Linear Algebra: 3x3 Determinant

V minulém videu jsme definovali
pojem determinant pro matici '2 krát 2'.

Mám-li nějakou matici, nazveme ji B…

Pokud tedy moje matice B vypadá takto
a jsou-li její prvky 'a', 'b', 'c' a 'd',

tak jsme definovali
determinant matice B,

který také může být zapsaný jako |B|,
s těmito svislými čárami kolem.

Tedy tak, že prvky matice mají tyto
svislé linky kolem.

Nechtěl bych vás mást.

Vidíte-li hranaté závorky,
je to matice.

O determinant matice jde,
pokud tu máte tyto svislé čáry.

A toto bylo, podle definice,
rovno 'ad' minus 'bc'.

V minulém videu jste viděli,
tedy možná jste viděli,

co nás k tomu motivovalo.

Když jsme našli inverzní matici k B,
tak jsme zjistili, že se rovnala:

1 lomeno 'ad' minus 'bc'
krát další matice,

což byly vlastně tyto dva prvky,
jen prohozené a dostali jsme 'd' a 'a'.

Těmto dvěma hodnotám jsme pak
prohodili znaménko, tedy '-c' a '-b'.

Toto byla inverzní matice k B.

Položili jsme si otázku:
„Kdy je toto definováno?“

Je to definováno vždy,
kdy tento výraz není roven 0.

Řekli jsme: „Hmm, to vypadá důležitě,
nazvěme to determinantem.“

Pak jsme mohli říct,
že B je invertibilní (regulární) tehdy,

když se determinant B nerovná 0.

Pokud by se rovnal 0,

potom by tento vzorec pro výpočet
inverzní matice nebyl definován.

Toto jsme získali z rozšířené matice.

Ale hlavní je, že jsme definovali pojem
determinant pro matice '2 krát 2'.

Další otázka zní…

Toto je pouze případ 2x2,
cokoliv děláme,

tak chceme zobecnit
pro více řádků a sloupců.

Další krok je…
Pojďme krůček po krůčku.

Začněme s 3x3.

Pojďme definovat její determinant.

Zkonstruuji zde matici '3 krát 3'.

Moje matice A je rovna…
Napíšu její prvky.

První řádek a první sloupec,
první řádek a druhý sloupec,

první řádek a třetí sloupec.

Potom máme 'a21', 'a22', 'a23'.

Potom 'a31', třetí řádek, první sloupec,
'a32' a nakonec 'a33'.

To by byla matice '3 krát 3'.

Tři řádky a tři sloupce.

Toto je '3 krát 3'.

Teď definuji determinant A.

Takže toto je definice.

Determinant '3 krát 3' matice A
definuji roven…

Je to trochu komplikované,
ale časem na to přijdete.

V příštích videích spočítáme
tuny determinantů.

Aby vám to trochu vlezlo pod kůži.

Občas se přitom nevyhnete
intenzivnímu počítání…

Je to rovno první řadě…

Rovná se to 'a11'
krát determinant matice,

kterou dostanete, zakryjete-li řádek
a sloupec příslušící tomuto prvku.

Zakryjete-li řádek a sloupec toho prvku,
zbyde vám tato matice.

Takže krát determinant matice
s řádky (a22, a23), (a32, a33).

Přesně takto.

To je tedy náš první člen
a zde je 'plus'.

Řekl jsem, že je zde plus,
protože u dalšího členu bude 'minus'.

Minus tento prvek…

Budete tedy mít -'a12' krát matice,

jež vznikla vypuštěním
příslušného řádku a sloupce.

Budou tam tyto prvky.

Takže máme řádky
(a21, a23) a (a31, a33).

Ještě nejsme hotovi.

Asi uhádnete,
co bude následovat.

Pak budeme mít plus…

Přepnu se na lepší barvu.

Plus tento prvek…

Plus 'a13' krát determinant jeho,
myslím, že tomu můžeme říkat „submatice“.

Zatím to nazveme takto.

Takže tato matice s řádky
(a21, a22) a (a31, a32).

Toto je naše definice determinantu
matice o rozměru '3 krát 3'.

Motivace je taková…

Vezmete-li determinant
matice '3 krát 3'…

Ještě jsem to neukázal.

Tato vlastnost je stejná.

Je-li determinant tohoto 0,
nebudete moci najít inverzní matici.

Determinant jsem definoval takto.

Nerovná-li se determinant nule,
budete ji schopni nalézt.

Vzešlo to tedy odsud.

Ještě jsem vám to neukázal,

asi vám to ani neukážu,
jelikož je to mega-počítací,

zabralo by to mnoho času,
nebylo by to hezké a dělal bych chyby,

ale motivace je přesně taková,
jako u matice o rozměru '2 krát 2'.

Myslím si, že byste teď rádi viděli,
jak to aplikuji na konkrétní matici,

zatím to vypadá příliš abstraktně,

ale jakmile to uděláme na konkrétní
matici tak uvidíte, že to není tak zlé.

Nechme definici tam nahoře.

Řekněme, že mám matici…

Mám matici s řádky
(1, 2, 4), (2, -1, 3) a (4, 0, 1).

Podle naší definice determinantu,
determinant této matice…

Nazvu tuto matici „C“.
C se rovná tomuto.

Chceme-li určit determinant C,
determinant C se rovná…

Vezmu tento prvek,
1 krát determinant této submatice.

Máme tedy matici
s řádky (-1, 3), (0, 1).

Přesně takto.

Všimněte si, vypustil jsem
řádek a sloupec tohoto prvku

a zbylo mi právě (-1, 3) a (0, 1).

Dále vezmu tento prvek.

Tady je trik v tom,
že musíte střídat znaménka!

Začnete-li s plusem,
další bude mít minus.

Máme tedy -2 krát
determinant submatice,

která vznikla zakrytím
tohoto sloupce a řádku.

Takže (2, 3), (4, 1).

Jen jsem si to zakryl.

Kdyby to šlo ukázat, prstem bych zakryl
tento sloupec a tento řádek

a vy byste viděli jen 2, 3, 4, 1.

Přesně to jsem tam napsal.

Nakonec budeme mít plus…
Šli jsme plus, minus, plus.

Nakonec budeme mít +4
krát determinant submatice,

jež vznikla zakrytím
tohoto řádku a sloupce.

2, -1, 4, 0.

Matice s řádky (2, -1) a (4, 0).

To je dost přímočaré.

Není příliš těžké to spočítat.

Pojďme na to.

Toto se tedy bude rovnat 1 krát co?

-1 krát 1…
Zapíšu to.

-1 krát 1 minus 0 krát 3.

To jsme vzali z definice
determinantu '2 krát 2'.

Ten už jsme definovali.

Pak budeme mít -2 krát
(2 krát 1 minus 4 krát 3).

Nakonec budeme mít +4 krát
(2 krát 0 minus minus 1 krát 4).

Napsal jsem to,
abyste to viděli.

Toto není nic jiného než toto zde.

A vepředu je +4.

Tato věc byla zase jen toto.

U každého prvku je to
determinant jeho submatice.

Spočítejme to,
bude se to rovnat -1 krát 1, což je -1.

Minus 0 krát 3, což je 0.

Toto je -1 krát 1, tedy -1.

Co dostaneme pak?

Toto je 12.

Dostáváme tedy 2 minus 12, že?

2 krát 1 minus 4 krát 3.

Takže to je -10.

To se tedy rovná -10.

Pak máme -10 krát -2.

To tedy dá +20, že?

-2 krát -10.

Nakonec to, co je zeleně.
Máme 2 krát 0, tedy 0.

Pak máme -1 krát 4, tedy -4.

Pak máme tady minus, tedy +4.

Tedy toto celé bude +4.

+4 krát 4 je 16, tedy plus 16.

Co dostaneme,
když to sečteme?

Dostaneme 20 plus 16 minus 1.

Což se rovná 35.

Jsme hotovi.

Našli jsme determinant
naší matice o rozměru '3 krát 3'.

To není tak zlé.

Toto se tedy rovná determinantu C.

Vzhledem k tomu, že to není rovno 0,
je matice C invertibilní (regulární).

Matice C je invertibilní (regulární).

V dalším videu to zobecníme
na čtvercové matice o rozměru 'n krát n'.