线性代数: 3x3 阶行列式

上个视频我们给出 2 X 2 矩阵的

行列式定义。

如果矩阵 B

看起来是这样，它的元素为 a, b, c, d,

我们已经定义了 B 的行列式。

该行列式可以写为 B 的两边带竖线，

也可以表示为该矩阵的元素

a, b, c, d 的两边带竖线。

我希望你分清楚。

带括号的这是矩阵。

如果只有这些竖直线

就是行列式。

而这个行列式，根据定义等于 ad 减去 bc。

也许在上个视频中

你已经知道其原由。

B 的逆矩阵等于

1／（ ad － bc ）乘以另一个矩阵，

而这个矩阵就是 把原来的矩阵 B

的 a 和 d 对调，

而且把 b 和 c 两个元素

前面加上负号。

这样就得到 B 的逆矩阵。

我们要问，这个计算 B 的逆矩阵的式子成立的条件是什么？

答案是只要前面分母部分的式子不为零，

这个计算 B 的逆矩阵的式子就成立。

所以你可以看到它很重要。

我们称它为行列式。

结论是当且仅当矩阵 B 的行列式不等于零时，

B 是可逆矩阵。

原因是如果该行列式为零，

计算逆矩阵的公式就没有定义。

从前面构建增广矩阵的方法里

可以得到这个结论。

重要的是我们有了

2 X 2 矩阵的行列式的定义。

我们已经会处理 2 X 2 的矩阵，

接下来在线性代数中我们希望能把该方法扩展到

有更多行或列的矩阵。

所以下一步，我们也不要冒进，让我们

先来对付 3 X 3 的矩阵。

先来确定它的行列式。

设立一个 3 X 3 的矩阵。

假设这个矩阵 A 是 － 我来填它的

元素 － 第一行、第一列， 第一行、第二列，

第一行、第三列。

接下去有 a21，a22，a23。

然后有 a31 即第三行、第一列，

a32 即第三行、第二列，最后 a33。

就是3 X 3 的矩阵。

三行且三列，

3 X 3矩阵。

我来确定 A 的行列式。

下面就是定义。

这个 3 X 3 的矩阵 A 的行列式

等于 － 写起来有些冗长，

不过别担心你最后会掌握它。

在下面几个视频里我们要多次

运算行列式。

所以你很快就会熟悉它。

有时计算会多些。

我们用到矩阵 A 第一行的元素。

第一项是 a11 乘以划去其所在的第一行和第一列

所余下的 2 X 2 矩阵的行列式。

所以如果你划掉这个元素的行和列，

剩下的矩阵是这样。

因此 a11 乘以由 a22，a23，a32，

a33所组成的矩阵之行列式。

就是这样。