< Return to Video

Представяне на повърхностен интеграл като вектор | Анализ на функции на много променливи | Кан Академия

  • 0:00 - 0:02
    В последното видео видяхме
  • 0:02 - 0:06
    как може да се конструира единичен
    нормален вектор към повърхнина.
  • 0:06 - 0:08
    Сега можем да използваме
    това в нашия първоначален
  • 0:08 - 0:11
    повърхностен интеграл,
    за да опитаме да го опростим
  • 0:11 - 0:13
    или поне да ни подскаже
    как можем да изчисляваме тези неща.
  • 0:13 - 0:15
    Също така да помислим
    за различните начини
  • 0:15 - 0:18
    за представяне на този
    тип повърхностни интеграли.
  • 0:18 - 0:21
    Ако просто заместим с това,
    което получихме като нормален вектор,
  • 0:21 - 0:22
    нашият единичен нормален вектор,
  • 0:22 - 0:26
    ще получим – отново,
  • 0:26 - 0:32
    това е повърхностният интеграл
    от скаларното произведение
  • 0:32 - 0:33
    на F по всичко това ето тук.
    (показва на екрана)
  • 0:33 - 0:35
    Ще запиша всичко това в бяло,
  • 0:35 - 0:37
    за да не губя твърде много време.
  • 0:37 - 0:39
    Значи векторното произведение на
    частната производна на r относно u
  • 0:39 - 0:44
    и частната производна на r
    относно v
  • 0:44 - 0:46
    върху дължината на това
    векторно произведение,
  • 0:46 - 0:49
    векторното произведение на
    частно r относно u
  • 0:49 - 0:52
    и частно r относно v.
  • 0:52 - 0:54
    Досега доста си поиграхме с dS.
  • 0:54 - 0:55
    Знаем, че можем да
    представим dS като...
  • 0:55 - 0:57
    надявам се, че успя
    да схванеш логиката,
  • 0:57 - 0:59
    както я обясних в
    преди няколко видео клипа,
  • 0:59 - 1:01
    когато разглеждахме какъв е
    смисълът на повърхностния интеграл.
  • 1:01 - 1:06
    Знаем, че dS може да се представи
  • 1:06 - 1:09
    като дължината на векторното
    произведение на частно r относно u
  • 1:09 - 1:14
    и частно r относно v, du, dv.
  • 1:14 - 1:17
    du, dv, разбира се, може
    да се запише като dv, du.
  • 1:17 - 1:20
    Можем да го представим като
    da, което е малка площ
  • 1:20 - 1:23
    в равнината uv или в дефиниционното
    множество uv.
  • 1:23 - 1:26
    Всъщност, понеже интегрираме
    относно u и v,
  • 1:26 - 1:28
    това вече не е
    повърхностен интеграл.
  • 1:28 - 1:31
    Това е двоен интеграл в дефиниционното
    множество uv.
  • 1:31 - 1:33
    Можем да кажем в някаква
    област в uv.
  • 1:33 - 1:38
    Така че мога да кажа, че r
    e област в равнината uv,
  • 1:38 - 1:40
    която разглеждаме сега.
  • 1:40 - 1:42
    Но тук вероятно има голяма,
  • 1:42 - 1:44
    или предполагам, че има
    голямо опростяване, което
  • 1:44 - 1:45
    можем сега да забележим.
  • 1:45 - 1:47
    Делим на дължината на
    векторното произведение
  • 1:47 - 1:49
    на тези два вектора,
    след което
  • 1:49 - 1:52
    умножаваме по дължината
    на векторното произведение
  • 1:52 - 1:53
    на тези два вектора.
  • 1:53 - 1:54
    Това са просто скаларни величини.
  • 1:54 - 1:56
    Значи делим на нещо
    и умножаваме по нещо.
  • 1:56 - 1:59
    Това е същото като да умножим
    или да разделим на 1.
  • 1:59 - 2:01
    Значи тези два члена се съкращават,
  • 2:01 - 2:06
    интегралът се опростява
    до двоен интеграл
  • 2:06 - 2:10
    в тази област, съответната
    област в равнината uv,
  • 2:10 - 2:14
    двоен интеграл от F...
    от нашето векторно поле F,
  • 2:14 - 2:17
    скаларното произведение на F
    и това векторно произведение.
  • 2:17 - 2:19
    Това ще ни даде един вектор ето тук
    (загражда с бяло на екрана).
  • 2:19 - 2:21
    Ще получим вектор.
  • 2:21 - 2:22
    Това всъщност е нормален вектор.
  • 2:22 - 2:24
    Когато го разделим на
    неговата дължина,
  • 2:24 - 2:26
    получаваме единичен
    нормален вектор.
  • 2:26 - 2:29
    Значи намираме скаларното
    произведение на F и на r,
  • 2:29 - 2:34
    векторното произведение на
    частната производна на r относно u
  • 2:34 - 2:41
    и частната производна на r
    относно v, du, dv.
  • 2:41 - 2:46
    Ще се преместя надолу малко –
    du, dv.
  • 2:46 - 2:48
    В следващите няколко видеа ще видим,
  • 2:48 - 2:51
    че това по същество е начинът,
    по който се изчисляват тези неща.
  • 2:51 - 2:52
    Ако имаме параметризация,
  • 2:52 - 2:55
    можем да представим всичко
    като двоен интеграл
  • 2:55 - 2:57
    относно uv, ето по този начин.
  • 2:57 - 2:59
    Последното, което искам
    да разгледаме, е още един начин,
  • 2:59 - 3:01
    по който може да срещнеш написан
    един такъв повърхностен интеграл.
  • 3:01 - 3:03
    Свързано е със записването
    на тази част
  • 3:03 - 3:04
    по различен начин.
  • 3:04 - 3:06
    Надявам се, че това
    ти дава по-добра представа
  • 3:06 - 3:08
    какво представлява това.
  • 3:08 - 3:09
    Просто ще го преработя.
  • 3:09 - 3:15
    Ще преработя тази част ето тук.
    (огражда частта с червено)
  • 3:15 - 3:17
    Ще използвам малко по-различен
    начин за записване, защото
  • 3:17 - 3:19
    се надявам, че така
    ще ти стане по-ясно.
  • 3:19 - 3:21
    Това частно r относно u
  • 3:21 - 3:26
    можем да запишем като
    частно r относно u.
  • 3:26 - 3:28
    Намираме векторното произведение.
  • 3:28 - 3:30
    Само ще напиша това 'u'
    малко по-добре,
  • 3:30 - 3:31
    за да не се бърка с 'v'.
  • 3:31 - 3:33
    Намираме векторното произведение
    на тази частна производна
  • 3:33 - 3:38
    с частната производна
    на r относно v.
  • 3:38 - 3:40
    Това са много малки промени
    на нашите вектори –
  • 3:40 - 3:42
    на нашата параметризация ето тук,
  • 3:42 - 3:44
    нашият радиус-вектор
    при малка промяна на v.
  • 3:44 - 3:48
    Много малки промени на вектора
    при малка промяна на u.
  • 3:48 - 3:56
    После умножаваме това по du, dv.
  • 3:56 - 4:00
    du и dv са скаларни величини.
  • 4:00 - 4:01
    Те са изключително малки.
  • 4:01 - 4:03
    В интерес на нашата логика,
  • 4:03 - 4:05
    можем да ги разглеждаме
    не като вектори,
  • 4:05 - 4:06
    а като скаларни величини.
  • 4:06 - 4:10
    Така че можем да ги включим...
  • 4:10 - 4:12
    ако имаме векторно произведение
  • 4:12 - 4:18
    на а по b, по някаква скаларна величина –
    да кажем на някакво х,
  • 4:18 - 4:24
    можем да представим това като
    х по векторното произведение на a и b,
  • 4:24 - 4:29
    или можем да го представим
    като векторното произведение на а и (х по b),
  • 4:29 - 4:31
    тъй като х е просто някаква
    скаларна величина.
  • 4:31 - 4:32
    То е просто някакво число.
  • 4:32 - 4:33
    Така че можем да направим
    същото нещо и тук.
  • 4:33 - 4:36
    Можем да преработим
    всичко това като...
  • 4:36 - 4:40
    ще групирам du, където имаме
    частната производна
  • 4:40 - 4:41
    относно u в знаменателя.
  • 4:41 - 4:43
    Ще направя същото нещо и с v.
  • 4:43 - 4:52
    Така получаваме частно r относно u,
    по du, по това число (скалар).
  • 4:52 - 4:54
    Това ни дава вектор.
  • 4:54 - 4:56
    Сега ще намерим векторното
  • 4:56 - 5:07
    произведение на това с
    частно r относно v, dv.
  • 5:07 - 5:09
    Записани по този начин
    тези двете може би
  • 5:09 - 5:10
    изглеждат различни неща,
    но всъщност това следва
  • 5:10 - 5:14
    от нуждата, когато
    намираме частни производни,
  • 5:14 - 5:17
    да кажем, че тази векторна функция
  • 5:17 - 5:19
    е дефинирана – това е
    функция на много променливи,
  • 5:19 - 5:22
    и това е частната производна
    само относно една променлива.
  • 5:22 - 5:24
    Това показва колко се променя
    този вектор,
  • 5:24 - 5:26
    когато имаме съвсем малка
    промяна на u.
  • 5:26 - 5:30
    Но това също е една много малка
    промяна на u ето тук,
  • 5:30 - 5:32
    просто я записваме по различен начин.
  • 5:32 - 5:33
    Така че в интерес на...
  • 5:33 - 5:35
    това е малко непрецизно от
    математическа гледна точка,
  • 5:35 - 5:38
    но се надявам, че разбираш
    логиката защо можем
  • 5:38 - 5:40
    да запишем това по различен начин.
  • 5:40 - 5:42
    Тези два записа са на една и съща величина.
  • 5:42 - 5:45
    Делим на нещо и умножаваме по нещо.
  • 5:45 - 5:46
    Те се съкращават.
  • 5:46 - 5:48
    Ако разделим на нещо
    и умножим по същото нещо,
  • 5:48 - 5:50
    можем да съкратим това нещо.
  • 5:50 - 5:52
    Тогава ще ни остане...
  • 5:52 - 5:56
    ще ни остане само диференциал от r.
  • 5:56 - 5:58
    И тъй като загубихме информацията
    в посока u,
  • 5:58 - 6:01
    ще я запиша ето тук, диференциал
    от r в посока u.
  • 6:01 - 6:03
    Не искам да се объркваме
    с този начин на записване.
  • 6:03 - 6:04
    Това е просто диференциал.
  • 6:04 - 6:06
    Това е колко се променя r.
  • 6:06 - 6:09
    Това не е частна производна
    на r относно u.
  • 6:09 - 6:12
    Това тук е колко се променя r
  • 6:12 - 6:15
    за единица промяна на u,
    за една малка промяна на u.
  • 6:15 - 6:19
    Това е просто диференциал
    в посока на...
  • 6:19 - 6:23
    когато u се променя, това е
    колко е малката промяна,
  • 6:23 - 6:24
    която настъпва в r.
  • 6:24 - 6:27
    Това не е промяна на r
    относно промяната на u.
  • 6:27 - 6:30
    Сега ще намерим
    векторното произведение на това
  • 6:30 - 6:33
    с частната производна на r
  • 6:33 - 6:35
    в посока v.
  • 6:35 - 6:37
    Това ето тук – само
    да го обясним.
  • 6:37 - 6:40
    Това ни връща към първоначалната
    ни представа
  • 6:40 - 6:42
    за смисъла на повърхностния
    интеграл.
  • 6:42 - 6:44
    Ако сме върху повърхнината –
    ще начертая една повърхнина.
  • 6:44 - 6:45
    Ще начертая друга повърхнина.
  • 6:45 - 6:48
    Не искам да използвам тази,
    върху която чертах вече.
  • 6:48 - 6:51
    Ако начертаем повърхнина,
    и за една много малка промяна на u...
  • 6:51 - 6:53
    но сега не ни интересува
    скоростта на изменение.
  • 6:53 - 6:56
    Ние просто разглеждаме
    промяната на r.
  • 6:56 - 6:58
    Отиваме в тази посока.
  • 6:58 - 7:01
    Ако това изглежда по този начин,
  • 7:01 - 7:05
    това всъщност е разстоянието,
    на което се преместваме върху повърхнината.
  • 7:05 - 7:08
    Защото, спомни си,
    това не е производна.
  • 7:08 - 7:09
    Това е диференциал.
  • 7:09 - 7:12
    Значи това е просто
    много малка промяна по повърхнината,
  • 7:12 - 7:14
    това е ето това тук.
  • 7:14 - 7:17
    А това е малка промяна,
    когато се промени v.
  • 7:17 - 7:19
    Значи също е промяна по повърхнината.
  • 7:19 - 7:21
    Когато намерим векторното
    произведение на тези двете,
  • 7:21 - 7:23
    получаваме вектор,
    който е ортогонален.
  • 7:23 - 7:27
    Получаваме вектор, който
    е нормален към повърхнината.
  • 7:27 - 7:34
    Значи е нормален към
    повърхнината и неговата дължина...
  • 7:34 - 7:36
    видяхме това, когато учихме
    за векторно произведение.
  • 7:36 - 7:40
    Дължината на вектора е
    равна на площта, която
  • 7:40 - 7:43
    е дефинирана от тези
    два вектора.
  • 7:43 - 7:49
    Значи дължината е равна на площ.
  • 7:49 - 7:53
    Така че можеш да си го
    представиш
  • 7:53 - 7:57
    като единичния нормален
    вектор по dS.
  • 7:57 - 8:00
    Начинът, по който можем
    да направим това като начин на записване,
  • 8:00 - 8:02
    е да наречем това –
    понеже това е един вид dS,
  • 8:02 - 8:04
    но това е векторната версия на dS.
  • 8:04 - 8:07
    Това ето тук е площ.
  • 8:07 - 8:09
    Това е просто скаларна стойност.
  • 8:09 - 8:12
    Но сега имаме вектор,
    който е нормален
  • 8:12 - 8:15
    към тази повърхнина,
  • 8:15 - 8:17
    и дължината му е равна на това dS,
    (записва на екрана)
  • 8:17 - 8:18
    което разгледахме току-що.
  • 8:18 - 8:22
    Така че можем да наречем
    това ето тук dS.
  • 8:22 - 8:25
    Основната разлика е, че
    това сега е вектор.
  • 8:25 - 8:28
    Значи го означаваме с dS
    с малка стрелка отгоре,
  • 8:28 - 8:30
    за да можем да го разпознаваме.
  • 8:30 - 8:33
    Това не е скаларът dS,
    който има връзка само с площта.
  • 8:33 - 8:35
    Когато разглеждаме нещата
    по този начин,
  • 8:35 - 8:39
    тогава виждаме, че това
    нещо се опростява само до dS.
  • 8:39 - 8:43
    Тогава можем да преработим
    целия повърхностен интеграл.
  • 8:43 - 8:45
    Вместо да го записваме по този начин,
  • 8:45 - 8:51
    можем да го запишем като
    повърхностен интеграл...
  • 8:51 - 8:54
    този знак за интеграл
    е много специален.
  • 8:54 - 8:58
    Повърхностният интеграл от F по...
  • 8:58 - 9:01
    Тук вместо да напишем
    нормалния вектор по скаларна величина,
  • 9:01 - 9:03
    това малко парченце от
    повърхнината,
  • 9:03 - 9:08
    можем да означим това като
    векторния диференциал dS.
  • 9:08 - 9:10
    Искам да поясня, че това
    са две различни неща.
  • 9:10 - 9:12
    Това е вектор.
    (показва на екрана)
  • 9:12 - 9:14
    Това е начинът, по който
    го наричаме.
  • 9:14 - 9:17
    Това ето тук е скалар по
    нормален вектор.
    (показва на екрана)
  • 9:17 - 9:18
    Така че това са три различни начина
  • 9:18 - 9:20
    да представим едно и също нещо.
  • 9:20 - 9:22
    В различни контексти ще срещаш
    различни неща,
  • 9:22 - 9:27
    в зависимост от това, което
    авторът иска да съобщи.
  • 9:27 - 9:30
    Това ето тук ще използваме най-често,
    (показва на екрана)
  • 9:30 - 9:34
    когато изчисляваме
    повърхностни интеграли.
Title:
Представяне на повърхностен интеграл като вектор | Анализ на функции на много променливи | Кан Академия
Description:

Различни начини за представяне на интеграл на потока

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/stokes_theorem/v/stokes-theorem-intuition?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus

Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/surface-integrals/3d_flux/v/constructing-a-unit-normal-vector-to-a-surface?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=MultivariableCalculus

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:35

Bulgarian subtitles

Revisions Compare revisions