< Return to Video

Linear Algebra: 3x3 Determinant

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:04
    ในวิดีโอที่แล้ว เราได้นิยามแนวคิดเรื่องดีเทอร์มีแนนต์สำหรับ
  • 0:04 - 0:05
    เมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 ไปแล้ว
  • 0:05 - 0:09
    ถ้าเรามีเมทริกซ์ -- เรียกมันว่า B แล้วกัน -- ถ้า
  • 0:09 - 0:16
    เมทริกซ์ B ผมเป็นแบบนี้, ถ้าค่าของมันคือ a, b, c, d
  • 0:16 - 0:20
    เราได้นิยามดีเทอร์มีแนนต์ของ B เอาไว้
  • 0:20 - 0:24
    ซึ่งสามารถเขียนว่า B แล้วมีขีดรอบมัน
  • 0:24 - 0:28
    ซึ่งสามารถเขียนเป็นค่าต่างๆ ขอองเมทริกซ์
  • 0:28 - 0:31
    มีเส้นรอบมัน, a, b, c, d
  • 0:31 - 0:32
    และผมไม่อยากให้คุณสับสน
  • 0:32 - 0:34
    นี่คือเมทริกซ์เวลาคุณใช้วงเล็บ
  • 0:34 - 0:37
    นี่คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์, เวลาคุณมี
  • 0:37 - 0:38
    เส้นตรงแบบนี้
  • 0:38 - 0:45
    และนี่, ตามนิยามแล้ว, เท่ากับ ad ลบ bc
  • 0:45 - 0:47
    และคุณเห็นในวิดีโอก่อนไปแล้ว, บางทีคุณเห็นในวิดีโอก่อน
  • 0:47 - 0:49
    ไปแล้ว, ว่าที่มาของเจ้านี่มาจากไหน
  • 0:49 - 0:53
    เวลาเราหาอินเวอร์สของ B, เรากำหนด
  • 0:53 - 1:02
    ว่ามันเท่ากับ 1 ส่วน ad ลบ bc คูณเมทริกซ์อีกตัวหนึ่ง,
  • 1:02 - 1:05
    ซึ่งก็คือค่าสองค่านี้สลับที๋,
  • 1:05 - 1:06
    คุณจะได้ d กับ a
  • 1:06 - 1:08
    แล้วค่าสองค่านี้ให้มันเป็นลบ,
  • 1:08 - 1:11
    ได้ ลบ c กับ ลบ b
  • 1:11 - 1:14
    นี่ก็คืออินเวอร์สของ B
  • 1:14 - 1:17
    และเราบอกว่า, ทีนี้, มันนิยามได้เมื่อไหร่?
  • 1:17 - 1:20
    นี่นิยามนี้ตราบใดที่ตัวนี้
  • 1:20 - 1:21
    ไม่เท่ากับ 0
  • 1:21 - 1:23
    แล้วคุณบอกว่า, เฮ้, นี่มันสำคัญทีเดียว
  • 1:23 - 1:25
    ลองเรียกเจ้านี่ตรงนี้ว่า ดีเทอร์มีแนนต์ กัน
  • 1:25 - 1:31
    -
  • 1:31 - 1:40
    แล้วเราบอกได้ว่า B นั้นโยงกลับได้, ก็ต่อเมื่อ,
  • 1:40 - 1:46
    ดีเทอร์มีแนนต์ของ B ไม่เท่ากับ 0
  • 1:46 - 1:50
    เพราะถ้ามันเท่ากับ 0, สูตรสำหรับอินเวอร์ส
  • 1:50 - 1:51
    ของเราจะนิยามไม่ได้
  • 1:51 - 1:54
    และเราได้นี่มาจากเทคนิคการ
  • 1:54 - 1:56
    สร้างเมทริกซ์ต่อเติม
  • 1:56 - 1:59
    แต่บทเรียนสำคัญคือว่า เรานิยามแนวคิดนี้
  • 1:59 - 2:01
    คือดีเทอร์มีแนนต์สำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2
  • 2:01 - 2:04
    ทีนี้คำถามต่อไปคือว่า, ทีนี้, มันก็แค่ 2 คูณ 2,
  • 2:04 - 2:07
    ทุกอย่างที่เราทำในพีชคณิตเชิงเส้น, เราอยากทำให้มัน
  • 2:07 - 2:10
    ใช้ได้กับจำนวนแถวกับคอลัมน์ที่มากขึ้นด้วย
  • 2:10 - 2:12
    แล้วขั้นต่อไป, อย่างน้อย -- ลองทำเพิ่มอีกนิด --
  • 2:12 - 2:13
    ลองเริ่มด้วย 3 คูณ 3
  • 2:13 - 2:16
    ลองนิยามกันว่าดีเทอร์มีแนนต์ของมันคืออะไร
  • 2:16 - 2:19
    ขอผมสร้างเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 ขึ้นมานะ
  • 2:19 - 2:23
    สมมุติว่าเมทริกซ์ A ของผมเท่ากับ -- ขอผมเขียน
  • 2:23 - 2:28
    ค่าของมันนะ -- แถวแรก, คอลัมน์แรก, คอลัมน์
  • 2:28 - 2:30
    ที่สอง, แถวแรก, คอลัมน์ที่สาม
  • 2:30 - 2:35
    แล้วคุณได้ a21, a22, a23
  • 2:35 - 2:39
    แล้วคุณมี a31, แถวที่สามคอลัมน์แรก, a32
  • 2:39 - 2:42
    แล้วก็ a33
  • 2:42 - 2:45
    นั่นคือเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3
  • 2:45 - 2:46
    มีสามแถว กับสามคอลัมน์
  • 2:46 - 2:49
    นี่คือ 3 คูณ 3
  • 2:49 - 2:55
    ผมจะนิยามดีเทอร์มีแนนต์ของ A
  • 2:55 - 2:57
    นี่ก็คือนิยาม
  • 2:57 - 3:01
    ผมจะนิยามดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด
  • 3:01 - 3:04
    3 คูณ 3 นี่ว่าเท่ากับ -- นี่มันอาจดูซับซ้อน
  • 3:04 - 3:06
    หน่อย, แต่คุณจะคุ้นไปเองในที่สุด
  • 3:06 - 3:08
    ในวิดีโอต่อๆ ไปเราจะหา
  • 3:08 - 3:08
    ดีเทอร์มีแนนต์เต็มไปหมด
  • 3:08 - 3:11
    คุณจะชินไปเอง
  • 3:11 - 3:14
    มันอาจต้องคิดเลขเยอะหน่อย
  • 3:14 - 3:17
    แต่มันเท่ากับแถวแรกนี่
  • 3:17 - 3:22
    มันเท่ากับ a11 คูณดีเทอร์มีแนต์ของเมทริกซ์
  • 3:22 - 3:26
    ที่คุณได้, เมื่อคุณกำจัดคอลัมน์กับแถวของเจ้านี่ไป
  • 3:26 - 3:28
    ถ้าคุณเอาคอลัมน์กับแถวของเจ้านี่ออกไป, คุณจะ
  • 3:28 - 3:29
    เหลือเมทริกซ์นี่ตรงนี้
  • 3:29 - 3:39
    ได้ คูณดีเทอร์มีแนนต์ของ a22, a23, a32,
  • 3:39 - 3:41
    แล้วก็ a33
  • 3:41 - 3:42
    แบบนั้น
  • 3:42 - 3:45
    นั่นก็คือค่าแรกของเรา และนั่นคือบวกอันนี้
  • 3:45 - 3:48
    แล้วผมบอกว่ามันคือบวกนี่, เพราะค่าต่อไป
  • 3:48 - 3:49
    จะเป็นลบ
  • 3:49 - 3:52
    คุณจะได้ ลบ เจ้านี่ตรงนี้
  • 3:52 - 4:00
    คุณจะได้ลบ a12 คูณเมทริกซ์ที่
  • 4:00 - 4:03
    คุณได้จากการตัดคอลัมน์นี้ กับแถวของมันไป
  • 4:03 - 4:06
    งั้นคูณ, คุณจะได้ค่าพวกนี้ตรงนี้
  • 4:06 - 4:19
    ได้ a21, a23, a31 แล้วคุณจะได้ a33
  • 4:19 - 4:20
    เรายังไม่เสร็จ
  • 4:20 - 4:22
    คุณคงเดาได้ว่าตัวต่อไปจะเป็นอะไร
  • 4:22 - 4:26
    แล้วคุณจะได้ บวก -- ขอผมเปลี่ยนเป็นสี
  • 4:26 - 4:28
    ดีกว่านี้หน่อย -- บวกเจ้านี่
  • 4:28 - 4:33
    บวก a13 คูณดีเทอร์มีแนนต์ของ -- คุณจะ
  • 4:33 - 4:35
    เรียกมันว่า -- เมทริกซ์ย่อยก็ได้
  • 4:35 - 4:36
    เราจะเรียกมันว่าอย่างนั้นก่อน
  • 4:36 - 4:38
    เมทริกซ์นี่ตรงนี้
  • 4:38 - 4:46
    มันคือ a21, a22, a31, a32
  • 4:46 - 4:47
    นี่คือนิยามของ
  • 4:47 - 4:51
    ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3
  • 4:51 - 4:55
    และแรงจูงใจคือว่า, เวลาคุณหาดีเทอร์มีแนนตค์ของ
  • 4:55 - 4:57
    เมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 มันปรากฏว่า -- ผมยังไม่ได้แสดงให้คุณดู --
  • 4:57 - 4:59
    แต่สมบัตินี้จะเป็นจริง
  • 4:59 - 5:01
    ว่าถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของเจ้านี่เป็น 0, คุณจะ
  • 5:01 - 5:02
    หาอินเวอร์สมันไม่ได้
  • 5:02 - 5:04
    และเมื่อเรานิยามดีเทอร์มีแนนต์แบบนี้
  • 5:04 - 5:07
    ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ไม่เท่ากับ 0, คุณจะไม่สามารถ
  • 5:07 - 5:07
    หาอินเวอร์สได้
  • 5:07 - 5:09
    นั่นคือที่มาของมัน
  • 5:09 - 5:11
    และผมยังไม่ได้แสดงให้คุณดู
  • 5:11 - 5:13
    และผมอาจไม่ทำให้คุณดู เพราะมัน
  • 5:13 - 5:13
    ต้องคำนวณมาก
  • 5:13 - 5:15
    มันจะใช้เวลานานมาก
  • 5:15 - 5:16
    มันจะยุ่งเหยิงมาก และผมต้องทำอะไรพลาดแน่ๆ
  • 5:16 - 5:19
    แต่ที่มานั้นมาจากที่ด้วยกับแบบ 2
  • 5:19 - 5:20
    คูณ 2
  • 5:20 - 5:23
    แต่ผมว่าคุณอาจจะเห็นแล้วว่า
  • 5:23 - 5:26
    อย่างน้อยเจ้านี่ใช้ได้กับเมทริกซ์จริง, เพระา
  • 5:26 - 5:27
    มันดูเป็นนามธรรมไปหมดตอนนี้
  • 5:27 - 5:30
    แต่ถ้าเราใช้มันกับเมทริกซ์จริง, คุณจะเห็น
  • 5:30 - 5:31
    ว่ามันไม่ได้แย่นัก
  • 5:31 - 5:35
    งั้นลองกำหนดค่าตรงนี้, สมมุติว่า
  • 5:35 - 5:53
    ผมมีเมทริกซ์ 1, 2, 4, 2, 2 ลบ 1, 3 และ 4, 0, 1
  • 5:53 - 5:56
    แล้วตามนิยามของดีเทอร์มีแนนต์, ดีเทอร์มีแนนต์
  • 5:56 - 6:00
    ของเจ้านี่ตรงนี้ -- สมมุติว่าผมเรียกเมทริกซ์นั่น
  • 6:00 - 6:02
    ว่า C -- C เท่ากับเจ้านั่น
  • 6:02 - 6:05
    แล้วถ้าเราอยากหาดีเทอร์มีแนนต์ของ C,
  • 6:05 - 6:10
    ดีเทอร์มีแนนต์ของ C เท่ากับ -- ผมเอาเจ้านี่ตรงนี้มา
  • 6:10 - 6:13
    ขอผมเอา 1 นั่นมา -- คูณดีเทอร์มีแนนต์ของ --
  • 6:13 - 6:15
    เรียกมันว่าเมทริกซ์ย่อย, ตรงนี้
  • 6:15 - 6:25
    เราจะได้ ลบ 1, เรามี 3, เรามี 0
  • 6:25 - 6:27
    และเรามี 1
  • 6:27 - 6:28
    แบบนั้น
  • 6:28 - 6:29
    สังเกตว่า, ผมกำจัดคอลัมน์ของเจ้านี่
  • 6:29 - 6:30
    และแถวของเจ้านี่ไป
  • 6:30 - 6:32
    และผมจะเหลือแค่ ลบ 1, 3, 0, 1
  • 6:32 - 6:35
    -
  • 6:35 - 6:38
    ต่อไป, ผมเอาเจ้านี่มา
  • 6:38 - 6:40
    และนี่คือกลสำคัญ
  • 6:40 - 6:41
    คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
  • 6:41 - 6:44
    ถ้าคุณเริ่มด้วยบวกตรงนี้, ตัวต่อไปจะ
  • 6:44 - 6:45
    เป็นลบ
  • 6:45 - 6:50
    แล้วคุณจะได้ ลบ 2 คูณเมทริกซ์ย่อย -- เราเรียกมัน
  • 6:50 - 6:51
    อย่างนั้นได้ -- ถ้เารากำจัดคอลัมน์ของเจ้านี่
  • 6:51 - 6:52
    และแถวของเจ้านี่
  • 6:52 - 6:55
    ได้ 2, 3, 4, 1
  • 6:55 - 6:59
    -
  • 6:59 - 7:01
    ผมแค่ปล่อยมันว่างไว้
  • 7:01 - 7:03
    ถ้าผมบันทึกนิ้วผมได้, ผมจะใช้นิ้ว
  • 7:03 - 7:06
    ผมปิดคอลัมน์นี่ตรงนี้ และแถวนั่นตรงนั้น,
  • 7:06 - 7:09
    แล้วคุณจะเห็น 2, 3, 4, และ 1
  • 7:09 - 7:10
    และนั่นคือสิ่งที่ผมทำตรงนี้
  • 7:10 - 7:15
    แล้วสุดท้าย, เราได้ บวก, ลบ, บวก
  • 7:15 - 7:19
    สุดท้าย, เราจะได้ บวก 4 คูณดีเทอร์มีแนนต์ของ
  • 7:19 - 7:21
    เมทริกซ์ย่อย, ถ้าเรากำจัดแถวนั้นกับคอลัมน์นั้น
  • 7:21 - 7:23
    ได้ 2, ลบ 1, 4, 0
  • 7:23 - 7:29
    -
  • 7:29 - 7:31
    ทีนี้, พวกนี้ก็ตรงไปตรงมาแล้ว
  • 7:31 - 7:33
    มันไม่ได้คำนวณยากเกินไป
  • 7:33 - 7:33
    ลองทำกันดู
  • 7:33 - 7:37
    แล้วนี่จะเท่ากับ 1 คูณอะไร?
  • 7:37 - 7:38
    ลบ 1 คูณ 1
  • 7:38 - 7:39
    ขอผมเขียนมันออกมานะ
  • 7:39 - 7:44
    ลบ 1 คูณ 1, ลบ 0 คูณ 3
  • 7:44 - 7:46
    นั่นมาจากนิยามของดีเทอร์มีแนนต์
  • 7:46 - 7:47
    ขนาด 2 คูณ 2
  • 7:47 - 7:48
    เราได้นิยามมันไว้แล้ว
  • 7:48 - 7:55
    แล้วเราจะได้ ลบ 2 คูณ 2 คูณ 1,
  • 7:55 - 7:58
    ลบ 4 คูณ 3
  • 7:58 - 8:03
    แล้วสุดท้าย, เราจะได้ บวก 4 คูณ 2 คูณ
  • 8:03 - 8:10
    0 ลบ ลบ 1 คูณ 4
  • 8:10 - 8:13
    -
  • 8:13 - 8:15
    ผมเขียนออกมาหมดคุณจะได้เห็น
  • 8:15 - 8:18
    เจ้านี่ตรงนี้ ก็แค่เจ้านี่ตรงนี้
  • 8:18 - 8:20
    แล้วคุณได้ 4 ข้างหน้า
  • 8:20 - 8:22
    เจ้านี่ตรงนี้ คือเจ้านนี่ตรงนี้
  • 8:22 - 8:25
    มันก็คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยขนาด 2 คูณ 2 สำหรับ
  • 8:25 - 8:26
    พวกนี้แต่ละตัว
  • 8:26 - 8:31
    แล้วถ้าเราคำนวณค่านี้, นี่เท่ากับ -- ลบ 1 คูณ 1
  • 8:31 - 8:32
    ได้ลบ 1
  • 8:32 - 8:35
    ลบ 0, นั่นคือ 0
  • 8:35 - 8:38
    นี่ก็คือ ลบ 1 คูณ 1, นั่นก็คือ ลบ 1
  • 8:38 - 8:42
    แล้วเราได้ -- นี่เท่ากับอะไร?
  • 8:42 - 8:44
    เจ้านี่ตรงนี้คือ 12
  • 8:44 - 8:47
    คุณได้ 2 ลบ 12
  • 8:47 - 8:48
    จริงไหม?
  • 8:48 - 8:50
    คุณจะได้ 2 คูณ 1 ลบ 4 คูณ 3
  • 8:50 - 8:52
    มันก็คือลบ 10
  • 8:52 - 8:54
    นั่นจึงเท่ากับ ลบ 10
  • 8:54 - 8:58
    แล้วคุณมี ลบ 10 คูณลบ 2
  • 8:58 - 9:01
    นั่นกลายเป็นบวก 20, จริงไหม?
  • 9:01 - 9:03
    ลบ 2 คูณลบ 10
  • 9:03 - 9:06
    แล้วสุดท้าย, สีเขียว, เราได้ 2 คูณ 0,
  • 9:06 - 9:08
    นั่นก็แค่ 0
  • 9:08 - 9:11
    แล้วคุณได้ ลบ 1 คูณ 4, เป็นลบ 4
  • 9:11 - 9:15
    แล้วคุณได้เครื่องหมายลบตรงนี้, มันก็คือบวก 4
  • 9:15 - 9:17
    นี่ทั้งหมดเป็นบวก 4
  • 9:17 - 9:21
    บวก 4 คูณ 4 เป็น 16, ได้บวก 16
  • 9:21 - 9:23
    แล้วเราจะได้พวกนี้บวกกันเป็นเท่าไหร่?
  • 9:23 - 9:30
    เราจะได้ 20 บวก 16 ลบ 1
  • 9:30 - 9:33
    มันเท่ากับ 35
  • 9:33 - 9:34
    เราก็เสร็จแล้ว
  • 9:34 - 9:39
    เราหาดีเทอร์มีนแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 มาแล้ว
  • 9:39 - 9:41
    ไม่แย่มาก
  • 9:41 - 9:47
    ตรงนี้, นั่นเท่ากับดีเทอร์มีแนนต์ของ C
  • 9:47 - 9:50
    และความจริงที่ว่ามันไม่ใช่ 0 บอกคุณได้ว่า C
  • 9:50 - 9:51
    โยงกลับได้
  • 9:51 - 9:56
    -
  • 9:56 - 9:59
    ในวิดีโอหน้า, เราจะพยายามขยายผล
  • 9:59 - 10:00
    ไปยังเมทริกซ์จัตุรัสขนาด n คูณ n กัน
  • 10:00 - 10:01
    -
Title:
Linear Algebra: 3x3 Determinant
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:01

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.