-
...
-
Ek gaan nou begin faktor integrasie probleme doen.
-
Ek dink dis n lekker probleem om te sien, want een, dis die
-
voorbeeld wat baie mense gebruik, soms selfs 'n strikvraag,
-
wat gegee word op 'n rerige moeilike wiskunde eksamen, of as jy
-
calculus kompetisies to gaan soos wat ek op hoerskool het.
-
Nie om myself te-- ek was eintlik nie so bleeksiel-erig as
-
hoerskool student, maar ek moet erken, was deel van die wiskunde span.
-
Maar in elk geval, hierdie is net 'n lekker faktor integrasie probleem
-
omdat jy nooit rerig die finale integraal hoef te evalueer nie.
-
So kom ons se ons wou die integraal neem-- dis
-
nogals 'n klassieke een.
-
Ek sou nie verbaas wees as jou wiskunde onderwyser dieselfde
-
probleem vir jou doen nie, net om faktor integrasie te wys nie.
-
Kom ons neem die integraal van e tot die x-- jy sal waarskynlik nooit
-
hoor dat iemand 'n wiskunde probleem klassiek noem nie maar
-
hopelik sal ek in jy 'n voorliefde vir wiskunde plant en
-
sal jy dit ook 'n klassieke probleem noem.
-
e tot die x maal cos x.
-
...
-
Ek dink jy sien dalk reeds waarheen ek hiermee gaan,
-
want albei hierdie is lekker funksies, want e tot die x
-
se afgeleide kan jy neem, jy kon die
-
anti-afgeleide neem en dit bly steeds e tot die x.
-
Cos van x neem jy die afgeleide, en dit word minus
-
sin van x, jy neem die afgeleide dan weer en kry dan
-
minus cos van x, dan neem jy weer die afgeleide,
-
dan kry jy 'n plus sin van x.
-
Dis soos 'n siklus.
-
Dieselfde ding gebeur wanneer jy die anti afgeleide neem.
-
Dis nou nie so interessant soos e tot die x nie, dit bly nie
-
presies dieselfde nie, dit werk in siklusse.
-
As jy twee anti-afgeleides neem kom jy terug
-
tot die negatief van dit self.
-
En as jy twee anti-afgeleides neem, kom jy terug na
-
die negatief van dit self.
-
Dis ook 'n besondere funksie en ek dink jy kan
-
hier begin sien hoe faktor integrasie hier nogal interessant kan wees.
-
Wanneer ookal ek faktor integrasie doen, hou ek altyd daarvan om aan te neem
-
dat hierdie g aksent van x is.
-
Dat e tot die x g aksent van x is, omdat e tot die x
-
letterlik nie verander nie.
-
Hoewel, ons sou hierdie probleem anders om kon doen.
-
Dalk sal ek eksperimenteer om dit anders om te doen,
-
maar kom ons neem aan hierdie is g aksent van x, en kom ons
-
neem aan hierdie is f van x.
-
So hierdie is 'n afgeleide.
-
So faktor integrasie, neem ons die oorspronklike funksies,
-
g van x en f van x.
-
As hierdie g aksent van x is, wat is g van x.
-
Wat is die anti-afgeleide van e tot die x?
-
Dis net e tot die x.
-
Ek gaan kleure ruil, ek hou nie van hierdie blou nie.
-
So hierdie is g van x.
-
Ek het eintlik net die anti-afgeleide hiervan geneem, maar
-
dis dieselfde ding.
-
En dan maal f van x.
-
Dan wil ek die onbepaalde integraal van
-
f aksent van x aftrek.
-
Een, g van x.
-
...
-
Hierdie is dieselfde ding as hierdie, waarvan albei die anti-afgeleide is
-
hiervan, alhoewel hulle dieselfde is.
-
So hierdie is g van x, en dan sou ek die afgeleide
-
wou neem van f van x, f aksent van x.
-
Wat is die afgeleide van cos van x?
-
Dis minus sin van x.
-
So sin van x dx, dis minus sin van x.
-
Ek kon die minus hier sit, dit sal dit laat morsig lyk, ek
-
kan die minus hier sit, wat dit morsig maak, of ek
-
kan net die minus hier sit en hierdie minusse laat uit
-
kanselleer en dan kry ek hier 'n plus.
-
So ek kry die integraal van e tot die x cos van x dx is gelyk
-
aan e tot die x cos van x plus die integraal van e tot
-
die x sin van x dx.
-
Hopelik het ek jou nie te deurmekaar gemaak nie.
-
Ek moet eintlik 'n paar faktor integrasie probleme
-
doen sonder e tot die x.
-
Dis baie moeilik om tred te hou van wat ek hier gedoen het.
-
Hierdie is die anti-afgeleide.
-
...
-
Hierdie is die anti-afgeleide, en hierdie is ook die
-
anti-afgeleide.
-
Hierdie is g aksent van x, hierdie is g van x.
-
...
-
So weereens is dit nie vir ons duidelik of ons
-
enige vordering gemaak het nie.
-
Ons het
-
gegaan van e tot die x cos van x tot e tot die x sin van x.
-
Kom ons neem weer faktor integrasie, en kyk wat gebeur.
-
Ek gaan net skryf op die regter kant van die isgelykaan teken
-
omdat hierdie dalk 'n bietjie lank kan raak.
-
Ek gaan net hierdie eerste deel x tot die x cos
-
van x plus-- en nou doen ons weer faktor integrasie doen.
-
...
-
Vir hierdie rondte faktor integrasie was hierdie g van x, maar
-
nou, vir hierdie rondte, gaan ek aanneem dis g aksent van x.
-
Wat nie rerig 'n verskil maak nie want wanneer ookal ek
-
die anit-afgeleide neem van g van x, dan bly dit dieselfde.
-
En dan gaan ek aanneem dat hierdie is vir f van x.
-
...
-
So faktor integrasie vertel ons dat ons f van x maal g van x neem,
-
so ek neem hierdie funksie en die anti-afgeleide van
-
hierdie funksie.
-
Die anti-afgeleide van hierdie funksie is weereens net e
-
tot die x en dan f maal daardie onveranderde funksie
-
maal sin van x.
-
Van dit trek ek die integraal van die anti-afgeleide
-
hiervan, of ek vat g van x wat e tot die x is, en dan
-
die afgeleide van f van x, f aksent van x.
-
Wat is die afgeleide van sin van x?
-
Dis cos van x.
-
Cos van x d van x.
-
Kom ons kyk of kom ons erens.
-
Dit lyk asof ek net terme bysit, en dit
-
al meer en meer ingewikkeld maak.
-
Om te sien of ons iewers uitkom, laat ek net
-
hierdie hele ding herskryf en ontslae raak van hierdie
-
hakies, want dis net a plus, so ons kan
-
ontslae raak van die hakies.
-
...
-
Kom ons gebruik 'n nuwe kleur.
-
Ok.
-
So hierdie is die oorspronklike probleem, e tot die x cos van x
-
dx gelyk, en nou kan ek terug ruil na die kleur toe, dis
-
gelyk aan e tot die x cos van x, en dan kan ek net-- hierdie
-
hakies maak nie saak nie want ek tel net alles in die
-
hakies op-- e tot die x cos van x plus e tot
-
die x sin van x minus e tot die x cos x dx.
-
Nou dink jy dalk dat ek hierso willekeurig kleure verander het
-
toe ek hierdie herskryf het, maar as jy kyk kan jy dalk
-
sien hoekom ek hier kleure verander het.
-
Sien jy enigeiets interessant?
-
Presies.
-
Hierdie is dieselfde as hierdie, dis net 'n minus, ne?
-
So nou gaan ons iets doen wat ek dink nogal interessant is.
-
Kom ons tel hierdie term by albei kante van die vergelyking.
-
Dan vat ons hierdie en sit dit aan hierdie
-
kant van die vergelyking.
-
As ek hierdie neem en dit aan hierdie kant van die
-
vergelyking sit, wat gebeur?
-
Ek het dan twee van hierdie aan die kant van die vergelyking, sodat
-
hierdie word-- ek bedoel ek kon dit uitskryf dat dit e tot die x cos x
-
van x dx plus, ne?
-
Omdat ek hierdie neem, en dit aan daardie kant van die
-
vergelyking sit, e tot die x cos van x dx.
-
Dis net dieselfde ding as 2 maal die integraal van e
-
tot die x cos van x dx.
-
En dan gelyk aan hierdie term.
-
Wat gelyk is aan e tot die x cos van x plus e tot die x sin van x.
-
Ek weet dis rerig morsig.
-
Al wat ek nou hoef te doen om die integraal op te los
-
is om beide kante te deel deur twee.
-
So laat ek dit uitskryf, hierdie is rerig opwindend, dis
-
die laaste entjie.
-
As ek albei kante deel deur 2, kry ek-- en ek gaan probeer om
-
dit te skryf sodat jy alles kan sien-- e tot die x cos
-
van x dx is gelyk en aan daardie kant het ek e tot die x cos
-
van x plus e tot die x sin van x oor 2.
-
Ek dink dis nogal oulik.
-
Dis oulik hoe faktor integrasie ons toegelaat het om hierdie te neem.
-
Ons het nooit eers nodig gehad om hierdie integraal te evalueer nie.
-
Ons het gese hierdie integraal is net weer die oorspronklike probleem.
-
En jy kan dink oor hoekom dit gebeur het, ne?
-
Om hierdie truuk funksies in 'n siklus werk.
-
So ons moes faktor integrasie twee maal doen om terug te kom
-
tot waar ons begin het.
-
En toe moes ons dit gebruik om dit op te los sonder om die
-
integraal te hoef te evalueer.
-
En wat ek ook dink interessant is is dat al kyk jy net
-
na hierdie oplossing, dis nogal oulik, ne?
-
Die anti-afgeleide van e tot die x en-- eintlik, moet nooit
-
die plus C vergeet nie, dit sou vir my minus 1 punt gegee het in 'n eksamen.
-
Wat nogal oulik is, die integraal van e tot die x cos
-
van x is hierdie uitdrukking wat e tot die x cos van x plus e
-
tot die x sin van x gedeel deur 2 is.
-
Dis die gemiddeld van e tot die x cos van x en
-
e tot die x sin van x.
-
Ek dink dis nogal 'n oulike eienskap en jy wil dalk
-
dit skets en daarmee speel, maar dis nogal oulik.
-
Hopelik het ek jou oortuig dat hierdie 'n klassieke probleem is,
-
en dat jy ook dit oulik vind, en dan sien ek jou weer in die
-
volgende voorlegging.
-
...
