Obestämd Integration (del 7)

Ett annat exempel använder partiell integration.

Jag kommer nu att göra integrationen av delar problem.

Jag kommer nu att göra integrationen av delar problem.

Jag tror det är bara ett roligt problem att se eftersom en, det är den

exempel många människor använder, ibland även ett trick problem

som ges på en riktigt hård math examen, eller om du går till

Calculus tävlingar som jag brukade i high school.

Inte för att göra själv också--jag var faktiskt inte det strävsamma som en

high school student, men jag måste erkänna, jag var en mathlete.

Men hur som helst, detta är bara en rolig integration av delar problem

eftersom du har faktiskt aldrig att utvärdera sista integralen.

Så låt oss säga vi vill ta integrerad--är det

lite av en klassiker.

Jag skulle inte bli förvånad om din matematik lärare gör samma

problemet för dig, bara för att visa dig integration av delar.

Låt oss ta integral e x--du förmodligen aldrig

hört talas om någon kallar math problem ett klassiskt, men

förhoppningsvis I kommer att ingjuta i du denna kärlek för matematik och

Du kommer också att detta är ett klassiskt problem.

e x gånger cosinus för x.

e x gånger cosinus för x.

Jag tror du kanske redan finns där kommer jag med detta,

eftersom dessa är båda roliga funktioner, eftersom e x

Du kan ta derivatet, du kan ta den

Anti-derivative och det förblir fortfarande e x.

Cosinus för x du ta derivatet, du går till minus

tecken x, ta du derivatan igen då du

minus cosinus av x, sedan ta du derivatan igen sedan

Du får ett plustecken i x.

Det är precis denna cykel.

Samma sak händer när du tar anti-derivative.

Det är inte så cool som e x, det inte stanna exakt den

samma, men det slag av cykler.

Om du tar två anti-derivatives få du tillbaka

till negativt av sig själv.

Och om du tar två derivat, får du tillbaka

till negativt av sig själv.

Det är också en ganska cool funktion och jag tror du kan

börja se hur integrationen av delar kan vara kallt här.

När jag gör integration av delar vilja jag alltid anta

att det är g prime i x.

Den e till x är g prime x, eftersom e x

bokstavligen ändras inte.

Även om vi kunde göra detta problem på andra sätt.

Kanske ska jag experimentera gör det på andra sätt.

men låt oss anta detta är g prime i x, och låt oss

anta detta f x.

Det är alltså derivatan.

Så integrering av delar, som vi tar de ursprungliga funktionerna,

g x och f x.

Om det är g prime x, vad är gå av x.

Vad är anti-derivative e x.

Det är bara Använd e x.

Jag kommer att byta färger, jag gillar inte denna blå.

Det är alltså g x.

Jag tog faktiskt anti-derivative, men

Det är exakt detsamma.

Och sedan gånger f x.

Sedan vill jag subtrahera generaliserad integral

av f prime i x.

En, g x.

En, g x.

Detta är samma som detta, som är både anti-derivative av

detta, även om de är alla samma.

Det är alltså g x och sedan vill jag ta derivatan

f av x. f prime i x.

Vad är derivat av cosinus för x?

Det är minus sinus för x.

Så sinus x d x, det är minus sinus för x.

Jag skulle kunna sätta Minuset här det blir det stökigt, I

skulle kunna sätta på minustecknet här som ska göra det rörigt eller I

kunde bara sätta minus här och göra dessa minuses avbryta

ut och få ett plus här.

Så jag får integralen av x cosinus för x d e är x lika

e x cosinus för x plus integralen av e

x sinus för x d x.

Förhoppningsvis ihop jag inte du för mycket.

Jag gör faktiskt vissa integration av delar problem

utan e x.

Det är mycket svårt att hålla reda på vad jag har gjort här.

Detta är anti-derivative.

Detta är anti-derivative.

Detta är anti-derivative och detta är också den

Anti-derivative.

G prime x, detta är g x.

G prime x, detta är g x.

Så än en gång är vi inte klart huruvida vi har

gjort några framsteg.

Vi har

gått från e x cosinus för x till e x sinus för x.

Låt oss ta integration av delar igen, se vad som händer.

Jag kommer bara att skriva till höger om likhetstecknet,

eftersom detta kan få lite lång.

Jag kommer bara att skriva denna första del x till x cosinus

av x plus-- och nu ska vi göra integrationen av delar igen.

av x plus-- och nu ska vi göra integrationen av delar igen.

För denna omgång av integration av delar var detta g x, men

nu, för detta runt, jag kommer att anta det är g prime i x.

Som inte verkligen göra en skillnad eftersom när jag

ta anti-derivative det g x, det förblir densamma.

Och sedan kommer jag att tro att detta är f x.

Och sedan kommer jag att tro att detta är f x.

Så integrering av delar berättar vi ta f x gånger g x,

så jag tar den här funktionen och anti-derivative av

den här funktionen.

Anti-derivative av denna funktion är återigen bara e

x och sedan f gånger funktionen oförändrade

tid sinus för x.

Från att jag subtrahera integralen av anti-derivative

av detta eller ta g x som är e x, och sedan den

derivatan av f x, f prime i x.

Vad är derivat av sinus för x?

Det är cosinus för x.

Cosinus för x d x.

Låt oss se om vi komma någonstans.

Det verkar som om jag bara fortsätter att lägga till termer, vilket gör det

mer och mer komplicerat.

För att se om vi komma någonstans, låt mig bara

skriva om hela och kanske bli av med dessa

parentes, eftersom det är bara ett plus, så vi kan få

bort parentesen.

bort parentesen.

Låt mig använda en ny färg.

Okej.

Så är detta det ursprungliga problemet, e x cosinus för x

d x är lika med, och nu Låt mig gå tillbaka till denna färg, det

är lika med e till x cosinus för x, och jag kan då bara--detta

parenteser spelar ingen roll eftersom jag bara att lägga till

allt inom parentes--e x cosinus för x plus e till

x sinus för x minus e att x cosinus x tillgång d x.

Nu kanske du tror att jag godtyckligt bytt färger

här när jag skrev detta, kanske men om du ser du

se varför jag egentligen växla färger här.

Se något intressant?

Exakt.

Detta är samma sak som detta, bara en minus rätt?

Så ska vi göra något vad jag anser vara ganska sval.

Lägg denna term till båda sidor av formeln.

Låt oss ta det och låt oss uttrycka det på detta

sida av ekvationen.

Om jag tar detta och sätta upp det på denna sida av den

ekvationen, vad händer?

Jag har sedan två av dessa på vänster sida ekvationen, så att

blir--jag menar jag skulle kunna skriva ut det är e det att x cosinus

x d x plus, rätt?

Eftersom jag tar detta och jag sätter det på den sidan av den

ekvation, e x cosinus för x d x.

Det är precis samma sak som 2 gånger integral av e

att x cosinus för x d x.

Och sedan som är lika med denna term.

Som är lika med e till x cosinus för x plus e x sinus för x.

Jag vet det är riktigt rörigt.

Allt jag behöver göra nu för att lösa denna integral är dela både

sidor av 2 och I 'm done.

Så låt mig skriva det, det är mycket spännande, det har

home stretch.

Om jag delar båda sidorna med 2, får jag-- och jag kommer att försöka

skriva det så att du kan se allt--e x cosinus

x d x är lika med och på den sidan har jag e x cosinus

x plus e x sinus för x över 2.

Jag tror det är ganska snyggt.

Det är snyggt hur integrationen av delar får oss att göra detta.

Vi har faktiskt aldrig ens att utvärdera denna integral.

Vi sade, denna integral är bara det ursprungliga problemet igen.

Och du kan fundera på varför det hände rätt?

Eftersom dessa trick cykel funktioner.

Så vi var tvungna att göra integrationen av delar två gånger för att få tillbaka

till där vi var innan.

Och sedan använder vi som för att lösa det utan

att utvärdera integral.

Och vad jag också tycker är cool är även om du bara ser

på denna lösning, det är typ av snyggt, rätt?

Anti-derivative e x och--faktiskt aldrig glömma

Det plus c, som skulle har gett mig minus 1 poäng på tentamen.

Vad är typ av cool, integral av e x cosinus

x är detta uttryck som är e x cosinus för x plus e

att x sinus för x dividerat med 2.

Det är ett genomsnitt av e x cosinus för x och

e x sinus för x.

Jag tror att det är en ganska snyggt egenskap, och du kan

diagram över dem och spela med dem, men det är typ av snyggt.

Förhoppningsvis har jag övertygat att är ett klassiskt problem,

och du tycker också att det är snyggt, och jag ser du i den

Nästa presentation.

Nästa presentation.