제목: 분수의 곱셈

Multiplying fractions

분수의 곱셈 강의에 오신 것을 환영합니다.

오늘 여러분은 아주 기뻐하실 것 같은데요,

왜냐하면 때로는 곱셈이 덧셈이나

뺄셈보다 쉽다는 것을 아시게 될 것이기

때문입니다.

믿지 못하시겠다면, 문제 몇 개를 해보겠습니다.

시작해보겠습니다.

2분의 1 곱하기 2 분의 1 로 시작하겠습니다.

분수를 곱할 때는 아주 간단합니다.

본질적으로 두 개의 곱셈을 별도로

하는 것입니다.

분자끼리 곱하면 1 곱하기 1 입니다.

분모끼리 곱하면, 2 곱하기 2.

1 곱하기 1 은 1.

2 곱하기 2 는 4.

그래서 2 분의 1 곱하기 2분의 1 은 4 분의 1 입니다.

일리가 있습니다.

절반의 절반은 4분의 1 이라는 것과 같고 이해가 갑니다.

음수는 어떻게 될까요?

2 분의 1 에 음수 2분의 1 을 곱하면 ---

음수의 분수가 있으면 음수에 속한다고

생각하면 됩니다.

저는 음수를 분자에 나타내는 경향이 있습니다.

--- 음수 1 나누기 2.

음수 2 분의 1 은 음수 1 나누기 1과 같다는 것을

인식하셨을겁니다.

이해가 되시기를 바랍니다.

그래서 2 분의 1 곱하기 음수 2 분의 1 은,

1 곱하기 음수 1 나누기 2 곱하기 2 와 같고, 이 것은

음수 1 나누기 4 가 되는데 음수 4분의 1 과 같습니다.

분모가 다르면 어떻게 될까요,

분수의 덧셈 및 뺄셈을 했을 때는

어려워지는 경향이 있었습니다.

하지만 여기에서는 그럴 필요는 없습니다.

3 분의 2 곱하기 2 분의 1 을 하면, 그냥 분자끼리 곱해서,

2 곱하기 1, 그리고 분모끼리 곱하면 3 곱하기 2.

2 곱하기 1 은 2, 3 곱하기 2 는 6 입니다.

그리고 6 분의 2 는 등가분수로부터

3 분의 1 과 같다는 것을 알고 있습니다.

흥미 있는 문제였습니다.

다시 한 번 해봅시다. 그리고 여기에서 약간의 요령을 보여드리겠습니다.

그럼, 3 분의 2 곱하기 2 분의 1--- 앞에서 얘기한 대로,

어떤 곱셈 문제에서도 분자끼리 곱하고,

분모끼리 곱하여 답을 구합니다.

하지만 때로는 좀 요령이 있는데

분자와 분모를 같은 수로 나눌 수 있습니다.

왜냐하면 이 문제는 2 곱하기 1 나누기

3 곱하기 2 와 같기 때문입니다.

이 것은 다음과 같은 것인데--- 위에 있는 수의 순서를 바꾸어서

--- 1 곱하기 2 나누기 3 곱하기 2.

제가 한 일은 위의 순서를 바꾼 것이 전부인데,

어떤 순서로도 곱할 수 있기 때문입니다.

그러면 이 것은 3 분의 1 곱하기 2 나누기 2 와 같습니다.

그냥 3 분의 1 곱하기 1 이고, 이 것은 3분의 1이 됩니다.

왜 이 것을 했을까요?

이 2 들은, 이 2 들은, 제가 한 일은

순서를 바꾸어서, 분자에는 1, 2 가 있고

그리고 분모에는 3, 2 가 있습니다.

원한다면, 곱셈을 실제로 빨리 할 수 있는 요령의 일종이어서

최종적인 분수를 너무 많이 약분할 필요가 없고,

3 분의 2 곱하기 3 분의 1을---

미안합니다. 3 분의 2 곱하기 2 분의 1 을 할 수가 있습니다.

분자에 2 가 있고, 분모에도 2 가 있으니까

분자 및 분모 모두를 2 로 나누면, 3 분의 1 이 됩니다.

아주 빠르게 할 수 있는 요령입니다.

여러분을 혼돈시키지 않았기를 바랍니다.

문제 몇 개를 더 해보겠는데요,

요령을 써서 그리고 요령 없이 두 가지로 해보겠습니다.

7 분의 3 곱하기 5 분의 2 는 얼마입니까?

분자끼리 곱하면, 3 곱하기 2 는 6 입니다.

7 곱하기 5 는 35.

다 했습니다.

음수를 해 보겠습니다.

음수 4 분의 3 곱하기 11 분의 2 를 하면,

음수 6 나누기 44 이고,

음수 3 나누기 22 와 같습니다.

이 것을 대각선-나누기 요령으로 할 수 있었습니다.

대각선-나누기 요령으로 다시 해 보겠습니다

곱하기 2 나누기 11.

2 와 4 는 둘 다 2 로 나눌 수 있으므로,

둘 다 2 로 나누겠습니다.

그러면 2 는 1 이 되고, 4 는 2가 되어, 해답은

음수 3 나누기 22 가 됩니다.

음수 3 곱하기 1 은 음수 3 이고,

2 곱하기 11 은 22 입니다.

바로 여기에서 다른 문제 하나를 해보겠습니다.

음수 5 분의 2 곱하기 음수 5 분의 2를 하면,

음수 2 곱하기 음수 2 는 양수 4 가 됩니다.

5 곱하기 5 는 25 입니다.

25 분의 4.

음수 곱하기 음수는

양수라는 것을 기억하십시요.

문제 몇 개를 더 해보겠습니다.

시간이 많이 있는것 같습니다.

이제 여러분이 아셨을 것으로 생각합니다.

분수의 곱셈이 분수의 덧셈이나 뺄셈보다 훨씬 더

쉽다는 것을 인식하시고 있을 것입니다.

분수의 덧셈이나 뺄셈도 마찬가지로 쉽다는 것을 알게 되신다면

그 것도 좋은 일이라고 생각합니다.

숫자를 생각하고 있는데---

9 분의 2 곱하기 2 분의 18 을 해보겠습니다.

분자에 2 가 있고

분모에도 2 가 있습니다.

이 2 들을 모두 2 로 나누겠습니다, 그러면 둘 다 1 이 됩니다.

분자에는 18 이 있고 분모에는

9 가 있습니다.

이 둘은 9 로 나뉘어지니까, 이 둘을

9 로 나누겠습니다.

그러면 9 는 1 이 되고, 18 은 2 가 됩니다.

그러면 1 곱하기 2 나누기 1 곱하기 1 이 되고, 단순히

2 나누기 1 이 되어 2 가 됩니다.

아주 간단했습니다.

이 문제를 풀 수 있었는데, 여러분은 어려운 방법이라고 부를 수도 있는데요

9 분의 2 곱하기 2 분의 18 이라고 했다면...

2 곱하기 18 은 36.

9 곱하기 2 는 18.

그리고 36 을 18 로 나누면, 18 은 36 에 두 번 들어가므로,

2 가 됩니다.

어느 방법도 좋습니다.

바로 지금 이 요령을 사용하는 것이 편안하지 않으시면

그렇게 안하셔도 됩니다.

이렇게 하는 것은 쉽게 하기 위한 것인데--- 곱셈에서 아주 큰 수에 이르게 되어서

더 약분할 수 있는지를 알아내야하는 일을

안하게 될 것입니다.

두 문제를 더 해보겠습니다.

음수 7분의 5 곱하기 3 분의 1.

음수 5 곱하기 1 은 음수 5.

7 곱하기 3 은 21.

다 했습니다.

제가 보여드린 요령을 이용하여 해 보겠습니다.

왜 이 요령이 유용한지를 보시게 될 것으로 생각하는데요,

21 분의 15 곱하기 5 분의 14 를 해보겠습니다.

명백히, 곱하고 나면 아주 큰 수에

이르게 될 것입니다.

210 나누기 105 가 되어 약분하여야 할 것으로 생각합니다.

아주 복잡하게 됩니다.

하지만 15 및 5 는 둘 다 5 로 나눌 수 있는 것을 알 수 있습니다.

그러면 둘 다를 5 로 나누겠습니다.

그러면 15 나누기 5 은 3.

5 나누기 5 는 1.

14 와 21 은 7 로 나뉘어집니다.

14 나누기 7 은 2.

21 나누기 7 은 3.

그래서 3 곱하기 2 는 6 나누기 3 곱하기 1 은 3을 얻어, 2 가 됩니다.

제가 앞에서 얘기한 바와 같습니다.

15 곱하기 14 를 했다면

210 이 되었을 것으로 생각합니다.

예, 15 곱하기 14 는 210 입니다.

그리고 21 곱하기 5 는 105 가 되어,

이 경우, 이 것은 아주 명백한데요, 210 은

105 의 2 배가 되어 마찬가지로 2 를 얻을 수 있습니다.

여러분을 너무 많이 혼동시키지 않았기를 바랍니다.

이 마지막 문제로요.

여러분이 곱셈이 아주 단순하다는 것을 인식하셨기를 바랍니다.

단지 분자끼리 곱하고,

분모끼리 곱한 후에, 약분을 해야 한다면 약분을 하고

그러면 다 한 것입니다.

이제 곱셈 과목을 해 보실 준비가 되셨을 것으로 생각합니다.

즐거우셨기를 바랍니다.