Linear Algebra: 3x3 Determinant

En el último vídeo definimos la noción de la determinante de

una matriz 2 por 2

Si tengo una matriz- vamos a llamarla "B"- si mi

matriz "B" se ve como esta, si sus entradas son a, b, c, d,

hemos definido a la determinante de "B".

que tambien poderia ser escrito como "B" con estas lineas alrededor de ella,

que tambien se podria escribir como la entredas de la matriz con

esas lineas alrededor de ella, a, b, c, d.

Y no quiero que confundas estas.

Esta es la matriz cuando tu tienes los parentesis.

Esta es la determinante de la matriz, cuand tu solo tienes

estas lineas rectas.

Y esta, por definicion, era igual a "ad" menos "bc"

Y viste en l ultimo video, o quiza viste en el ultimo

video, de donde vino la motivacion para esto.

Cuando figuramos el inverso de B, determinamos

que era igual a 1 sobre "ad" menos "bc" multiplicado for otra matriz

que era esencialmente el intercambio de estas dos entradas, tu

tienes "a" "d" y una "a"

Y entonces estas dos entradas hechas negativo, entonces

menos c y menos b.

Esto es el inverso de b

Y nosotros decimos, bien, Cuando se define esto?

Esto se define siempre y cuando el simbolo aqui

no sea igual a 0

Tu dices entonces, esto parece muy importante.

Vamos a llamar esto justo aqui el determinante.

Entonces podemos decir que B es invertible, si y solo si,

la determinante de B no es igual a 0.

Porque si es igual a 0, entonces esta formula para el inverso

no estara bien definida.

Y llegamos a esto con nuestra tecnica de crear una

matriz aumentada

Pero lo mas grande que obtuvimos fue que definimos la nocion de una

determinante de una matriz 2 por 2

Ahora la proxima pregunta es, bien esta es solamente una 2 por 2

Todo lo que hacemos en algebra linear, nos gusta generalizarlo

a numeros mas grandes de columnas y filas

Entonces el proximo paso, al menos--vamos a dar pasos de bebe

empecemos con una 3 por 3

Definamos cual es su determinante

Construyamos una matriz 3 por 3 aqui.

Digamos que mi matriz A es igual a -- dejame escribir sus

entradas-- primera fila, primera columna, primera fila, segunda

columna, primera fila, tercera columna

Entonces tienes a2 1, a2 2, a2 3.

Despues tienes a3 1, tercer fila primera columna, a3

2, y despues a3 3.

Esta es una matriz 3 por 3

Tres filas y tres columnas

Esta es 3 por 3

Voy a definir la determinante de A

Por lo consiguiente, esta es una definicion.

Voy a definir la determinante de esta matriz A 3 por 3

para que sea igual a-- y esto esta un poquito

intrincado, pero vas a entenderlo eventualmente.

En los proximos videos, vamos a hacer muchos

determinantes.

Entonces se va convertir en algo automatico para ti.

Algumas veces la cantidad de computaciones que hay que hacer son intensivas

pero esto es igual a esta primera fila

Es igual a a1 1 por el determinante de la matriz que

obtienes, si te deshaces de esta columna y fila

Entonces si te deshaces de esta columna y file, te

quedaras con esta matriz aqui.

Entonces, multiplica la determinante de la matriz a2 2, a2 3, a3 2,

y finalmente a3 3

Asi nada mas

Entonces esta es nuestro primer ingreso y esto es mas esto.

Entonces dije; es mas esto, porque el siguiente ingreso va a

ser un menos.

Tienes que restar este justo aqui.

Entonces vas a tener menos a1 2 multiplicado por la matriz

tu obtienes, si eliminas su columna y su fila

Vas a obtener este ingreso aqui

Entonces a2 1, a2 3, a3 1, y despues tu tienes a3 3.

Todavia no hemos terminado

Probablemente podrias adivinar lo que la proxima sera

Entonces vas a tener un mas--dejame cambiar a un

mejor colr-- mas este aqui.

Mas a1 3 multiplicado por el determiannte de sus-- creo

que lo podrias llamar-- su sub-matriz

Lo llamaremos asi por ahora

Entonces esta matriz aqui

a2 1, a2 2, a3 1, a3 2.

Esta es nuestra definicion del

determinante de una matriz 3 por 3

Y la motivacion es, porque cuando tomas un determinante

de 3 por 3 este se convierte -- no te he ensenado esto todavia--

la propiedad es la misma.

El determinante de esto es 0, No vas a poder

encontrar un inverso.

Y cuando defino el determinante deesta manera

si el determinante no es igual a 0, podras

encontrar un inverso.

Entonces esto vino de aqui.

Y todavia no te he enseñado eso.

Y puede que no te lo enseñe porque es requiere

demasiados computos.

Tomaria mucho tiempo.

Seria peliaguado y cometeria errores

Pero la motivacion viene exactamente del mismo lugar que la

version 2 por 2

Pero creo que probablemente lo que quieres ver ahora es

por lo menos esto aplicado a una matriz real, porque

esto luce bastante abstracto ahora.

Pero si lo hacemos con una matriz real, podras ver

que no es tan malo

Entonces dejemos la definicion aqui arriba, y digamos que

tengo la matriz 1, 2, 4,2,2 menos 1,3, y 4,0,1.

Entonces por la definicion de una determinante, la determinante

de esta justo aqui-- digamos que voy a llamar a esta matriz

C--C es igual a esto

Entonces si queremos calcular el determinante de C, el

determinante de C es igual a-- Tomo a este aqui

dejame tomar este 1-- multiplicado por el determinante de--vamos

a llamarlo la submatriz, aqui

entonces tenemos a menos 1, tenemos a 3, tenemos a 0,

y tenemos a 1.

Asi nada mas

Date cuenta, me deshice de esta columna.

y de esta fila

Y me quede con menos 1, 3, 0, 1.

Despues, tomo este

Y aqui esta el truco

Tienes que alternar signos

Si empiezas con un positivo aqui, el proximo va a ser

un menos.

Entonces vas a tener un menos 2 multiplicado por la submatriz--podemos

llamarla--si nos deshacemos de esta columna

y de esta fila

entonces 2, 3, 4, 1

Limpie todo esto

Si pudiera grabar mi dedo, cubriria con mi dedo

esta columna aqui y cubriria tambien esta fila y

solo podrias ver a2, a3, a4, y a1

Y eso es lo que puse aqui.

Finalmente, fuimos mas, menos, mas.

Finalmente, tendremos mas 4 multiplicado por el determinante de

la submatriz, si te deshaces de esta fila y esta columna

entonces 2, menos 1, 4, 0

Ahora, estas son bastante sencillas

Estas no son muy dificiles de calcular.

Vamos a hacerlo

Esto va a ser igual a 1 multiplicado por que?

negative 1 multiplicado por 1

Dejame escribirlo

negative 1 multiplicado por 1, menos 0 multiplicado por 3

Esto viene de la definicion de una determinante

2 por 2

Ya hemos definido eso

Despues vamos a tener un menos 2 multiplicado por 2, multiplicado por 1

menos 4 multiplicado por 3

Y finalmente, vamos a tener un mas 4 multiplicado por 2,

mltiplicado por 0 menos menos 1 multiplicado por 4

Lo escribi todo para que lo puedas ver

Esto aqui es simplemente esto aqui

Y entonces tienes el 4 en el frente

Esto aqui es simplemente esto aqui

Es el determinante de la submatriz 2 por 2 para cada uno

de estos.

y si calculamos esto, esto es igual a-- menos 1 multiplicado por uno

es menos 1

menos 0, es 0

Este es un menos 1 multiplicado pr 1, que es un menos 1

y despues tenemos---A que es igual este?

Este aqui es 12

Entonces tienes 2 menos 12

Verdad?

Obtienes 2 multiplicado por 1 menos 4 multiplicado por 3.

Que es menos 10

Esto es igual a menos 10

Despues tienes menos 10 multiplicado por menos 2

Entonces se convierte en 20 positivo, verdad?

Menos 2 multiplicado por menos 10

Y finalmente, en verde, tenemos 2 multiplicado por 0,

que es 0

Entonces tienes un menos 1 multiplicado por 4, que es menos 4

Tienes un signo negativo aqui, entonces es un 4 positivo.

Entonces todo esto se convierte en un 4 positivo.

4 positivo multiplicado por 4 es 16, entonces mas 16

Y que obtenemos cuando sumamos todo esto?

Obtenemos 20 mas 16 menos 1

Es igual a 35

Terminamos

Encontramos el determiante de nuestra matriz 3 por 3

No esta muy mal

Aqui, entonces este es igual al determiante de C

El hecho de que este no es 0 te dice que C

es invertible.

En el proximo video, tratermos de extender esto a matrices

cuadradas de "n" por "n".