Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

Calculating i raised to arbitrarily high exponents

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now:
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/e/imaginary_unit_powers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/imaginary-roots-of-negative-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Precalculus on Khan Academy: You may think that precalculus is simply the course you take before calculus. You would be right, of course, but that definition doesn't mean anything unless you have some knowledge of what calculus is. Let's keep it simple, shall we? Calculus is a conceptual framework which provides systematic techniques for solving problems. These problems are appropriately applicable to analytic geometry and algebra. Therefore....precalculus gives you the background for the mathematical concepts, problems, issues and techniques that appear in calculus, including trigonometry, functions, complex numbers, vectors, matrices, and others. There you have it ladies and gentlemen....an introduction to precalculus!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Precalculus channel:
https://www.youtube.com/channel/UCBeHztHRWuVvnlwm20u2hNA?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

i'nin kuvvetlerini aldığımızda, 1, i, eksi 1 ve eksi i arasında bir döngü oluştuğunu görmüştük.

Şimdi daha zor soruları çözmek istiyorum. Bu döngüyü kullanarak i'nin çok büyük kuvvetlerini de bulabilirim.

-

-

Şimdi i üzeri 100'ü bulalım. Burada farkına varmamız gereken, 100'ün 4'ün katı olduğudur. Yani bu, eşittir i üzeri 4 çarpı 25 diyebiliriz.

-

-

Üslü sayıların özelliklerinden bunu i üzeri 4 üzeri 25 olarak da yazabiliriz. Kuvvetin kuvveti kuvvetlerin çarpımına eşittir.

-

-

i üzeri 4'ün 1 olduğunu biliyoruz. i üzeri 4 eşittir 1. Yani 1'in yirmibeşinci kuvvetini alacağız. Bu da eşittir 1.

-

i'nin yüksek kuvvetlerini alırken döngüsel özelliğini kullanıyoruz.

Şimdi daha garip bir örnek yapalım. i üzeri 501.

501 4'ün katı değil, onun için bu soru bir önceki kadar basit değil.

Bunu iki sayının çarpımı olarak yazabiliriz. Birincisi i'nin dördün katı olan bir kuvveti olacak. Diğeri de öyle olmayacak.

-

500 4'ün katıdır. Yani bu sayıyı i üzeri 500 çarpı i üzeri 1 olarak yazabiliriz, öyle değil mi? Taban aynı ve çarptığınızda üsleri topluyorsunuz. Yani bu, i üzeri 501'e eşit.

-

-

-

i üzeri 500 eşittir i üzeri 4 çarpı kaçtır?

4 çarpı 125 eşittir 500. Yani i üzeri 500 eşittir i üzeri 4 üzeri 125.

-

Çarpı i üzeri 1. i üzeri 4 eşittir 1, 1 üzeri 125 eşittir 1, bunun tamamı 1.

-

Yani sadece i üzeri 1 kalır, o da i'ye eşit.

Bu biraz ürkütücü bir soruya benzese de, döngüsel özelliği kullandığımızda, i üzeri 500'ün 1 ve i üzeri 501'in i olduğunu kolayca görüyoruz.

-

i'yi dördü katı olan bir kuvvete aldığımızda -bunu genel olarak yazayım, şimdilik k'yi 0'dan büyük veya 0'a eşit alalım- sonuç 1 olacak.

-

-

-

Çünkü bu, i üzeri 4 üzeri k ile aynı ifadedir. Bu da 1 üzeri k'ye, yani 1'e eşittir.

-

Eğer bir sayı daha varsa, i üzeri 4 k artı 1 veya 2, buradaki yöntemi kullanabiliriz.

Bu yöntemi birkaç soruda daha kullanalım, ne kadar çılgın sorular çözebileceğimizi görelim.

i üzeri 7321'i bulalım. Şimdi bunun 4'ün katı artı bir şey olacağını düşünmeliyiz.

-

-

İlk bakışta 7320'nin 4'e bölünebilir olduğunu görüyoruz, bölme işlemini yaparak da kontrol edebilirsiniz. Kalan da 1 olur.

Yani bu sayıyı i üzeri 7320 çarpı i üzeri 1 diye yazabiliriz.

Bu, 4'ün katıdır. Bunu biliyoruz, çünkü 100 4'ün katıdır, 1000 de 4'ün katıdır ve 20 de 4'ün katıdır.

-

-

Yani burası 1 olarak sadeleşir ve i üzeri 1 veya i kalır.

Bir soru daha yapalım.

i üzeri 99.

99'dan küçük en büyük 4'ün katı nedir? 96'dır.

Yani bu i üzeri 96 çarpı i küple aynı şeydir, öyle değil mi?

Tabanları aynı olduğu için, çarptığımızda üsleri topluyoruz ve i üzeri 99 elde ediyoruz.

i üzeri 96, bu dördün katı, yani i üzeri 4 üzeri 24. Yani 1 üzeri 24, burası 1 olur.

i küp kalır, i küpün eksi i'ye eşit olduğunu hatırlayabilirsiniz veya i kare çarpı i diyebilirsiniz.

-

-

-

Tanımsal olarak i kare eksi 1'e eşit olduğu için, eksi 1 çarpı i eşittir eksi i.

Eğlencesine bir soru daha yapalım. i üzeri 38. Bu i üzeri 36 çarpı i kareye eşit.

-

i üzeri 36 almamın nedeni, 36'nın 38'den küçük en büyük dördün katı olması. Kalan da 2.

Bu, 1 olarak sadeleşir ve i kare kalır, bu da eksi1'e eşittir.