Linear Algebra: 3x3 Determinant

Algèbre linéaire: Déterminant d'une matrice 3x3

Dans la dernière vidéo, nous avons défini la notion de déterminant

d'une matrice 2x2.

Si je prends une matrice -- appelons-la B--

et que ma matrice B ressemble à cela, que ses valeurs sont a, b, c, d

Le déterminant de B

peut aussi s'écrire B entre deux traits

ou encore les valeurs de la matrice a, b, c et d

entre ces deux traits.

Et je ne veux pas que vous mélangiez ces deux:

Entre crochets il s'agit de la matrice,

et entre deux traits il s'agit

du déterminant de la matrice.

Et ce déterminant est égal, par définition, à ad moins bc.

Et vous avez peut-être vu dans la dernière vidéo,

d'où cela vient.

Quand on cherchait la matrice inverse de B, on trouvait

qu'elle était égale à 1 sur ad moins bc fois une autre matrice

qui était formée de ces deux valeurs échangées,

donc d et a

et ces deux valeurs en négatif,

moins c et moins b.

Cela donnait l'inverse de b.

Et on s'est demandé quand cela est-il défini?

Cela est défini pour autant que ce caractère

ne soit pas égal à 0.

Ceci étant très important,

on a décidé de l'appeler le déterminant.

on a décidé de l'appeler le déterminant.

Donc on peut dire que B est inversible si et seulement si

le déterminant de B n'est pas égal à 0.

Car s'il est égal à 0, alors cette formule de l'inverse

n'est pas définie.

On peut voir cela par notre technique pour créer

une matrice inverse.

Mais ici on définit cette notion de déterminant

pour une matrice 2x2.

Et cela vaut uniquement pour une matrice 2x2,

or en algèbre linéaire, on aime généraliser

pour un nombre plus élevé de lignes et de colonnes.

Donc pour l'étape suivante -- faisons-le étape par étape--

prenons une matrice 3x3,

et définissons ce qu'est son déterminant.

Laissez-moi donc dessiner une matrice 3x3.

Disons que ma matrice A est égale à -- écrivons ses valeurs---

première ligne, première colonne, première ligne, seconde colonne,

première ligne, troisième colonne.

Et ensuite a21, a22, a33,

puis a31 (troisième ligne, première colonne),

a32 et enfin a33.

Voici une matrice 3x3:

trois lignes et trois colonnes.

Elle est de type 3x3.

Définissons maintenant le déterminant de A.

Voici donc sa définition.

Définissons le déterminant d'une matrice 3x3

comme étant égal à -- et c'est un peu compliqué,

mais vous allez vite comprendre le truc.

Et dans les prochaines vidéos, on va calculer une tonne

de déterminants

pour que cela devienne comme une seconde nature pour vous.

Le calcul est un peu compliqué parfois.

Mais il faut multiplier la première valeur

a11 par le déterminant de la matrice obtenue

en supprimant la ligne et la colonne de la valeur en question.

Et en enlevant la ligne et la colonne de cette valeur-ci,

il vous reste cette matrice-ci.

On multiplie donc a11 par le determinant de la matrice a22, a23,

a32 et a33.

Tout simplement.

Voici notre première valeur à aditionner.

Je précise "à aditionner", car la prochaine valeur

sera soustraite.

Il faut mettre moins cette valeur-ci,

donc on aura moins a12 fois la déterminant de la matrice

obtenue en éliminant la colonne et la ligne de a12.

Donc fois ces valeurs-ci:

a21, a23, a31 et a33.

Et maintenant, ce n'est pas encore fini.

Vous vous doutez surement de ce que sera la suite.

Ensuite il faut encore aditionner

-- laissez-moi prendre une meilleure couleur -- cette valeur,

cette valeur a13 fois le déterminant de sa matrice

-- appelons-la sa sous-matrice--.

On va l'appeler comme cela pour l'instant.

Cette matrice-ci,

a21, a22, a31 et a32.

Voici la définition du

déterminant d'une matrice 3x3.

Et si vous prenez le déterminant d'une matrice 3x3,

il s'avère que -- je ne vous l'ai pas encore montré --

la propriété reste la même:

si le déterminant est égal à 0, la matrice

n'est pas inversible.

Je définis donc le déterminant de cette manière:

si le déterminant n'est pas égal à 0, on pourra définir

la matrice inverse.

Voici d'où vient la formule,

même si je ne vous l'ai pas encore montré.

Et je ne vais sûrement pas vous le montrer,
car c'est très

calculatoire,

et cela prendrait beaucoup de temps,

ce serait très effrayant et je ferais des fautes d'inattention.

Mais on peut expliquer cette formule de la même manière

que celle des matrices 2x2.

Mais maintenant vous voulez sûrement voir

cette formule appliquée à une vraie matrice,

car cela semble bien abstrait pour l'instant,

mais si on l'applique à une vraie matrice, vous verrez

que ce n'est pas si compliqué.

Laissons donc la définition là-haut et prenons

une matrice 1, 2, 4, 2, 2, -1, 3, et 4, 0, 1.

Par la définition du déterminant, le déterminant

de cette matrice-ci -- appelons-là C --

-- voici la matrice C --

Pour déterminer le déterminant de la matrice C,

il faut prendre cette valeur-ci,

et la multiplier par le déterminant de ce que l'on

va appeler sa sous-matrice, ici.

On a donc -1, 3, 0

et 1.

Tout simplement.

J'ai donc éliminé la colonne

et la ligne de la valeur en question.

Et il me reste -1, 3, 0 et 1.

-1, 3, 0 et 1

Ensuite, il faut prendre cette valeur.

Et là est l'astuce:

il faut alterner les signes.

On commence avec un plus, donc ensuite

on a un moins.

On a donc -2 fois sa "sous-matrice"

obtenue en éliminant sa colonne

et sa ligne.

On a donc 2, 3, 4 et 1.

2, 3, 4 et 1

Il faut éliminer ceci,

si je pouvais filmer mon doigt,

je cacherais cette colonne-ci et cette ligne-ci,

et vous verriez simplement 2, 3, 4 et 1,

et c'est exactement ce que je prends ici.

Enfin, on a pris plus, ensuite moins, donc on prend plus.

Donc on fait plus 4 fois le déterminant de

sa "sous-matrice", en éliminant cette ligne
et cette colonne.

Donc 2, -1, 4 et 0.

2, -1, 4 et 0

Ici, c'est plutôt facile,

les valeurs sont assez faciles à calculer.

Faisons-le.

Ici on aura 1 fois quoi?

-1 fois 1

-- laissez-moi l'écrire --

-1 fois 1, moins 0 fois 3,

selon la définition du déterminant d'une matrice

2x2.

On a déjà défini cela.

Et ensuite on aura -2 fois 2 fois 1

moins 4 fois 3.

Enfin, on aura + 4 fois 2 fois 0

moins moins 1 fois 4.

moins -1 fois 4

Je l'ai écrit pour que vous puissiez bien voir:

cette partie-ci, c'est cette partie-là,

et on rajoute le 4 devant.

Cette partie-ci, c'est cette partie-là,

Il s'agit donc du déterminant des "sous-matrices" 2x2 de chacune

de ces valeurs.

Et si on calcule le tout, on obtient -1 fois 1

égal -1,

moins 0 donne 0,

donc on a -1 fois 1, donc -1.

Et ensuite, qu'est-ce qu'on a?

Ici on obtient 12.

On a donc 2 moins 12.

D'accord?

On a 2 fois 1 moins 4 fois 3,

ce qui donne -10,

donc tout cela fait -10.

Et ensuite on a -10 fois -2,

ce qui donne 20.

-2 fois -10.

Et enfin, en vert, on a 2 fois 0,

qui fait 0.

Et ensuite -1 fois 4, qui donne -4.

Et il y a déjà un signe moins ici, donc cela fait +4.

Tout cela donne donc plus 4.

+4 fois 4 donne 16, donc on obtient +16.

Et en additionnant tout cela,

on a 20 + 16 - 1,

qui donne 35.

Et c'est fini!

On a trouvé le déterminant d'une matrice 3x3.

Pas mal du tout.

Ceci est donc le déterminant de C.

Et le fait que ce déterminant ne soit pas égal à 0

nous dit que C

est inversible.

Dans la prochaine vidéo, on essaiera d'étendre cela

aux matrices carrées d'ordre nxn.

Fin