Całka nieoznaczona (część 7)

Kolejny przykład całkowania przez części.

W tej prezentacji pokażę przykłady całkowania przez części.

W tej prezentacji pokażę przykłady całkowania przez części.

Myślę, że to ciekawe zagadnienie, bo

to przykład często używany, czasem nawet pojawia się

jako zadanie na naprawdę ciężkim egzaminie z matematyki albo

gdy bierzesz udział w konkursach z analizy tak jak ja w liceum.

Nie chcę powiedzieć, że zawsze byłem taki zakręcony na punkcie matematyki,

ale trzeba przyznać, że byłem matematycznym mózgiem.

Tak czy inaczej, to fajny przykład całkowania przez części, bo

w zasadzie nigdy nie musisz wyznaczać ostatecznej całki.

Powiedzmy, że chcemy wyznaczyć całkę z--

to kawałek klasyki.

Nie zdziwię się, jeśli Twój nauczyciel przerobi ten sam problem,

żeby po prostu pokazać całkowanie przez części.

Weźmy całkę z e do x-- pewnie nigdy

nie słyszałeś, aby ktoś nazywał problem matematyczny klasyką, ale

mam nadzieję, że uda mi się wpoić Tobie tę miłość do matematyki

i Ty także uznasz to za klasykę.

e do x razy cosinus x.

e do x razy cosinus x.

Pewnie już widzisz, do czego zmierzam--

obie te funkcje są sympatyczne, bo jeśli chodzi o e do x--

możesz wziąć pochodną, możesz wyznaczyć

funkcję pierwotną-- to wciąż będzie e do x.

Pochodna cosinus x to minus

sinus x, biorąc ponownie pochodną

mamy minus cosinus x, następnie biorąc pochodną jeszcze raz

otrzymamy plus sinus x.

To taki cykl.

I to samo dzieje się, gdy wyznaczamy całkę.

Nie jest to tak świetne jak e do x, nie pozostaje bez zmian,

ale to rodzaj cyklu.

Wyznaczając dwukrotnie całkę, otrzymamy

wyjściowe wyrażenie z minusem.

A gdy weźmiesz dwie pochodne, powracasz do

wyjściowej funkcji z minusem.

Więc to także całkiem sympatyczna funkcja i pewnie już zaczynasz widzieć,

jak całkowanie przez części może się tu przydać.

Zawsze gdy zajmuję się całkowaniem przez części wygodnie jest mi

przyjąć, że to jest g prim od x.

A więc to e do x to g prim od x, ponieważ funkcja piewotna

się nie zmienia.

Choć moglibyśmy przyjąć odwrotnie.

Może poeksperymentuję kiedyś z tym drugim sposobem,

ale przyjmijmy, że to jest g prim od x, a także

przyjmijmy, że to f od x.

Więc to jest pochodna.

Zatem całkujemy przez części, bierzemy wyjściowe funkcje

g od x i f od x.

Jeśli to jest g prim od x, to jakie jest g od x?

Jaka jest funkcja pierwotna e do x?

To po prostu e do x.

Zmienię kolory, nie lubię tego niebieskiego.

Więc to jest g od x.

W istocie wyznaczyłem funkcję pierwotną tego wyrażenia, ale

to jest przecież dokładnie to samo.

Następnie razy f od x.

Następnie odejmuję całkę nieoznaczoną

z f prim od x

razy g od x.

g od x

To jest to samo co to, a oba te wyrażenia to funkcje pierwotne

e do x, a więc pozostają niezmienione.

To jest g od x, a następnie chcę wziąć pochodną

f od x, czyli f prim od x.

Jaka jest pochhodna cosinus x?

To minus sinus x.

Więc minus sinus x dx.

Mógłbym zostawić ten minus tutaj, co spowoduje lekki bałagan

Mógłbym zostawić ten minus tutaj, co spowoduje lekki bałagan, albo

mógłbym postawić minus w tym miejscu- wówczas te dwa minusy

się skasują i dostaję tutaj plus.

Otrzymaliśmy więc, że całka z e do x cosinus x dx jest równa

e do x razy cosinus x plus całka z e do x razy

sinus x dx.

Mam nadzieję, że nie namieszałem za mocno.

W zasadzie powinienem był zrobić przykłady całkowania przez części

bez e do x.

Trudno jest śledzić to, co właśnie tu zrobiłem.

To jest funkcja pierwotna.

To jest funkcja pierwotna.

To jest funkcja pierwotna i to także jest

funkcja pierwotna.

To jest g prim od x, to jest g od x.

To jest g prim od x, to jest g od x.

Raz jeszcze, nie jesteśmy pewni, czy zrobiliśmy jakiś

krók naprzód.

Przeszliśmy od

e do x cosinus x do e do x sinus x.

Jeszcze raz zastosujmy całkowanie przez części i zobaczmy co otrzymamy.

Będę pisał co otrzymamy po prawej stronie znaku równości,

może to być dość długie.

Napiszę pierwszą część: e do x cosinus x

plus- a teraz zastosujmy całkowanie przez części.

Zastosujmy ponownie całkowanie przez części.

W poprzedniej rundzie całkowania przez części to było g od x,

ale teraz, w kolejnym etapie, założę, że to jest g prim od x.

To w rzeczywistości nic nie zmienia, ponieważ zawsze

funkcja pierwotna g od x pozostaje taka sama

Następnie przyjmuję, że to jest f od x.

Następnie przyjmuję, że to jest f od x.

Zgodnie z zasadą całkowania przez części, mamy f od x razy g od x,

biorę więc tę funkcję i funkcję pierwotną

tej funkcji.

Funkcja pierwotna tej funkcji to ponownie e do x

następnie mnożę to przez f od x niezmienione,

razy sinus x.

Odejmuję od tego całkę

z tego, czyli g od x, a więc e do x, a następnie mnożę to

przez pochodną f od x, czyli f prim od x.

Jaka jest pochodna sinus x?

To cosinus x.

Cosinus x dx.

Sprawdźmy, czy zmierzamy w dobrym kierunku.

Wydaje się, że wciąż dodaję składniki, przez co

robie się to coraz bardziej skomplikowane.

Aby sprawdzić, czy jesteśmy na dobrej drodze,

przepiszę to wszystko i może pozbędę się

nawiasu, ponieważ stoi przed nim plus,

więc nie ma przeszkód, by się go pozbyć.

więc nie ma przeszkód, by się go pozbyć.

Użyję nowego koloru.

OK.

Zatem to jest nasz wyjściowy problem, całka z e do x cosinus x dx

równa się, teraz powrócę do poprzedniego koloru,

równa się e do x cosinus x--

ten nawias nie ma znaczenia, bo po prostu dodaję wszystko

w nawiasie- - e do x cosinus x plus e do x sinus x

minus całka z e do x cosinus x dx.

Teraz pewnie myślisz, że arbitralnie zmieniłem kolory w tym miejscu

gdy to przepisywałem, ale gdy się temu przyjrzysz, możesz zauważyć,

dlaczego właściwie zmieniłem tu kolory.

Widzisz coś ciekawego?

Właśnie.

To jest to samo co to wyrażenie, tylko z minusem, zgadza się?

Zrobimy teraz coś naprawdę fajnego.

Dodajmy to wyrażenie do obu stron równości.

Weźmy to wyrażenie i przenieśmy

na drugą stronę równości.

Biorę więc to i przenoszę na drugą stronę równości,

co otrzymamy?

Teraz mam dwa takie wyrażenia po lewej stronie, więc

więc to jest równe

całka z e do x cosinus x dx

plus całka z e do x cosinus x dx, ponieważ

przenoszę to na drugą stronę równości.

To jest to samo co 2 razy całka z e do x

cosinus x dx.

A teraz jest to równe temu wyrażeniu.

To zaś jest równe e do x cosinus x plus e do x sinus x.

Wiem, że to trochę poplątane.

Aby znaleźć naszą wyjściową całkę, muszę teraz tylko

podzielić obie strony równości przez 2.

Zapiszę to, to bardzo ekscytujące,

to już ostatnia prosta.

Gdy podzielę obie strony przez 2, dostanę-- spróbuję

zapisać to tak, abyś widział co się dzieje-- całka z e do x cosinus x dx

jest równa -- i po tej stronie mamy e do x cosinus x

plus e do x sinus x przez 2.

Myślę, że to całkiem zgrabne.

Widać teraz, że całkowanie przez części pozwoliło nam to rozwiązać w elegancki sposób.

W istocie nie musimy nigdy nawet szacować tej całki.

Stwierdziliśmy, że ta całka to ponownie nasz wyjściowy problem.

Pewnie się zastanawiasz, dlaczego tak się stało, prawda?

To z powodu tych trikowych funkcji cyklicznych.

Musieliśmy więc dwukrotnie wykonać całkowanie przez części aby powrócić

do wyjściowego problemu.

Następnie wykorzystaliśmy to do rozwiązania bez potrzeby

szacowania tej całki.

Moim zdaniem super jest to, że gdy

spojrzysz na to rozwiązanie, jest ono takie zgrabne, prawda?

Funkcja pierwotna e do x-- i nigdy nie zapominaj dodać stałej,

straciłbym przez to punkt na egzaminie.

To naprawdę ciekawe, że całka z e do x cosinus x to

to wyrażenie, e do x cosinus x plus

e do x sinus x przez 2.

To średnia z e do x cosinus x oraz

e do x sinus x.

Myślę, że to całkiem ładna własność, być może zechcesz

przedstawić to na wykresie, w każdym razie to bardzo ładne.

Mam nadzieję, że przekonałem Cię, że to klasyczny problem,

i że tak jak ja uważasz, że to piękne.

Do zobaczenia w następnej prezentacji.

Do zobaczenia w następnej prezentacji.