2 multiplicat per 0,

que és 0.

I aleshores es té menys 1 multiplicat per 4, que és menys 4.

Després tenim un signe menys aquí, de manera que és més 4.

Per tant tot esdevé un més 4.

Més 4 multiplicat per 4 és 16, de manera que més 16.

I què obtenim quan ho sumam tot?

Obtenim 20 més 16 menys 1.

És igual a 35.

Hem acabat.

Hem trobat el detemrinant d'una matriu 3 per 3.

No està tan malament.

Just aquí, que és igual al determinant de C.

Per tant, el fet que això no sigui 0 ens diu que C és

invertible.

...

En el proper vídeo, intentarem generalitzar això a les

matrius quadrades "n" per "n".

...