Indefinite Integration (part 7)

Another example using integration by parts.

Je vais maintenant faire un problème d'intégration par parties.

Je pense qu'il s'agit d'un problème amusant parce que premièrement, c'est

l'exemple que beaucoup utilisent, parfois comme une question piège

lors d'un examen de mathématiques très difficile, ou si vous participez à

des compétitions en analyse comme j'ai fait à l'école.

Je ne voudrais pas... Je n'étais pas vraiment aussi geek comme

étudiant au secondaire, mais je dois avouer, j'étais un "mathlète".

Enfin peu importe, il s'agit juste un problème d'intégration par parties amusant

parce que vous n'avez pas besoin d'évaluer l'intégrale finale.

Donc disons que nous voulons prendre l'intégrale, il s'agit

un peu d'un classique.

Je ne serais pas surpris si votre professeur de mathématiques fasse le même

problème pour vous, juste pour vous montrer l'intégration par parties.

Prenons l'intégrale de e à la x-- vous n'avez probablement jamais

entendu quelqu'un appeler un problème mathématique un classique, mais

j'espère que j'incite en vous cet amour pour les mathématiques et que

vous aussi considérerez ce problème comme étant un classique.

e à la x fois cosinus de x.

Je pense que vous savez déjà où je veux en venir,

parce qu'ils s'agissent de deux fonctions amusantes, puisque e à la x

vous pouvez prendre la dérivée, vous pouvez prendre

l'intégrale et ça reste e à la x.

Cosinus de x vous prenez la dérivée, vous obtenez moins

sinus de x, vous prenez la dérivée encore puis vous obtenez

moins cosinus de x, puis vous prenez la dérivée encore puis

vous obtenez plus sinus de x.

J'adore ce cycle.

La même chose se produit en prenant l'intégrale.

Ce n'est pas aussi cool que e à la x, ça ne reste pas exactement la

même chose, mais ça cycle à peu près.

Si vous prenez l'intégrale deux fois vous retournez

au négatif de l'expression.

Et si vous prenez deux dérivées, vous retournez

au négatif de l'expression.

C'est aussi une fonction plutôt cool et je pense que vous pouvez

commencer à voir comment l'intégration par parties peut être cool ici.

Lorsque je fais une intégration par partie j'aime toujours assumer

qu'il s'agit de g prime de x.

Ce e à la x est g prime de x, parce que e à la x

ne change pas du tout.

Bien qu'il soit possible de résoudre le problème dans l'autre sens.

Peut-être que j'essaierai de le faire dans l'autre sens.

mais assumons que c'est g prime de x, et

assumons que ceci est f de x.

C'est donc la dérivée.

Donc l'intégration par parties, en prenant les fonctions originales,

g de x et f de x.

Si ceci est g prime de x, qu'est g de x.

Quel est l'intégrale de e à la x.

C'est simplement e à la x.

Je vais changer de couleur, je n'aime pas ce bleu.

Alors nous avons g de x.

J'ai en fait pris son intégrale, mais

c'est exactement la même chose.

Et alors fois f de x.

Puis je veux soustraire l'intégrale indéfinie

de f prime de x.

Un, g de x.

Ceci est la même chose que ceci, qui sont tous les deux des intégrales de

ceci, bien qu'ils soient tous identiques.

Donc c'est g de x et alors je veux prendre la dérivée

de f de x. f prime de x.

Quel est la dérivée de cosinus de x?

C'est moins sinus de x.

Donc sinus de x d x, c'est moins sinus de x.

Je pourrais mettre le moins ici, ça serait malpropre, je

pourrais mettre le moins ici qui serait malpropre ou je

pourrais simplement mettre le moins ici et faire que les moins s'annulent

et j'obtiens un plus ici.

Donc j'obtiens que l'intégrale de e à la x cosinus de x d x est égal

à e à la x cosinus de x plus l'intégrale de e à

la x sinus de x d x.

J'espère ne pas vous avoir trop mélangé.

Je devrais en fait faire quelques problèmes d'intégration par parties

sans le e à la x.

C'est très difficile de suivre ce que je viens de faire.

C'est l'intégrale.

C'est l'intégrale et c'est aussi

l'intégrale.

C'est g prime de x, c'est g de x.

Donc encore une fois ce n'est pas clair si nous avons

fais du progrès.

Nous sommes

partis de e à la x cosinus de x à e à la x sinus de x.

Faisons une autre intégration par paries, voir ce qui arrive.

Je vais juste écrire à droite du signe d'égalité,

parce que ça risque d'être un peu long.

Je vais juste écrire cette première partie e à la x cosinus

de x plus-- et maintenant faisons l'intégrale par parties encore.

Pour cette manche d'intégration par parties c'était g de x, mais

maintenant, cette fois, je vais assumer qu'il s'agit de g prime de x.

Ce qui ne fais pas vraiment de différence puisque peu importe quand je

prend son intégrale à g de x, ça reste pareil.

Et ensuite je vais assumer que c'est f de x.

Donc l'intégration par parties nous dit de prendre f de x fois g de x,

donc je prends cette fonction et l'intégrale

de cette fonction.

L'intégrale de cet fonction est encore une fois seulement e

à la x et alors f fois cette fonction inchangée

fois sinus de x.

De cela je soustrais l'intégrale de l'intégrale

de cela ou je prends g de x qui est e à la x, et ensuite la

dérivée de f de x. f prime de x.

Quel est la dérivée de sinus de x?

C'est cosinus de x.

Cosinus de x d de x.

Voyons si nous aboutissons quelque part.

Il semble que je fais juste ajouter des termes, rendant le tout

de plus en plus compliquée

Pour voir si nous aboutissons quelque par, laissez-moi juste

réécrire l'expression et peut-être me débarrasser de ces

parenthèses, parce que ce n'est qu'un plus, donc on peut se

débarrasser des parenthèses.

Laissez-moi changer de couleur.

OK.

Donc c'est le problème original, e à la x cosinus de x

d x égale, et maintenant laissez-moi retourner à cette couleur, ça

égale e à la x cosinus de x, et alors je peux juste-- ces

parenthèses n'importe pas car je fais juste additionner

tout ce qui est entre parenthèses-- e à la x cosinus de x plus e à

la x sinus de x moins e à la x cosinus de x d x.

Maintenant vous pensez peut-être que j'ai changé arbitrairement de couleur

ici lorsque j'ai réécrit cela, mais si vous regardez bien vous pourriez

voir pourquoi j'ai vraiment changer de couleur ici.

Voyez-vous quelque chose d'intéressant?

Exact.

C'est la même chose que ceci, juste négatif n'est-ce pas?

Nous allons donc faire quelque chose que je trouve plutôt cool.

Ajoutons ce terme des deux côtés de l'équation.

Prenons ceci et plaçons-le de ce

côté de l'équation.

Et si je prends cela et que je le place de ce côté de

l'équation, qu'arrive t-il?

J'ai alors deux de ces termes du côté gauche de l'équation, donc ça

devient-- en fait je pourrais écrire que c'est e à la x cosinus

de x d x plus, n'est-ce pas?

Parce que je prends ceci et je le place de ce côté de

l'équation, e à la x cosinus de x d x.

C'est juste la même chose que 2 fois l'intégrale de e

à la x cosinus de x d x.

Et ça égale ce terme.

Qui égale e à la x cosinus de x plus e à la x sinus de x.

Je sais que c'est très malpropre.

Tout ce qui me reste à faire maintenant pour résoudre cette intégrale est de diviser les deux

côtés par 2 et j'ai terminé.

Donc laissez-moi l'écrire, c'est très excitant, c'est

le sprint final.

Si je divise les deux côtés par 2, j'obtiens-- et je vais essayer

d'écrire pour que vois puissiez tout voir-- e à la x cosinus

de x d x égale et de ce côté j'ai e à la x cosinus

de x plus e à la x sinus de x sur 2.

Je pense que c'est plutôt sympa.

C'est sympa de vois l'intégration par parties nous permet de faire cela.

Nous n'avons jamais eu le besoin d'évaluer cette intégrale.

Nous avons dit, cette intégrale est simplement le problème original encore.

Et vous pouvez penser à pourquoi c'est arrivé, n'est-ce pas?

Parce que ces fonctions spéciales cyclent.

Donc nous avions à intégrer par partie deux fois pour retrouver

où nous étions au départ.

Et alors grâce à cela nous l'avons résolu sans avoir besoin

d'évaluer l'intégrale.

Et ce que je pense aussi qui est cool est que même si vous ne regardez

que cette solution, c'est plutôt sympa, non?

L'intégrale de e à la x et-- en fait n'oubliez jamais

le plus c, ça m'aurait donné moins 1 point à un examen.

Ce qui est plutôt cool, c'est que l'intégrale de e à la x cosinus

de x est cette expression qui est e à la x cosinus de x plus e

à la x sinus de x divisé par 2.

C'est la moyenne de e à la x cosinus de x et

e à la x sinus de x.

Je pense que c'est une propriété plutôt sympa. et vous pourriez vouloir

les dessiner et jouer avec, mais c'est plutôt sympa.

J'espère que je vois ai convaincu qu'il s'agit d'un problème classique,

et que vous aussi le trouvez sympa, et je vois retrouve à la

prochaine présentation.