Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

Calculating i raised to arbitrarily high exponents

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now:
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/e/imaginary_unit_powers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/imaginary-roots-of-negative-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Precalculus on Khan Academy: You may think that precalculus is simply the course you take before calculus. You would be right, of course, but that definition doesn't mean anything unless you have some knowledge of what calculus is. Let's keep it simple, shall we? Calculus is a conceptual framework which provides systematic techniques for solving problems. These problems are appropriately applicable to analytic geometry and algebra. Therefore....precalculus gives you the background for the mathematical concepts, problems, issues and techniques that appear in calculus, including trigonometry, functions, complex numbers, vectors, matrices, and others. There you have it ladies and gentlemen....an introduction to precalculus!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Precalculus channel:
https://www.youtube.com/channel/UCBeHztHRWuVvnlwm20u2hNA?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

ทีนี้ เราเห็นไปแล้วว่าเมื่อเรายกกำลัง i มากขึ้นเรื่อยๆ มันวนค่าไปจาก 1, i, ลบ 1, ลบ i, แล้วก็กลับ

ไปยัง 1, i, ลบ 1 และ ลบ i อีก ผมอยากดูว่าเราจะสามารถหา -- ผมว่าคุณจะเรียกมันว่า

โจทย์ที่มีกลเม็ดกว่าได้ไหม -- และคุณเห็นมันเผินๆ มันก็ดูน่าสนุกดี

แล้วคุณก็ใช้ความจริงนี้ที่ว่า i ยกกำลังมีวัฏจักรเป็นค่าพวกนี้ คุณสามารถ

ใช้มันหาค่า i ยกกำลังมากเท่าไหร่ก็ได้ออกมาเลย ลองทำกันดู, เพื่อความสนุก,

ลองดูว่า i ยกกำลัง 100 เป็นเท่าไหร่ และสิ่งที่สังเกตได้คือว่า 100 เป็นจำนวนเท่าของ 4, คุณก็บอกได้

ว่านี่เท่ากับ i ยกกำลัง, i ยกกำลัง 4 คูณ 25 และนี่ก็เหมือนกับ,

จากสมบัติกการยกกำลัง, i ยกกำลัง 4 ยกกำลัง 25, ใช่แล้ว, ถ้าคุณมี

อะไรสักอย่างยกกำลังค่าหนึ่ง แล้วยกกำลังอีก มันก็เหมือนกับ

การคูณเลขชี้กำลัง 2 ตัวเข้าด้วยกัน, และเรารู้ว่า i ยกกำลัง 4 คืออะไร,

มันตรงไปตรงมาแล้ว, i ยกกำลัง 4 เท่ากับ 1, i ยกกำลัง 4 ได้ 1, ดังนั้นนี่คือ 1 แล้วนี่เท่ากับ

1 ยกกำลัง 25 ซึ่งเท่ากับ, มันเท่ากับ 1 เหมือนเดิมเราใช้

การมีค่ากลับมาของ i นี้ได้ เวลาเวลาค่า i ยกกำลังสูง

มากๆ. ทีนี้สมมุติว่าเราอยากหาค่าอะไรแปลกๆ, สมมุติว่า i ยกกำลัง

สมมุติว่ามันเป็น i ยกกำลัง 501. ทีนี้ ในกรณีนี้ 501 ไม่ได้

หารด้วย 4 ลงตัว คุณเลยไม่สามารถหาได้ง่ายๆ แต่สิ่งที่คุณทำได้คือคุณเขียน

มันเป็นผลคูณของจำนวน 2 ค่า, ค่าหนึ่งเป็นจำนวนเท่า, อันนึงเป็น i ยกกำลัง

จำนวนเท่าของ 4 แล้วอีกตัวไม่ใช่จำนวนเท่า, แล้วคุณก็เขียนนี่ใหม่เป็น: 500, เป็นจำนวน

เท่าของ 4, เราเลยเขียนนี่เป็น i ยกกำลัง 500, i ยกกำลัง 500

คูณ i ยกกำลัง 1, จริงไหม? คุณมีฐานเหมือนกัน, แล้วคุณคูณ

มัน คุณบวกเลขชี้กำลัง, นี่จึงเป็น i ยกกำลัง 501. และเรา

รู้ว่านี่ก็เหมือนกับ i ยกกำลัง... i ยกกำลัง 500 เท่ากับ i ยกกำลัง

4 คูณอะไร? 4 คูณ 125 ได้ 500, นั่นก็

คือส่วนนี่ตรงนี้: i ยกกำลัง 500 ก็เหมือนกัน i ยกกำลัง 4

ยกกำลัง 125 แล้วก็คูณ I ยกกำลัง 1. แล้ว i ยกกำลัง

4 เท่ากับ 1, 1 ยกกำลัง 125 จะเท่ากับ 1, เจ้านี่ทั้งหมดนี้คือ 1 แล้วเรา

จะเหลือแค่, เราจะเหลือแค่ i ยกกำลัง 1, แล้วนี่จะเท่ากับ i

นี่ดูเหมือนปัญหาที่ยากมาก, บางครั้งคุณต้องนั่งทำมันทั้งวัน

แต่คุณใช้ผลวัฏจักรนี้ได้, i ยกกำลัง 500 จะเป็น 1 แล้ว i ยกกำลัง

501 จะเท่ากับ i คูณเจ้านั่น แล้ว i ยกกำลังจำนวนเท่าของ 4 ใดๆ -- ขอผมเขียน

นี่โดยทั่วไปนะ -- ถ้าคุณมี i ยกกำลังจำนวนเท่าของ 4, เจ้านี่ตรงนี้คือ, เรา

จะจำกัด k ให้เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบก่อนตรงนี้, k มากกว่าเท่ากับ 0

แล้วถ้าเรามี i ยกกำลังจำนวนเท่าของ 4 ตรงนี้ เราจะได้, เราจะได้

1 เพราะนี่ก็เหมือนกับ i ยกกำลัง k ยกกำลัง k แล้ว

นี่ก็เหมือนกับ i ยกกำลัง k ซึ่งเท่ากับ 1 แน่นอน และถ้าเรา

มีอย่างอื่น, ถ้าเรามี i ยกกำลัง 4k บวก 1 หรือ บวก 2 เราก็

สามารถใช้เทคนิคนี่ตรงนี้ได้ ลองทำโจทย์อื่นอีก, เพื่อให้

ชัดเจนว่าเราหาอะไรเพื้ยนๆ ได้หมด งั้นลองหา i ยกกำลัง

7321 กัน ทีนี้ เราต้องหาว่า

-- นี่จะเป็นจำนวนเท่าของ 4 บวกอะไรสักอย่าง, ลองทำดูล ทีนี้

เราดูด้วยตาก็ได้ว่า 7320 หารด้วย 4 ลงตัว, คุณทดสอบหารดูก็ได้ แล้วคุณจะเหลือ 1 ตรงนี้

นี่จึงเท่ากับ i ยกกำลัง 7320 คูณ i ยกกำลัง 1, นี่คือจำนวน

เท่าของ 4 นี่ตรงนี้ ก็คือจำนวนเท่าของ 4, ผมรู้เช่นนั้นเพราะจำนวนเท่าของ 100 หารด้วย 4 ลงตัว

จำนวนเท่าของ 1000 หารด้วย 4 ลงตัว และจำนวนเท่าของ 100 หารด้วย 4 ลงตัว, และ 20 หารด้วย 4 ลงตัว

แล้วนี่ตรงนี้ ก็กลายเป็น 1... ขอโทษที, ไม่ใช่เหรอ? ยกกำลัง i, ยกกำลัง 1, 7321 คือ 7320 บวก 1

และส่วนนี่ตรงนี้มันจะลดรูปเป็น 1 แล้วมันจะเหลือ

i ยกกำลัง 1 หรือแค่ i เฉยๆ ลองทำอีกอันดู, i ยกกำลัง, i ยกกำลัง 90, 90,

90, ขอผมเลือกที่มันน่าสนใจหน่อย, i ยกกำลัง 99, i ยกกำลัง 99

เหมือนเดิม, จำนวนเท่าของ 4 ที่มากที่สุดที่ยังน้อยกว่า 99 คืออะไร? มันคือ 96, มันคือ 96,

นี่ก็เหมือนกับ i ยกกำลัง 96 คูณ i ยกกำลัง 3, จริงไหม? ถ้าคุณ

คูณเลขฐานเดียวกันนี้, บวกเลขชี้กำลัง, คุณจะได้ยกกำลัง 99, i

ยกกำลัง 96, นี่ก็คือจำนวนเท่าของ 4, นี่คือ i ยกกำลัง 4 และนั่นยกกำลัง 16

แล้วมันก็คือ 1 ใน 16, นี่ก็คือ 1 แล้วคุณก็จะเหลือ i

ยกกำลัง 3 แล้วคุณก็จำได้ว่า i ยกกำลัง 3 เท่ากับ... คุณ

คงจำได้ว่ามันเท่ากับ ลบ i หรือถ้าคุณลืม คุณก็แค่ดูว่า

นี่ก็เหมือนกับ i กำลังสอง คูณ i, นี่เท่ากับ i กำลังสอง คูณ i,

i กำลังสองโดยนิยามแล้วเท่ากับลบ 1 คุณจึงได้ลบ 1 คูณ i, เท่ากับ

i, เท่ากับลบ i ขอผมทำอีกอันหนึ่งนะ, เพื่อความสนุก. ลองหา i

ยกกำลัง 38 กัน. ทีนี้เหมือนเดิม นี่เท่ากับ i ยกกำลัง 36 คูณ i กำลังสอง. ผม

จะหา i ยกกำลัง 36 เป็นจำนวนเท่าของ 4 ที่มากที่สุดที่ยังน้อยกว่า 38 แล้วสิ่งที่เหลือคือ 2

นี่ลดรูปเหลือ 1 แล้วผมจะเหลือ i กำลังสอง ซึ่งเท่ากับลบ 1 นั่นเอง