Dôkaz: log a + log b = log ab

Bez popisu.

-

Ahojte.

Poďme popracovať na vlastnostiach logaritmov.

Povedzme si rýchlo, čo vlastne logaritmus je.

Ak napíšem povedzme, log pri základe x čísla a

sa rovná, čo ja viem, n.

Čo to znamená?

Znamená to, že x na n-tú sa rovná a.

Myslím, že to už vieme.

To sme sa naučili vo videu o logaritmoch.

Je veľmi dôležité si uvedomiť, že keď vypočítate

výraz s logaritmom, ako napríklad logaritmus čísla A pri základe X,

čo dostanete je exponent.

Toto N je exponent.

Toto sa rovná tomu.

Mohli ste to napísať takto,

pretože toto N sa rovná tomu, mohli ste

napísať X - bude to trochu neprehľadné - na logaritmus

pri základe X čísla A, sa rovná A.

Čo som urobil je, že som zobral n a nahradil ho týmto výrazom.

A chcel som to napísať týmto spôsobom pretože som chcel,

aby ste intuitívne pochopili,

že logaritmus je po výpočte

iba exponent.

Teraz budeme pracovať s touto myšlienkou

a z nej pochádzajú

všetky vlastnosti logaritmov.

Poďme teraz... teraz sa snažím

prísť na vlastnosti logaritmov

hravým spôsobom.

Neskôr to zosumarizujem

a potom to všetko sprehľadním.

Ale chcem ukázať, ako možno na to ľudia

prišli pôvodne.

Povedzme, že x

-- zmením farbu, myslím že to robí veci zaujímavejšími --

povedzme, že x na l-tú sa rovná A,

Ak to napíšem ten istý vzťah ako logaritmus,

môžem napísať, že logaritmus pri základe x čísla A

sa rovná l, že?

Teraz som len prepísal, čo som napísal hore.

-- zmením farby --

A ak by som povedal, že x na m-tú sa rovná B,

je to to isté, len som zmenil písmená.

Ale to znamená, že logaritmus pri základe x čísla B

sa rovná m, že?

Urobil som to isté čo v tomto riadku,

len som zmenil písmená.

Tak poďme ďalej a uvidíme, čo sa stane.

Povedzme -- zmením zase farbu --

-

Povedzme, že mám x na n-tú a vy hovoríte:

"Sal, o čo ti ide?"

Ale uvidíte.

Je to celkom šikovné. X na n-tú sa rovná a*b.

x na n-tú sa rovná a*b.

A to je to isté, ako keby sme povedali, že logaritmus pri základe x

sa rovná a*b.

Takže čo s tým?

Začnime s týmto tu.

X na n-tú sa rovná A*B.

Ako by sme to mohli prepísať?

A je toto.

A B je toto, však?

Tak to prepíšme.

Vieme, že x na n-tú sa rovná A.

A je toto.

x na l-tú

x na l-tú

A čo je b?

krát b

B je x na m-tú, že?

Teraz nerobím žiadne finty.

Ale čo je (x na l-tú)*(x na m-tú)?

Vieme z exponentov, že ak násobíme

-s rovnakým základom a odlišnými exponentmi,

iba sčítame exponenty.

Takže toto sa rovná -- vyberiem si neutrálnu farbu --

Neviem, či som to povedal správne, ale

chápete.

Ak máte rovnaký základ a násobíte,

môžete iba sčítať exponenty.

To sa rovná x na --chcem stále meniť farby, pretože

si myslím, že je to tak lepšie --

na (l+m)-tú.

-- Je trochu nepraktické stále meniť farby, ale... --

Chápete, čo hovorím.

Takže, x na n-tú sa rovná x na (l+m)-tú.

X dám tu.

-- Och, chcel som to mať zelenou. --

x na (l+n)-tú.

Takže čo teraz vieme?

Vieme, že x na n-tú sa rovná x na (l+m)-tú.

Však?

Máme rovnaký základ mocniny,

tieto exponenty sa musia rovnať.

Takže vieme že n sa rovná l+m.

Čo to pre nás znamená?

Teraz som sa trochu hral s logaritmami.

Dostal som sa niekam?

Myslím, že vidíte, že áno.

Ako inak sa dá napísať n?

Povedali sme, že x na n-tú sa rovná a*b

-- och, preskočil som jeden krok --

To znamená, že -- vrátim sa späť -- x na n-tú

sa rovná A*B

To znamená, že logaritmus pri základe x čisla (a*b) sa rovná n.

To ste vedeli.

Ja nie.

Dúfam, že si uvedomujete, že sa nevraciam späť ani nič také.

Len som to zabudol napísať, keď som to spravil prvý raz.

No nič.

Takže čo je n?

Ako inak sa dá napísať n?

Iný spôsob máme rovno tu.

Logaritmus pri základe x čísla (a*b)

Teraz vieme, že ak za to nahradíme n,

máme logaritmus pri základe x čísla (A*B)

A čomu sa to rovná?

To sa rovná l.

Iný spôsob, ako napísať l je tu.

Rovná sa logaritmu pri základe x čísla A

A čo je m?

M je tu.

Takže logaritmus pri základe x čísla B.

A tu máme našu prvú vlastnosť logaritmov,

Logaritmus pri základe x čísla (a*b) sa rovná

logaritmu pri základe x čísla A plus logaritmus pri základe x čísla B.

A toto vám to dúfam dokázalo.

A ak chcete vedieť prečo to funguje,

je to preto, že logaritmy sú vlastne iba exponenty.

S týmto vás opúšťam

a v ďalšom videu vám dokážem ďalšiu

vlastnosť logaritmov.

Dovidenia.

-