Представяне на повърхностен интеграл като вектор | Анализ на функции на много променливи | Кан Академия
-
0:00 - 0:02В последното видео видяхме
-
0:02 - 0:06как може да се конструира единичен
нормален вектор към повърхнина. -
0:06 - 0:08Сега можем да използваме
това в нашия първоначален -
0:08 - 0:11повърхностен интеграл,
за да опитаме да го опростим -
0:11 - 0:13или поне да ни подскаже
как можем да изчисляваме тези неща. -
0:13 - 0:15Също така да помислим
за различните начини -
0:15 - 0:18за представяне на този
тип повърхностни интеграли. -
0:18 - 0:21Ако просто заместим с това,
което получихме като нормален вектор, -
0:21 - 0:22нашият единичен нормален вектор,
-
0:22 - 0:26ще получим – отново,
-
0:26 - 0:32това е повърхностният интеграл
от скаларното произведение -
0:32 - 0:33на F по всичко това ето тук.
(показва на екрана) -
0:33 - 0:35Ще запиша всичко това в бяло,
-
0:35 - 0:37за да не губя твърде много време.
-
0:37 - 0:39Значи векторното произведение на
частната производна на r относно u -
0:39 - 0:44и частната производна на r
относно v -
0:44 - 0:46върху дължината на това
векторно произведение, -
0:46 - 0:49векторното произведение на
частно r относно u -
0:49 - 0:52и частно r относно v.
-
0:52 - 0:54Досега доста си поиграхме с dS.
-
0:54 - 0:55Знаем, че можем да
представим dS като... -
0:55 - 0:57надявам се, че успя
да схванеш логиката, -
0:57 - 0:59както я обясних в
преди няколко видео клипа, -
0:59 - 1:01когато разглеждахме какъв е
смисълът на повърхностния интеграл. -
1:01 - 1:06Знаем, че dS може да се представи
-
1:06 - 1:09като дължината на векторното
произведение на частно r относно u -
1:09 - 1:14и частно r относно v, du, dv.
-
1:14 - 1:17du, dv, разбира се, може
да се запише като dv, du. -
1:17 - 1:20Можем да го представим като
da, което е малка площ -
1:20 - 1:23в равнината uv или в дефиниционното
множество uv. -
1:23 - 1:26Всъщност, понеже интегрираме
относно u и v, -
1:26 - 1:28това вече не е
повърхностен интеграл. -
1:28 - 1:31Това е двоен интеграл в дефиниционното
множество uv. -
1:31 - 1:33Можем да кажем в някаква
област в uv. -
1:33 - 1:38Така че мога да кажа, че r
e област в равнината uv, -
1:38 - 1:40която разглеждаме сега.
-
1:40 - 1:42Но тук вероятно има голяма,
-
1:42 - 1:44или предполагам, че има
голямо опростяване, което -
1:44 - 1:45можем сега да забележим.
-
1:45 - 1:47Делим на дължината на
векторното произведение -
1:47 - 1:49на тези два вектора,
след което -
1:49 - 1:52умножаваме по дължината
на векторното произведение -
1:52 - 1:53на тези два вектора.
-
1:53 - 1:54Това са просто скаларни величини.
-
1:54 - 1:56Значи делим на нещо
и умножаваме по нещо. -
1:56 - 1:59Това е същото като да умножим
или да разделим на 1. -
1:59 - 2:01Значи тези два члена се съкращават,
-
2:01 - 2:06интегралът се опростява
до двоен интеграл -
2:06 - 2:10в тази област, съответната
област в равнината uv, -
2:10 - 2:14двоен интеграл от F...
от нашето векторно поле F, -
2:14 - 2:17скаларното произведение на F
и това векторно произведение. -
2:17 - 2:19Това ще ни даде един вектор ето тук
(загражда с бяло на екрана). -
2:19 - 2:21Ще получим вектор.
-
2:21 - 2:22Това всъщност е нормален вектор.
-
2:22 - 2:24Когато го разделим на
неговата дължина, -
2:24 - 2:26получаваме единичен
нормален вектор. -
2:26 - 2:29Значи намираме скаларното
произведение на F и на r, -
2:29 - 2:34векторното произведение на
частната производна на r относно u -
2:34 - 2:41и частната производна на r
относно v, du, dv. -
2:41 - 2:46Ще се преместя надолу малко –
du, dv. -
2:46 - 2:48В следващите няколко видеа ще видим,
-
2:48 - 2:51че това по същество е начинът,
по който се изчисляват тези неща. -
2:51 - 2:52Ако имаме параметризация,
-
2:52 - 2:55можем да представим всичко
като двоен интеграл -
2:55 - 2:57относно uv, ето по този начин.
-
2:57 - 2:59Последното, което искам
да разгледаме, е още един начин, -
2:59 - 3:01по който може да срещнеш написан
един такъв повърхностен интеграл. -
3:01 - 3:03Свързано е със записването
на тази част -
3:03 - 3:04по различен начин.
-
3:04 - 3:06Надявам се, че това
ти дава по-добра представа -
3:06 - 3:08какво представлява това.
-
3:08 - 3:09Просто ще го преработя.
-
3:09 - 3:15Ще преработя тази част ето тук.
(огражда частта с червено) -
3:15 - 3:17Ще използвам малко по-различен
начин за записване, защото -
3:17 - 3:19се надявам, че така
ще ти стане по-ясно. -
3:19 - 3:21Това частно r относно u
-
3:21 - 3:26можем да запишем като
частно r относно u. -
3:26 - 3:28Намираме векторното произведение.
-
3:28 - 3:30Само ще напиша това 'u'
малко по-добре, -
3:30 - 3:31за да не се бърка с 'v'.
-
3:31 - 3:33Намираме векторното произведение
на тази частна производна -
3:33 - 3:38с частната производна
на r относно v. -
3:38 - 3:40Това са много малки промени
на нашите вектори – -
3:40 - 3:42на нашата параметризация ето тук,
-
3:42 - 3:44нашият радиус-вектор
при малка промяна на v. -
3:44 - 3:48Много малки промени на вектора
при малка промяна на u. -
3:48 - 3:56После умножаваме това по du, dv.
-
3:56 - 4:00du и dv са скаларни величини.
-
4:00 - 4:01Те са изключително малки.
-
4:01 - 4:03В интерес на нашата логика,
-
4:03 - 4:05можем да ги разглеждаме
не като вектори, -
4:05 - 4:06а като скаларни величини.
-
4:06 - 4:10Така че можем да ги включим...
-
4:10 - 4:12ако имаме векторно произведение
-
4:12 - 4:18на а по b, по някаква скаларна величина –
да кажем на някакво х, -
4:18 - 4:24можем да представим това като
х по векторното произведение на a и b, -
4:24 - 4:29или можем да го представим
като векторното произведение на а и (х по b), -
4:29 - 4:31тъй като х е просто някаква
скаларна величина. -
4:31 - 4:32То е просто някакво число.
-
4:32 - 4:33Така че можем да направим
същото нещо и тук. -
4:33 - 4:36Можем да преработим
всичко това като... -
4:36 - 4:40ще групирам du, където имаме
частната производна -
4:40 - 4:41относно u в знаменателя.
-
4:41 - 4:43Ще направя същото нещо и с v.
-
4:43 - 4:52Така получаваме частно r относно u,
по du, по това число (скалар). -
4:52 - 4:54Това ни дава вектор.
-
4:54 - 4:56Сега ще намерим векторното
-
4:56 - 5:07произведение на това с
частно r относно v, dv. -
5:07 - 5:09Записани по този начин
тези двете може би -
5:09 - 5:10изглеждат различни неща,
но всъщност това следва -
5:10 - 5:14от нуждата, когато
намираме частни производни, -
5:14 - 5:17да кажем, че тази векторна функция
-
5:17 - 5:19е дефинирана – това е
функция на много променливи, -
5:19 - 5:22и това е частната производна
само относно една променлива. -
5:22 - 5:24Това показва колко се променя
този вектор, -
5:24 - 5:26когато имаме съвсем малка
промяна на u. -
5:26 - 5:30Но това също е една много малка
промяна на u ето тук, -
5:30 - 5:32просто я записваме по различен начин.
-
5:32 - 5:33Така че в интерес на...
-
5:33 - 5:35това е малко непрецизно от
математическа гледна точка, -
5:35 - 5:38но се надявам, че разбираш
логиката защо можем -
5:38 - 5:40да запишем това по различен начин.
-
5:40 - 5:42Тези два записа са на една и съща величина.
-
5:42 - 5:45Делим на нещо и умножаваме по нещо.
-
5:45 - 5:46Те се съкращават.
-
5:46 - 5:48Ако разделим на нещо
и умножим по същото нещо, -
5:48 - 5:50можем да съкратим това нещо.
-
5:50 - 5:52Тогава ще ни остане...
-
5:52 - 5:56ще ни остане само диференциал от r.
-
5:56 - 5:58И тъй като загубихме информацията
в посока u, -
5:58 - 6:01ще я запиша ето тук, диференциал
от r в посока u. -
6:01 - 6:03Не искам да се объркваме
с този начин на записване. -
6:03 - 6:04Това е просто диференциал.
-
6:04 - 6:06Това е колко се променя r.
-
6:06 - 6:09Това не е частна производна
на r относно u. -
6:09 - 6:12Това тук е колко се променя r
-
6:12 - 6:15за единица промяна на u,
за една малка промяна на u. -
6:15 - 6:19Това е просто диференциал
в посока на... -
6:19 - 6:23когато u се променя, това е
колко е малката промяна, -
6:23 - 6:24която настъпва в r.
-
6:24 - 6:27Това не е промяна на r
относно промяната на u. -
6:27 - 6:30Сега ще намерим
векторното произведение на това -
6:30 - 6:33с частната производна на r
-
6:33 - 6:35в посока v.
-
6:35 - 6:37Това ето тук – само
да го обясним. -
6:37 - 6:40Това ни връща към първоначалната
ни представа -
6:40 - 6:42за смисъла на повърхностния
интеграл. -
6:42 - 6:44Ако сме върху повърхнината –
ще начертая една повърхнина. -
6:44 - 6:45Ще начертая друга повърхнина.
-
6:45 - 6:48Не искам да използвам тази,
върху която чертах вече. -
6:48 - 6:51Ако начертаем повърхнина,
и за една много малка промяна на u... -
6:51 - 6:53но сега не ни интересува
скоростта на изменение. -
6:53 - 6:56Ние просто разглеждаме
промяната на r. -
6:56 - 6:58Отиваме в тази посока.
-
6:58 - 7:01Ако това изглежда по този начин,
-
7:01 - 7:05това всъщност е разстоянието,
на което се преместваме върху повърхнината. -
7:05 - 7:08Защото, спомни си,
това не е производна. -
7:08 - 7:09Това е диференциал.
-
7:09 - 7:12Значи това е просто
много малка промяна по повърхнината, -
7:12 - 7:14това е ето това тук.
-
7:14 - 7:17А това е малка промяна,
когато се промени v. -
7:17 - 7:19Значи също е промяна по повърхнината.
-
7:19 - 7:21Когато намерим векторното
произведение на тези двете, -
7:21 - 7:23получаваме вектор,
който е ортогонален. -
7:23 - 7:27Получаваме вектор, който
е нормален към повърхнината. -
7:27 - 7:34Значи е нормален към
повърхнината и неговата дължина... -
7:34 - 7:36видяхме това, когато учихме
за векторно произведение. -
7:36 - 7:40Дължината на вектора е
равна на площта, която -
7:40 - 7:43е дефинирана от тези
два вектора. -
7:43 - 7:49Значи дължината е равна на площ.
-
7:49 - 7:53Така че можеш да си го
представиш -
7:53 - 7:57като единичния нормален
вектор по dS. -
7:57 - 8:00Начинът, по който можем
да направим това като начин на записване, -
8:00 - 8:02е да наречем това –
понеже това е един вид dS, -
8:02 - 8:04но това е векторната версия на dS.
-
8:04 - 8:07Това ето тук е площ.
-
8:07 - 8:09Това е просто скаларна стойност.
-
8:09 - 8:12Но сега имаме вектор,
който е нормален -
8:12 - 8:15към тази повърхнина,
-
8:15 - 8:17и дължината му е равна на това dS,
(записва на екрана) -
8:17 - 8:18което разгледахме току-що.
-
8:18 - 8:22Така че можем да наречем
това ето тук dS. -
8:22 - 8:25Основната разлика е, че
това сега е вектор. -
8:25 - 8:28Значи го означаваме с dS
с малка стрелка отгоре, -
8:28 - 8:30за да можем да го разпознаваме.
-
8:30 - 8:33Това не е скаларът dS,
който има връзка само с площта. -
8:33 - 8:35Когато разглеждаме нещата
по този начин, -
8:35 - 8:39тогава виждаме, че това
нещо се опростява само до dS. -
8:39 - 8:43Тогава можем да преработим
целия повърхностен интеграл. -
8:43 - 8:45Вместо да го записваме по този начин,
-
8:45 - 8:51можем да го запишем като
повърхностен интеграл... -
8:51 - 8:54този знак за интеграл
е много специален. -
8:54 - 8:58Повърхностният интеграл от F по...
-
8:58 - 9:01Тук вместо да напишем
нормалния вектор по скаларна величина, -
9:01 - 9:03това малко парченце от
повърхнината, -
9:03 - 9:08можем да означим това като
векторния диференциал dS. -
9:08 - 9:10Искам да поясня, че това
са две различни неща. -
9:10 - 9:12Това е вектор.
(показва на екрана) -
9:12 - 9:14Това е начинът, по който
го наричаме. -
9:14 - 9:17Това ето тук е скалар по
нормален вектор.
(показва на екрана) -
9:17 - 9:18Така че това са три различни начина
-
9:18 - 9:20да представим едно и също нещо.
-
9:20 - 9:22В различни контексти ще срещаш
различни неща, -
9:22 - 9:27в зависимост от това, което
авторът иска да съобщи. -
9:27 - 9:30Това ето тук ще използваме най-често,
(показва на екрана) -
9:30 - 9:34когато изчисляваме
повърхностни интеграли.
- Title:
- Представяне на повърхностен интеграл като вектор | Анализ на функции на много променливи | Кан Академия
- Description:
-
Различни начини за представяне на интеграл на потока
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_theorem/v/stokes-theorem-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus
Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/3d_flux/v/constructing-a-unit-normal-vector-to-a-surface?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus - Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 09:35
![]() |
Райна Павлова edited Bulgarian subtitles for Vector representation of a surface integral | Multivariable Calculus | Khan Academy | |
![]() |
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Vector representation of a surface integral | Multivariable Calculus | Khan Academy | |
![]() |
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Vector representation of a surface integral | Multivariable Calculus | Khan Academy |