线性代数: 3x3 阶行列式

行列式: 求 3x3 阶矩阵的行列式

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上个视频我们给出 2 X 2 矩阵的

行列式定义。

如果矩阵 B

看起来是这样，它的元素为 a, b, c, d,

我们已经定义了 B 的行列式。

该行列式可以写为 B 的两边带竖线，

也可以表示为该矩阵的元素

a, b, c, d 的两边带竖线。

我希望你分清楚。

带括号的这是矩阵。

如果只有这些竖直线

就是行列式。

而这个行列式，根据定义等于 ad 减去 bc。

也许在上个视频中

你已经知道其原由。

B 的逆矩阵等于

1／（ ad － bc ）乘以另一个矩阵，

而这个矩阵就是 把原来的矩阵 B

的 a 和 d 对调，

而且把 b 和 c 两个元素

前面加上负号。

这样就得到 B 的逆矩阵。

我们要问，这个计算 B 的逆矩阵的式子成立的条件是什么？

答案是只要前面分母部分的式子不为零，

这个计算 B 的逆矩阵的式子就成立。

所以你可以看到它很重要。

我们称它为行列式。

结论是当且仅当矩阵 B 的行列式不等于零时，

B 是可逆矩阵。

原因是如果该行列式为零，

计算逆矩阵的公式就没有定义。

从前面构建增广矩阵的方法里

可以得到这个结论。

重要的是我们有了

2 X 2 矩阵的行列式的定义。

我们已经会处理 2 X 2 的矩阵，

接下来在线性代数中我们希望能把该方法扩展到

有更多行或列的矩阵。

所以下一步，我们也不要冒进，让我们

先来对付 3 X 3 的矩阵。

先来确定它的行列式。

设立一个 3 X 3 的矩阵。

假设这个矩阵 A 是 － 我来填它的

元素 － 第一行、第一列， 第一行、第二列，

第一行、第三列。

接下去有 a21，a22，a23。

然后有 a31 即第三行、第一列，

a32 即第三行、第二列，最后 a33。

就是3 X 3 的矩阵。

三行且三列，

3 X 3矩阵。

我来确定 A 的行列式。

下面就是定义。

这个 3 X 3 的矩阵 A 的行列式

等于 － 写起来有些冗长，

不过别担心你最后会掌握它。

在下面几个视频里我们要多次

运算行列式。

所以你很快就会熟悉它。

有时计算会多些。

我们用到矩阵 A 第一行的元素。

第一项是 a11 乘以划去其所在的第一行和第一列

所余下的 2 X 2 矩阵的行列式。

所以如果你划掉这个元素的行和列，

剩下的矩阵是这样。

因此 a11 乘以由 a22，a23，a32，

a33所组成的矩阵之行列式。

就是这样。

这是第一项，符号是正的。

刚才强调这一项是正的，

因为下一项是负的。

这里的一项是负的。

这一项是负 a12 乘以划去其所在的

行和列而剩下的元素构成的矩阵之行列式。

这些是所乘的行列式的元素。

这些元素包括 a21，a23，a31，a33。

还有一项。

你大概可以猜到下一项是什么。

下一项是正的 －

我要换一个更好的颜色。

这一项是正 a13 乘以

A 的子矩阵的行列式。

我们现在就叫它子矩阵。

就是这个矩阵。

其元素包括 a21，a22，a31，a32。

这就是 3 X 3 矩阵的

行列式的定义。

这样定义的原因是，

一个 3 X 3 矩阵的行列式 － 我还没有告诉你 －

的性质是一样的。

如果该行列式等于零，

你就无法得到该矩阵的逆矩阵。

条件是行列式得这样定义。

如果该行列式不等于零，你可以

找到该矩阵的逆矩阵。

这就是缘由。

我还没有证明这个性质。

证明它比较

复杂。

要花比较长的篇幅。

过程中还容易出错。

这个结论和

2 X 2 的矩阵是一样的。

你可能想看到这个性质能

运用到一个具体的矩阵上，因为

到现在为止我们还只看到抽象的公式。

如果运用到一个具体的矩阵上，

你会发现还挺好用。

我们来个具体的例子，比如

有个矩阵的元素是 1，2，4，2，－1，3，4，0，1。

所以根据定义，这个矩阵的行列式

－ 我们称该矩阵为

C － C 就是这个矩阵。

如果我们要计算 C 的行列式，

该行列式表达式的第一项等于 － 以这个元素，

就是 1 － 乘以其中

一个子矩阵的行列式。

这个子矩阵的元素有

－1， 3， 0，1。

就是这样。

注意我把这个元素所在的

行和列都去掉了。

剩下的元素是 －1，3，0，1。

下一项，取这个元素。

这里要注意一点。

正负号变了。

这里第一项是正号，

下一项是负号。

所以就是 －2 乘以

去掉该元素所在的行和列得到的

子矩阵的行列式。

剩下的元素为 2，3，4，1。

我把其它的元素去除了。

我把这一行和这一列

的元素去除了，

你就可以看到剩下2，3，4，1。

这就是我刚才写在这里的元素。

我们式子里三项的正负号分别是正、负、正。

最后一项是 + 4 乘以

去掉这一行和这一列所得的子矩阵的行列式。

其元素为 2，－1，4，0。

接下来就直截了当。

算起来也容易。

我们来算一下。

第一项等于 1 乘以 什么？

第一部分是－1 乘以 1。

我把它全写出来。

－1 乘以 1 减去 0 乘以 3。

这部分源于 2 X 2

行列式的定义。

我们学过这个定义。

下一项是 －2 乘以

2 乘以 1 与 －4 乘以 3 之差。

最后一项是正 4 乘以

2 乘以 0 与 1 乘以 4 之差。

我把式子展开了让人看清楚。

这项就是上面的这一项。

前面还要乘以 4。

那一项就是上面的那一项。

它是这个 2 X 2 的子矩阵的行列式

的展开式。

我们来算一下。这项是 －1 乘以 1

等于 －1。

减去 0 。

所以这项为 －1 乘以 1，等于 －1。

下一项等于多少？

这部分等于12。

括号里面是 2 减去 12。

对吧？

2 乘以 1 减去 4 乘以 3。

结果是 －10。

括号里面等于 －10。

然后把 －10 乘以 －2。

这项等于 20，对吧？

－2 乘以 －10。

最后我们看绿色的部分，2 乘以 0，

就是 0。

然后 －1 乘以 4 等于 －4。

因为前面有个负号，结果是正 4。

这样括号里面就是正 4。

4 乘以 4 得 16，整项就是正 16。

全部加起来等于多少？

20 加上 16 减去 1。

等于 35。

算完了。

我们算出了 3 X 3 矩阵的行列式。

不错吧。

这就是 C 的行列式的计算结果。

因为它不等于 0，故 C

可以有逆矩阵。

下个视频里，我们要把这个性质扩展到 n X n

的矩阵。

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