Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

Calculating i raised to arbitrarily high exponents

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now:
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/e/imaginary_unit_powers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/imaginary-roots-of-negative-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Precalculus on Khan Academy: You may think that precalculus is simply the course you take before calculus. You would be right, of course, but that definition doesn't mean anything unless you have some knowledge of what calculus is. Let's keep it simple, shall we? Calculus is a conceptual framework which provides systematic techniques for solving problems. These problems are appropriately applicable to analytic geometry and algebra. Therefore....precalculus gives you the background for the mathematical concepts, problems, issues and techniques that appear in calculus, including trigonometry, functions, complex numbers, vectors, matrices, and others. There you have it ladies and gentlemen....an introduction to precalculus!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Precalculus channel:
https://www.youtube.com/channel/UCBeHztHRWuVvnlwm20u2hNA?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

لقد رأينا في الدرس السابق انه عندما ترفع "i" من قوة لقوة اعلى فإن النواتج تكررت بين 1، i، -1، -i، ثم

ترجع 1، "i"، -1 و -i، واريد ان ارى اذا كان بالامكان ان احل-- اعتقد انك تطلق عليهم لقب

المسائل الخادعة-- وهذه الامثلة ممتعة عند الحل

ويمكنك استخدام هذا عندما تكون قوى i عبارة عن تكرار للقيم ، يمكنك القيام بهذا

حتى على ظهر مغلف الرسائل، تأخذ قوى i بالترتيب. لذا دعونا نجرب، للتسلية فقط

دعونا نستخرج ناتج i^100 والعبرة هنا هي ان 100 من مضاعفات الـ 4، فيمكن ان

نفول ان هذا يعادل i^4×25

ومن خصائص الاسس ان (i^4 )^25 ، اليس كذلك، فاذا كان لديك

عدد مرفوع لقوة والقوة نفسها مرفوعة لقوة اخرى فهذا نفسه

كضرب هاتان القوتان وكما نعلم وهذا واضح

ان i^4=1، اذاً هذا يساوي

1^25، اي الناتج هو 1. اذاً مرة اخرى نحن نستخدم

التكرار عندما تكون i مرفوعة لقوة معينة حتى لو كانت قيمة القوة كبيرة جداً

دعونا الآن نجرب شيئاً مختلفاً

لنفترض ان i^501. الآن في هذا المثال 501 ليس

من مضاعفات الـ 4 لذلك لن نستطيع اتباع الطريقة ذاتها لكن ما يمكن فعله هو تجزيئ

العدد الى عددين؛ الاول سيكون i مرفوعاً لقوة من مضاعفات

الـ 4 والثاني ليس من مضاعفاتها، لنجرب ذلك: 500 تعتبر من مضاعفات

4، اذاً يمكن كتابة العدد على النحو i^500

×i^1، صحيح؟ لدينا الاساس نفسه، وعندما نضرب

العددين نقوم بجمع الاسس، اذاً i^501. و

i^500 تعادل

ماذا؟ 4×125=500، اذاً

سيكون هذا الجزء هكذا: i^500 تعادل (i^4)^125

×i^1. حسناً i^4

=1، 1^125=1، هذا كله يساوي 1 اذاً

يكون الناتج i^1، وهذا يساوي i

يتضح لنا في البداية انها مسألة غاية في الصعوبة، وتأخذ وقتاً طويلاً

لكن يمكن حلها بسرعة عن طريق استخدام مبدأ التدوير؛ i^500=1 بالتالي i^501

=i. اذاً i عندما تكون مرفوعة لقوة من مضاعفات الـ 4-- دعوني اكتب هذا

على وجه العموم-- اذاً اذا كانت i مرفوعة لقوة من مضاعفات الـ 4، فهذا مكتوب هنا، ويمكن ان

نضع الرمز k لنوضح ان العدد ليس سالب؛ اي انه اكبر او يساوي صفر

فاذا كان لدينا هنا i مرفوعة لقوة من مضاعفات 4 فسنحصل على

1 لأن هذه العبارة تعادل i^4k

حيث انها مساوية لـ 1^k فيكون الناتج 1 الا اذا كان لدينا

شيئ آخر، فاذا كانت المسألة i^4k+1 او +2 يمكن في هذه الحالة

اتخاذ هذا الاجراء. اذاً دعونا نحل المزيد من الامثلة، من اجل

توضيح الفكرة. سنجرب الآن

i^7321. الآن علينا

-- سيكون هذا عبارة عن احد مضاعفات 4+عدد آخر، ويمكن القيام بذلك

من خلال التمعن في العدد 7320 ومعرفة قابلية قسمته على 4

سيكون الاجراء كالتالي i^7320×i^1، لدينا مضاعف

للعدد 4 هنا، حيث ان 100 من مضاعفات

4، بالتالي فإن 1000 مضاعف لل4، واي 100 هي من مضاعفات 4 و20 كذلك

فهذا كله يمكن تبسيطه الى 1...آسف، هذا ليس؟؟؟ مرفوعاً للقوة i بل للقوة 1، اذاً 7321 هي 7320+

1 وهذا الجزء تيم تبسيطه الى 1 ليتبقى لدينا

i^1 اي i، دعونا نقوم بحل مثال آخر. i^90، 90، 90

90، دعوني اختار عدد مثير للاهتمام، i^99

مرة اخرى، ما هو المضاعف الاكبر لل4 والذي هو اقل من 99؟ انه 96

وهذا سيعادل i^96×i^3، صحيح؟ اذا قمت

بضرب الاساسات، وجمع الاسس، ستحصل على i^99

اذاً هذا من مضاعفات 4، هذه i^4 وهذه i^16

فيتكون لدينا 1^16، هذا 1 ويتبقى لدينا i^3

ويمكنك تذكر ان i^3=

-i واذا نسيت هذا فيمكن ان تقول

انها مشابهة لـ i^2×i

i^2=-1 اذاً لدينا -1×i، وهذا يساوي

-i. دعوني اقوم بحل واحدة اخرى، من اجل الشعور بالمتعة. لنفترض

i^38. حسناً مرة اخرى هذا سيعادل i^36×i^2. وقد

اخذت i^36 بناء على انه اكبر مضاعف لل4 يقسم عليه 38 ويكون الباقي 2

يبسط هذا الى 1 ويتبقى i^2 اي ما يساوي -1