Linear Algebra: 3x3 Determinant

W ostatnim filmiku stworzyliśmy pojęcie wyznacznika macierzy 2x2.

Zatem, jeżeli mam jakąś macierz, nazwijmy ją B

i będzie ona wyglądać następująco:

dane są a,b,c,d ,

wtedy definiowaliśmy wyznacznik B

co można zapisać również jako: B w pionowych kreskach,

, co również można zapisać tak, że w pionowe kreski wpisujemy dane macierzy

a,b,c,d.

Nie chcę, żebyś się pogubił.

To jest macierz, bo jest w nawiasach

, a to jest wyznacznik macierzy, bo są tylko proste kreski

i, z definicji, wynosił on: ad minus bc.

I widziałeś w ostatnim odcinku, albo być może widziałeś,

jaka jest motywacja dla tego pojęcia.

Kiedy tworzyliśmy macierz odwrotną do B,

stwierdziliśmy, że ta macierz jest postaci:

1 podzielić przez ad minus bc razy kolejna macierz, która miała te dwie liczby zamienione miejscami, czyli d i a,

a pozostałe dwie były z minusem, czyli -c i -b.

To była macierz odwrotna do B.

I próbowaliśmy sprawdzić, kiedy można taką macierz określić?

Można to zdefiniować, jeżeli ten mianownik jest różny od zera.

Zatem pewnie stwierdzisz, że ta liczba jest naprawdę istotna.

Zatem nazwijmy ją wyznacznikiem.

A wtedy możemy powiedzieć, że macierz B jest odwracalna

wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik B

jest różny od zera.

Ponieważ jeśli jest zerem,

to Twój wzór na odwracanie macierzy nie będzie dobrze określony.

A otrzymaliśmy go poprzez techniki tworzenia

czegoś na kształt macierzy z segmentami,

Aczkolwiek dużym uproszczeniem było

wprowadzenie pojęcia wyznacznika macierzy 2 x 2

Teraz, następnym zagadnieniem -

cóż, wiadomo, że to tylko macierz 2x2

, a w algebrze liniowej wszystko chcielibyśmy uogólnić

na większą liczbę wierszy i kolumn.

Zatem następnym krokiem... cóż, zróbmy chociaż taki dziecinny

i zacznijmy od macierzy 3x3, próbując zdefiniować jej wyznacznik.

Pozwolę sobie na skonstruowanie takiej macierzy.

Niech A będzie składała się - cóż, wpiszę tylko dane -

pierwszy wiersz, pierwsza kolumna

pierwszy wiersz, druga kolumna

pierwszy wiersz, trzecia kolumna;

następnie a21, a22, a23

i wreszcie a31, trzeci wiersz, pierwsza kolumna, a32 oraz a33.

Oto macierz 3 na 3.

Trzy wiersze, trzy kolumny - To jest 3x3

Zamierzam teraz zdefiniować wyznacznik A.

Zatem oto definicja.

Zdefiniuję wyznacznik tej macierzy A

jako liczbę równą -

i to może być trochę zagmatwane, ale w końcu zrozumiesz -

w ciągu następnych filmików będziemy liczyć

masę wyznaczników, zatem przywykniesz do tego,

czasem to naprawdę wymaga sporych rachunków -

ten wyznacznik wynosi:

bierzemy pierwszy rząd,

a11 razy wyznacznik macierzy, którą dostaniesz

jeśli pozbędziesz się kolumny i wiersza w którym a11 się znajduje.

Wtedy zostaniesz z taką macierzą,

czyli razy wyznacznik macierzy:

a22, a23, a32 i a33, właśnie tak.

Zatem oto nasz pierwszy wyraz i to jest on z plusem.

A mówię, że z plusem,

bo następny wyraz będzie z minusem.

Teraz bierzemy tą liczbę z minusem,

zatem będziesz miał teraz: minus a12 razy macierz,

która powstaje, jeśli usuniesz wiersz i kolumnę z tym wyrazem.

Zatem, razy, bierzemy te podkreślone dane,

czyli a21, a23, a31 i wreszcie a33.

To jeszcze nie koniec.

Pewnie się domyślasz, co się teraz pojawi.

Teraz będzie plus - zamienię na lepszy kolor -

plus ta liczba,

tzn. plus a13 razy wyznacznik -

domyślam się, że tak mógłbyś to nazwać-

podmacierzy tego wyrazu -

będziemy teraz tak taką macierz nazywać -

zatem a21, a22, a31, a32.

Oto nasza definicja wyznacznika macierzy 3x3.

Teraz motywacja jest taka, że

jeśli weźmiesz wyznacznik macierzy 3x3, to okazuje się,

chociaż Tobie jeszcze tego nie pokazałem,

że zależność jest analogiczna.

To znaczy, jeśli wyznacznik ten jest równy zero,

to nie możesz znaleźć macierzy odwracalnej

oraz kiedy zdefiniowałem go w taki sposób.

A jeśli wyznacznik jest różny od zera,

wtedy można znaleźć odwrotność.

Więc stąd się wzięła definicja.

Dotąd tego Ci nie udowodniłem

i nie zrobię tego,

ponieważ dowód wymaga olbrzymich rachunków.

Zajmie on sporo czasu.

Będzie on strasznie skomplikowany

i pewnie nieostrożnie się pomylę.

Poza tym argumentacja jest taka sama jak w przypadku

macierzy 2x2.

Teraz jednak prawdopodobnie będziesz chciał

chociaż zrozumieć tą definicję użytą do macierzy A,

ponieważ wygląda dość abstrakcyjnie.

Ale jeśli zrobimy to z tą macierzą,

przekonacie się, że nie jest tak źle.

Zatem zostawmy sobie definicję... w tym miejscu.

Powiedzmy, że mam macierz:

1, 2, 4, 2, -1 , 3 oraz 4,0,1.

Według naszej definicji wyznacznik tej macierzy -

nazwę ją C -

C jest równa tej macierzy.

Więc, jeśli chcemy wyliczyć wyznacznik C,

on wynosi - biorę ten wyraz,

zaznaczę go,

1 razy wyznacznik - nazwijmy to podmacierzą -

czyli bierzemy: -1,bierzemy...

Przepraszam, -1,... trzeba być ostrożnym...

bierzemy 3 , bierzemy 0 oraz bierzemy 1.

Właśnie tak.

Zauważ, że pozbyłem się kolumny i wiersza , w którym stała 1.

I zostałem z -1,3,0,1.

Następnie, biorę tą liczbę.

I teraz jest trik, bowiem trzeba zmienić znak.

Jeżeli zaczynasz z liczbą z plusem,

to następna będzie z minusem.

Zatem będziesz miał : minus 2 razy podmacierz,

którą otrzymamy pozbywając się kolumny i wiersza tej liczby.

Czyli 2,3,4,1.

Pozbyłem się tych liczb.

Gdybym nagrał na taśmę mój palec,

mógłbym nim przykryć tą kolumnę i ten wiersz

i wtedy widziałbyś tylko 2,3,4,1.

I to właśnie wstawiłem w tym miejscu.

Wreszcie, mamy plus -

szliśmy plus, minus, plus -

zatem wreszcie plus 4 razy wyznacznik podmacierzy

powstałej przez usunięcie tego wiersza i tej kolumny.

Czyli 2,-1,4,0.

Teraz te liczby są proste,

niezbyt trudne do policzenia.

Policzmy to.

Zatem, to będzie równe 1 razy:

-1 razy 1, napiszę:

-1 razy 1 minus 0 razy 3.

To po prostu pochodzi z definicji

wyznacznika macierzy 2x2,

co niedawno definiowaliśmy.

Potem mamy -2 razy:

2 razy 1 minus 4 razy 3.

I wreszcie, będziemy mieli 4 razy:

2 razy 0 minus -1 razy 4.

Wypisałem to, żebyś zauważył,

że to wyrażenie tutaj jest tą rzeczą w tym miejscu,

z tym że przed tym masz 4.

To wyrażenie było przed chwilą tym powyżej.

Zatem, jest to wyznacznik 2x2 podmacierzy

każdej z tych liczb.

I jeśli to policzymy, to wyjdzie nam:

-1 razy 1 daje -1;

minus zero, czyli 0;

zatem -1 razy 1, co daje -1.

I teraz dostajemy - ile to się równa?

Ten iloczyn wynosi 12.

Zatem dostajesz 2 minus 12,czyż nie?

To jest 2 razy 1 minus 4 razy 3.

Czyli równe -10.

Czyli to się równa -10.

Wtedy mamy -10 razy -2, co się równa 20, tak?

-2 razy -10.

I na koniec, w tym zielonym, mamy 2 razy 0 -

co jest po prostu 0 -

i potem jest -1 razy 4, co daje -4.

Ponieważ jest minus, to mamy +4.

Zatem, to całe wyrażenie staje się +4.

4 razy 4 równa się 16.

Co dostajemy, kiedy to wszystko zsumujemy?

Dostajemy 20 plus 16 minus 1.

To się równa 35.

Skończyliśmy.

Znaleźliśmy wyznacznik naszej macierzy 3x3.

Całkiem nieźle.

Ok, czyli to jest wyznacznik macierzy C.

Ponieważ faktycznie jest on różny od 0,

to możesz stwierdzić, że C jest odwracalna.

Zatem wiemy, że C jest odwracalna

W następnym filmie rozszerzymy pojęcie wyznacznika

dla macierzy kwadratowej nxn.