Linear Algebra: 3x3 Determinant

No episódio anterior definimos
a noção de determinante

de uma matriz dois por dois.

Então se eu tiver algumas matrizes --
chamemos apenas de B --

vamos supor que os elementos de
minha matriz B sejam a, b, c, d

nós definimos o determinante de B

determinante de B

que pode ser escrito como B entre
estas duas linhas paralelas

que também pode ser escrito
como os elementos da matriz

entre estas linhas.

a, b, c, d

E eu não quero que você se confunda.

Isto é a matriz quando
você tem os colchetes

Isto é o determinante da
matriz, quando você tem

estas linhas retas.

E isto, por definição, é
igual a ad menos bc.

E você viu no último vídeo,
ou talvez tenha visto,

de onde vem a motivação para isto.

Quando você calcula o inverso
de B, nós determinamos que o

inverso de B é igual a um sobre ad
menos bc vezes outra matriz,

que era essencialmente estes
dois elementos trocados,

você obtém um d e um a.

E então estes dois elementos
negativos,

então menos c e menos b.

Isto é o inverso de B.

Mas nós falamos quando
isto é definido?

Isto só é definido se este denominador
não for igual a zero

Então você diz hey, isto parece
algo muito importante.

Vamos chamar isto aqui de determinante.

Determinante

E podemos dizer que B pode ser
invertido, se e somente se,

o determinante de B não for igual a zero.

Porque se for igual a zero,
então o inverso

não pode ser definida.

E nós apenas pegamos isto da
nossa técnica de criar

uma matriz inversa.

Mas a grande sacada é que nós
definimos esta ideia de

um determinante para uma
matriz dois por dois.

Agora a próxima questão é, bem
é apenas dois por dois,

como fazemos em álgebra linear,
gostaríamos de generalizar

para números maiores de linhas e colunas.

O próximo passo, vamos
em pequenos passos --

vamos começar com três por três

Vamos definir qual é o seu determinante.

Então vou construir uma
matriz três por três.

Vamos dizer que A é igual a
-- vou escrever seus elementos --

primeira linha, primeira coluna,
primeira linha, segunda coluna,

primeira linha, terceira coluna.

Então temos a21, a22, a23.

Então temos a31, terceira
linha, primeira coluna,

a32 e a33.

Esta é a matriz três por três.

Três linhas e três colunas.

Isto é três por três.

Vou definir o determinante de A.

Então esta é a definição.

Vou definir o determinante desta matriz

três por três como sendo igual a
-- isto pode ser um pouco

complicado, porém,
você vai entender.

Nos próximos vídeos calcularemos
muitos determinantes.

Então isto se tornará
natural pra você

Às vezes se torna algo automático.

Mas é igual a esta primeira linha.

É igual a a11 vezes o determinante
da matriz

obtida se você se livrar
destes colunas e linhas.

Se você se livrar desta
coluna e linha,

você ficará com esta matriz aqui.

Então calculo o determinante da
matriz a22, a23, a32

e a33.

Apenas isso.

Então este é o seu primeiro elemento, e
somamos a isto

E então eu digo que é mais isto,
porque o próximo elemento

será negativo.

Você tem um menos este cara aqui.

Então você terá menos a12 vezes a matriz

que você obtém se eliminar
esta linha e coluna.

Então vezes, você obterá
estes elementos aqui.

Então a21, a23, a31 e então a33.

Ainda não terminamos.

Você pode adivinhar o
que faremos a seguir.

Então você deve somar
-- deixe-me trocar por

uma cor melhor -- mais este cara.

Mais a13 vezes o determinante
disto -- acredito

que você possa chamar
isto de submatriz.

É assim que chamaremos.

Então esta matriz aqui.

Então a21, a22, a31, a32.

Esta é a nossa definição de

determinante de uma matriz
três por três.

E a motivação é, porque quando
você calcula o determinante

de uma três por três acontece --
ainda não mostrei isto --

que é a mesma propriedade

Então se o determinante é zero, você não

poderá calcular a matriz inversa.

Quando defino o determinante
deste jeito.

Se não for igual a zero,
você poderá calcular a inversa

Então isto veio daqui.

E eu ainda não mostrei.

E não mostrarei isto porque
tem muito cálculo

e levará muito tempo.

É complicado e eu posso
cometer alguns erros.

Mas o motivo é o mesmo

como na versão dois por dois.

Mas eu acredito que o que
você queira ver agora é

que ao menos isto seja aplicado
a uma matriz real, porque

isto pode ser muito abstrato.

Mas se você fizer isto com
uma matriz real, você

verá que não é tão ruim assim.

Então vamos deixar a definição
lá, e supor que

eu tenha a matriz 1, 2, 4, 2, 2,
-1, 3 e 4, 0, 1.

Então pela nossa definição de
determinante, o determinante

deste cara -- vamos chamar
esta matriz de C --

C é igual a aquilo.

Então se quisermos calcular
o determinante de C,

o determinante de C é igual a
-- pegarei este cara aqui,

deixe-me pegar este um --
vezes o determinante de --

vamos chamar de submatriz, aqui.

Então nós temos menos um,

menos um, desculpe, menos um,
temos que tomar cuidado

temos três

temos zero e temos um.

Deste jeito.

Note que eu me livrei desta
coluna e desta linha

E eu fiquei apenas com menos
um, três, zero, um.

-1, 3, 0, 1

Em seguida, vou calcular este cara.

E este é o truque.

Você deve alternar os sinais.

Se você iniciar com um positivo
aqui, o próximo

deve ser um menos.

Então teremos menos dois vezes
a submatriz -- nós podemos

chamar de -- se você se livrar
desta coluna e desta linha

Então dois, três, quatro, um.

2, 3, 4, 1

Eu apenas apaguei isto.

Se eu pudesse filmar meu dedo,
eu cobriria isto com meu dedo

e você veria dois, três, quatro e um.

E é isso que eu coloquei bem aqui.

E finalmente, temos mais, menos, mais

Então, finalmente nós teremos mais
quatro vezes o determinante desta

submatriz, se você se livrar-se
daquela linha naquela coluna

Então dois, menos um, quatro, zero.

2, -1, 4, 0

Agora, isto é bastante simples.

Não é tão difícil de calcular.

Vamos fazer isto.

Então isto será igual a, um vezes o que?

Menos um vezes um.

Vou escrever isto.

Menos um vezes um, menos zero vezes três.

Isto vem da definição do determinante
dois por dois

Nós já definimos isto.

E nós teremos menos dois
vezes dois vezes um

menos quatro vezes três.

E finalmente, teremos
mais quatro vezes dois

vezes zero, dois vezes zero, menos
menos um vezes quatro.

Vou escrever para que
você possa ver

E isto aqui é exatamente isto aqui.

E você terá o quatro na frente

Esta coisa bem aqui era a esta coisa aqui.

Então é o determinante de uma submatriz
dois por dois para cada

um destes caras.

E se calcularmos isto, isto será igual a
-- menos um vezes um

é menos um.

Menos zero, que é zero.

Então isto é menos um vezes
um, que é menos um.

E então obtemos -- isto é igual a que?

Isto aqui é doze.

Então obtemos dois menos doze.

Certo?

Dois vezes um menos quatro vezes três.

Que é menos dez.

Então isto é igual a menos dez.

E então temos menos
dez vezes menos dois.

E isto é mais vinte, certo?

Menos dois vezes menos dez.

E finalmente, em verde nós
temos dois vezes zero,

que é apenas zero.

E então temos menos um vezes
quatro, ou seja, menos quatro.

Então nós temos um sinal de menos
aqui, então é mais quatro.

Então tudo isto se torna mais quatro.

Mais quatro vezes quatro é dezesseis,
então mais dezesseis.

E o que obtemos quando
somamos tudo isto?

Obtemos vinte mais
dezesseis menos um.

Que é igual a trinta e cinco.

E terminamos.

Nós encontramos o determinante
de uma matriz três por três.

Nada mal.

Aquilo é igual ao determinante de C

Então como isto não é zero sabemos que

C pode ser invertida.

Sabemos que C pode ser invertida.

E no próximo vídeo, tentaremos
estender isto para

matrizes quadradas n por n.

[Legendado por Rodrigo Melges]
[Revisado por Musa Morena Marcusso Manhães]