Määramata integraalid (osa 7)

Another example using integration by parts.

Ma lahendan nüüd ositi integreerimise ülesandeid.

Ma arvan, et see on huvitav ülesanne, kuna sellist

varianti kasutatakse palju, tihti isegi nipiga ülesannetes,

mis tulevad ette väga raskel matemaatika eksamil või siis, kui sa osaled

matemaatilise analüüsi võistlustel nagu mina keskkoolis.

Et mitte teha end liiga-- ma ei olnud tegelikult keskkooliõpilasena eriti suur nohik,

kuid ma pean tunnistama, et mulle meeldis matemaatika.

Aga ikkagi, see on lihtsalt huvitav ositi integreerimise ülesanne, sest

sa ei pea tegelikult kunagi lõplikku integraali hindama.

Niisiis ütleme, et me tahame võtta integraali-- see on

midagi klassikalist.

Ma ei imestaks, kui sinu matemaatikaõpetaja annaks sulle samasuguse

ülesande, lihtsalt, et näidata sulle ositi integreerimist.

Võtame integraali e astmes x-- sa tõenäoliselt ei ole kunagi

kuulnud, et keegi kutsub matemaatikaprobleemi klassikaliseks, aga

loodetavasti ma sisendan sinusse oma armastuse matemaatika vastu ning

sa arvad samuti, et see on klassikaline ülesanne.

e astmes x korda koosinus x.

Ma arvan, et sa juba näed, kuhu ma sellega jõuda kavatsen,

sest need mõlemad on lahedad funktsioonid, sest e astmes x

võid sa võtta tuletise, sa võid võtta ka

integraali ja see on ikka e astmes x.

Koosinus x sa võid võtta tuletise, sa saad miinus

siinus x, sa võtad tuletise uuesti ja siis sa saad

miinus koosinus x, sis sa võtad tuletise uuesti ja

sa saad siinus x.

See on nagu tsükkel.

Sama juhtub siis, kui sa võtad integraali.

See ei ole sama lahe nagu e astmes x, see ei püsi täpselt

sama, aga see nii öelda käib ringi.

Kui sa võtad kaks integraali, siis sa saad selle funktsiooni tagasi

negatiivsena iseendast.

Ja kui sa võtad kaks tuletist, siis sa saad

selle samuti tagasi negatiivsena.

See on samuti üsna lahe funktsioon ja ma arvan, et sa võid

hakata nägema, miks ositi integreerimine on lahe.

Millal iganes ma teen ositi integreerimist, ma alati eeldan, et

see on g prim kohal x.

Et e astmes x on g tuletis kohal x, sest e astmes x

sisuliselt ei muutu,

Kuigi me võime lahendada seda ülesannet ka teistpidi.

Võib-olla ma proovingi seda teistpidi lahendada.

aga eeldame, et see on g prim kohal x, ja

eeldame, et see on f kohal x.

Nii et see on tuletis.

Niisiis ositi integreerimine, me võtame algsed funktsioonid,

g kohal x ja f kohal x.

Kui see on g tuletis kohal x, mis on g kohal x?

MIs on e astmes x integraal?

See on lihtsalt e astmes x.

Ma vahetan värve, mulle ei meeldi see sinine.

Niisiis see on g kohal x.

Ma tegelikult võtsin sellest integraali, aga

see on täpselt sama asi.

Ja siis korda f kohal x.

Siis ma tahan lahutada määramata integraali

f tuletis kohal x

korda g kohal x

See on sama kui see, mis on mõlemad integraalid

sellest, kuigi nad on täpselt samad.

Nii et see on g kohal x ja siis ma võtan tuletise

f kohal x. f prim kohal x.

Mis on koosinus x tuletis?

See on miinus siinus x.

Nii et siinus x dx, see on miinus koosinus x.

Ma võiksin siia miinuse panna, see teeks asjad segaseks, ma

võiksin siia miinuse panna, see teeks selle segasemaks või ma

võiksin panna miinuse siia ja teha nii, et need miinused tühistavad

üksteist ja ma saan siia plussi.

Nii et ma saan integraali e astmes x koosinus x dx võrdub

e astmes x koosinus x pluss integraal e astmes

s siinus x dx.

Loodetavasti ei ajanud ma teid liiga segadusse.

Ma peaksin tegelikult tegema mõned ositi integreerimise ülesanded

ilma e astmes x.

On väga raske jälgida, mida ma siin olen teinud.

See on integraal.

See on integraal ja see on samuti

integraal.

See on g prim kohal x, see on g kohal x.

Nii et veelkord, ei ole kindel, kas me oleme

midagi üldse saavutanud.

Me oleme

jõudnud avaldisest e astmes x koosinus x avaldiseni x siinus x.

Teeme ositi integreerimise uuesti ja vaatame, mis juhtub.

Ma lihtsalt kirjutan paremale poole võrdusmärki,

sest see võib minna veidi pikaks.

Ma lihtsalt kirjutan selle esimese osa x koosinus x

pluss-- ja nüüd teeme ositi integreerimise uuesti.

Eelmisel korral oli see siin g kohal x, aga

seekord teeme vastupidi, ma eeldan, et see on g tuletis x.

Mis ei muuda tõesti mitte midagi, sest on ükskõik, kas ma

võtan integraali sellest, see jääb samaks.

Ja nüüd ma eeldan, et see on f kohal x.

Niisiis ositi integreerimise reegel ütleb meile, et tuleb võtta f kohal x korda g kohal x,

nii et ma võtan selle funktsiooni ja integraali

sellest funktsioonist.

Integraal sellest funktsioonist on jällegi lihtsalt e

astmes x ja siis f korda see funktsioon muutumatu

kord siinus x.

Millest ma lahutan integraali selle tuletisest

või võtan g kohal x, mis on e astmes x, ja siis

tuletise f kohal x, f prim kohal x.

Mis on siinus x tuletis?

See on koosinus x.

Koosinus x dx.

Vaatame, kas see viib meid kuhugi.

Näib nagu ma lihtsalt jätkaksin osade lisamist, muutes selle

keerukamaks ja keerukamaks.

Selleks, et näha, kas me jõuame kuhugi, las ma lihtsalt

kirjutan kogu selle asja ümber ja võib-olla saan ma neist

sulgudest lahti, sest see on lihtsalt pluss, nii et me võime

neist sulgudest lahti saada.

Las ma kasutan uut värvi.

OK.

Nii et see on algne ülesanne, e astmes x koosinus x

dx võrdub, ja nüüd las ma vahetan värvi tagasi, see

võrdub e astmes x koosinus x, ja siis ma saan lihtsalt-- need

sulud ei loe, sest ma lihtsalt liidan

kõik sulgudes-- e astmes x koosinus x pluss e

astmes x siinus x miinus e astmes x koosinus x dx.

Nüüd sa võid arvata, et ma vahetasin siin kunstlikult värve

kui ma selle ümber kirjutasin, aga vaatad, siis sa võid

näha, miks ma tegelikult siin värvi vahetasin.

Näed sa midagi huvitavat?

Täpselt.

See on täpselt sama asi kui see, lihtsalt miinus, on mul õigus?

Nii te me teeme midagi, mis ma arvan, et on üsna lahe.

Liidame selle osa mõlemale võrduse poolele.

Võtame selle ja paneme selle siia sellele

võrduse poolele.

Kui ma võtan selle ja panen selle siia poolele võrdusmärki,

mis juhtub?

Mul on siis kaks sellist vasakul pool võrdusmärki, nii et sellest

saab-- ma mõtlen, et ma kirjutada selle välja, see on e astmes x koosinus x

dx, õigus?

Kuna ma võtan selle ja ma panen selle siia poole

võrdusmärki, e astmes x koosinus x dx.

See on lihtsalt sama asi nagu kaks korda integraal e

astmes x koosinus x dx.

Ja siis see võrdub selle osaga.

Mis võrdub e astmes x koosinus x pluss e astmes x siinus x.

Ma tean, et see on tõeliselt segane.

Kõik, mis ma nüüd selle integraali lahendamiseks pean tegema, on mõlema

poole jagamine 2 ning ma olen valmis.

Niisiis las ma kirjutan selle välja, see on väga põnev, see on

lõpusirge.

Kui ma jagan mõlemat poolt kahega-- ja ma üritan selle

välja kirjutada nii et sa kõike näeksid-- e astmes x koosinus x

dx võrdub, ja sellel poolel on mul e astmes x koosinus x

pluss e astmes x siinus x jagatud 2.

Ma arvan, et see oli üsnagi kena.

See on kena kuidas ositi integreerimine lubas meil seda teha.

Me ei pidanud tegelikult kordagi integraali hindama.

Me ütlesime, et see integraal on jälle lihtsalt varasem ülesanne.

Ja sa saad aru, miks nii juhtus, õigus?

Sest need funktsioonid on tsüklis.

Nii et me pidime kasutama ositi integreerimist kaks korda, et jõuda tagasi

sinna, kus me olime varem.

Ja siis me kasutame seda lahendamiseks, ilma et me oleksime tegelikult pidanud

integraali arvutama.

Samuti on lahe see, et isegi kui sa lihtsalt vaatad

seda lahendust, see on väga puhas lahendus, kas pole?

Integraal e astmes x ja-- tegelikult ärge kunagi unustage

pluss c, see oleks teile ühe miinus punkti eksamil andnud,

Mis on üsnagi lahe, integraal e astmes x koosinus x

on see avaldis, mis on e astmes x koosinus x pluss e

astmes x siinus x jagatud kahega.

See on keskmine avaldistest e astmes x koosinus x ja

e astmes x siinus x.

Ma arvan, et see on üsnagi kena omadus, ja sa võid tahta

neid graafiliselt kujutada ja nendega mängida, aga see on üsnagi kena.

Loodetavasti olen ma teid veennud, et see on klassikaline ülesanne,

ja te leiate samuti, et see on kena lahendus, ja ma näen teid loodetavasti

järgmisel esitlusel.