-
-
-
ผมจะทำโจทย์ integration by parts อีก
-
ผมว่ามันเป็นโจทย์ที่สนุกเพราะมัน, มันเป็น
-
ตัวอย่างที่คนส่วนใหญ่เช่น, บางครั้งที่เป็นโจทย์ลวง
-
ที่ให้ในข้อสอบเลขที่ยากจริง ๆ, หรือหากคุณไป
-
แข่งแคลคูลัสอย่างที่ผมเคยสอนเรียนมอปลาย
-
ไม่อยากทำให้ตัวเองดู -- ผมไม่ได้แก่เรียนขนาดนั้น
-
ตอนเป็นเด็กนักเรียนมัธยม, แต่ผมต้องยอมรับว่า ผมเป็นนักแข่งเลขเหมือนกัน
-
แต่ช่างเถอะ, นี่เป็นโจทย์ integration by parts ที่สนุก
-
เพราะคุณไม่ต้องหาอินทิกรัลสุดท้าย
-
งั้นลองดูว่าเราอยากหาอินทิกรัล -- มัน
-
เป็นตัวอย่างคลาสสิค
-
ผมจะไม่ประหลาดใจเลยหากครูสอนเลขคุณทำ
-
โจทย์เดียวกันให้คุณดู เพื่อให้คุณเห็น integration by parts
-
ลองหาอินทิกรัลของ e กำลัง x -- คุณอาจไม่เคย
-
เห็นคนเรียกโจทย์เลขว่าคลาสสิค, แต่
-
หวังว่าผมจะทำให้คุณหลงรักคณิตศาสตร์
-
และทำให้คุณเห็นว่านี่เป็นโจทย์คลาสสิคเหมือนกัน
-
e กำลัง x คูณโคไซน์ของ x
-
-
-
ผมว่าคุณอาจเคยเห็นนี่แล้วว่าผมจะทำยังไงต่อ
-
เพราะพวกนี้เป็นฟังก์ชันที่น่าสนุก เพราะ e กำลัง x
-
คุณหาอนุพันธ์ได้, คุณหาแอนติเดริเวทีฟ
-
ก็ได้ และมันก็ยังเป็น e กำลัง x
-
โคไซน์ของ x คุณหาอนุพันธ์, คุณได้ ลบ
-
ไซน์ของ x, คุณหาอนุพันธ์อีกที คุณจะได้
-
ลบ โคไซน์ของ x, แล้วคุณหาอนุพันธ์อีกที
-
แล้วจะได้ บวก ไซน์ของ x
-
มันเป็นวัฏจักรแบบนี้
-
สิ่งเดียวกันนี่เกิดขึ้นตอนคุณหาแอนติเดริเวทีฟ
-
มันไม่เจ๋งเหมือนกัน e กำลัง x, มันไม่ได้เป็น
-
ตัวเดิมตลอด, แต่มันจะวนกลับมา
-
หากคุณหาแอนติเดริเวทีฟสองครั้ง คุณจะได้
-
ค่าลบของตัวเอง
-
แล้วหากคุณหาอนุพันธ์สองตัว, คุณก็ได้
-
ค่าลบของตัวเองเหมือนกัน
-
พวกนี้เป็นฟังก์ชันเจ๋งทเดียว และผมว่าคุณ
-
คงเริ่มเห็นว่า integration by parts เริ่มเจ๋งแล้วตรงนี้
-
เมื่อไหร่ก็ตามที่ผมทำ integration by parts ผมมักสมมุติ
-
ว่านี่คือ g ไพรม์ของ x เสมอ
-
e กำลัง x คือ g ไพรม์ของ x, เพราะ e กำลัง
-
x ไม่เปลี่ยนไป
-
แม้ว่าผมจะสามารถทำโจทย์นี้อีกทางได้
-
บางทีผมอาจลองทำอีกทางก็ดี
-
แต่สมมุติตอนนี้ก่อน ว่านี่คือ g ไพรม์ของ x, และสมมุติ
-
ว่า f ของ x นี่
-
นี่ก็คืออนุพันธ์
-
งั้น integration by parts, อย่างที่เราหาฟังก์ชันเดิม
-
g ของ x กับ f ของ x
-
หากนี่คือ g ไพรม์ของ x, แล้ว g ของ x คืออะไร
-
แอนติเดริเวทีฟของ e กำลัง x คืออะไร
-
มันก็แค่ e กำลัง x
-
ผมจะเปลี่ยนสีนะ, ผมไม่ชอบสีฟ้าน่ะ
-
นี่ก็คือ g ของ x
-
ผมก็หาแอนติเดริเวทีฟแล้ว, แต่
-
มันก็คืออย่างเดียวกัน
-
แล้วคูณ f ของ x
-
แล้วผมอยากลบด้วยอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
-
ของ f ไพรม์ของ x
-
หนึ่ง, g ของ x
-
-
-
นี่ก็เหมือนกับนี่, ซึ่งทั้งคู่คือ แอนติเดริเวทีฟของ
-
นี่, แม้ว่ามันจะดูเหมือนกัน
-
ดังนั้นนี่คือ g ของ x แล้วผมก็หาอนุพันธ์
-
ของ f ขงอ x. f ไพรม์ของ x
-
แล้วอนุพันธ์ของโคไซน์ของ x คืออะไร?
-
มันคือ ลบไซน์ของ x
-
งั้นไซน์ของ x dx, มันคือลบไซน์ของ x
-
ผมสามารถใส่ลบตรงนี้ได้, มันทำให้เลอะเทอะหน่อย, ผม
-
สามารถใส่ลบตรงนี้ได้ นั่นทำให้มันเลอะ หรือผม
-
อาจใส่ลบตรงนี้ แล้วให้พวกนี้ตัดกัน
-
แล้วผมได้บวกตรงนี้
-
ผมเลยได้อินทิกรัลของ e กำลัง x โคไซน์ของ x dx เท่ากับ
-
e กำลัง x โคไซน์ของ x บวกอินทิกรัลของ e กำลัง
-
x ไซน์ของ x dx
-
หวังว่าผมคงไม่ทำคุณงงเกินไปนะ
-
ผมควรทำโจทย์ integration by parts
-
ที่ไม่มี e กำลัง x
-
มันยากที่จะคอยดูว่าผมทำอะไรไปตรงนี้
-
นี่คือแอนติเดริเวทีฟ
-
-
-
นี่คือแอนติเดริเวทีฟ และนี่ก็คือ
-
แอนติเดริเวทีฟ
-
นี่คือ g ไพรม์ของ x, นี่คือ g ของ x
-
-
-
และอีกครั้ง เราไม่แน่ใจว่าเราได้
-
ทำอะไรให้ดีขึ้นหรือเปล่า
-
เรา
-
ไปจาก e กำลัง x โคไซน์ของ x ยัง e กำลัง x ไซน์ของ x
-
ลองหา integration by parts อีกที, ว่าเกิดอะไรขึ้น
-
ผมจะเขียนด้านขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ
-
เพราะนี่อาจยาวหน่อย
-
ผมจะเขียนส่วนแรกนี้ e กำลัง x โคไซน์ของ
-
x บวก -- และตอนนี้ลองหา integration by parts อีกที
-
-
-
สำหรับ integration by parts รอบนี้ นี่คือ g ของ x,
-
แต่ตอนนี้, สำหรับรอบนี้, ผมจะสมมุติว่ามันคือ g ไพรม์ของ x
-
ซึ่งไม่ได้ทำให้อะไรต่างไป เพราะเมื่อไหร่ที่ผม
-
หาแอนติเดริเวทีฟของ g ของ x, มันจะได้เหมือนเดิม
-
แล้วผมจะสมมุติว่านี่คือ f ของ x
-
-
-
งั้น integration by parts บอกเราว่า เราหา f ของ x คูณ g ของ x,
-
งั้นผมเอาฟังก์ชันนี้กับแอนติเดริเวทีฟ
-
ของฟังก์ชันนี้มา
-
แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันนี้ อีกครั้ง ก็คือ e กำลัง x
-
แล้วก็ f คูณฟังก์ชันนั้นไม่เปลี่ยน
-
คูณ ไซน์ของ x
-
จากนั้น ผมลบอินทิกรัลของแอนติเดริเวทีฟ
-
ของนี่ หรือ ผมเอา g ของ x ซึ่งก็คือ e กำลัง x, แล้ว
-
อนุพันธ์ของ f ของ x คือ f ไพรม์ของ x
-
แล้วอนุพันธ์ของ ไซน์ของ x คืออะไร?
-
มันก็คือโคไซน์ของ x
-
โคไซน์ของ x d ของ x
-
ลองดูว่าเราไปไหนได้ไหม
-
มันดูเหมือนว่าผมยังเพิ่มเทอมอีก, ทำให้มัน
-
ซับซ้อนขึ้น
-
เพือดูว่าเราไปไหนได้ไหม, ขอผมเขียน
-
ทั้งหมดใหม่ แล้วกำจัดพวกวงเล็บนี่
-
เพราะมันก็แค่บวก, งั้นเราสามารถเอา
-
เครื่องหมายวงเล็บออกได้
-
-
-
ขอผมใช้สีใหม่นะ
-
โอเค
-
งั้นนี่คือโจทย์เดิม, e กำลัง x โคไซน์ของ x
-
dx เท่ากับ, และตอนนี้ผมเปลี่ยนเป็นสีนี้, มัน
-
เท่ากับ e กำลัง x โคไซน์ของ x, แล้วก็ผมสามารถ -- วงเล็บนี่
-
ไม่สำคัญ เพราะผมแค่
-
บวกทุกอย่างในวงเล็บ -- e กำลัง x โคไซน์ของ x บวก e กำลัง
-
x ไซน์ของ x ลบ e กำลัง x โคไซน์ของ x แล้วก็ dx
-
คุณอาจเคิดว่าผมกำลังเปลี่ยนสีตามใจ
-
ตรงนี้ตอนผมเขียนใหม่, แต่หากคุณดูดี ๆ คุณอาจเห็น
-
ว่าทำไมผมถึงเปลี่ยนสีตรงนี้
-
เห็นอะไรน่าสนใจไหม?
-
ใช่แล้ว
-
นี่เหมือนกับนี่, แค่เป็นลบ จริงไหม?
-
งั้นรากำลังอะไรที่ผมว่ามันเจ๋งทีเดียว
-
ลองรวมสองเทอมนี้ ทั้งสองข้างของสมการ
-
ลองเอานี่มา แล้วใส่มันลงใน
-
ข้างนี้ของสมการ
-
หากผมเอานี่มาแล้วใส่ลงไปด้านนี้ของ
-
สมการ, จะเกิดอะไรขึ้น?
-
ผมก็มีสองอันนี้ทางซ้ายมือของสมการ, แล้ว
-
มันกลายเป็น -- ผมหมายถึงผมสามารถเขียนมันออกมาเป็น e กำลัง x โคไซน์
-
ของ x dx บวก, จริงไหม?
-
เพราะผมเอานี่มา แล้วผมใส่มันทางด้านนั้นของ
-
สมการ, e กำลัง x โคไซน์ของ x d x
-
นั่นก็เหมือนกับ 2 คูณ อินทิกรัลของ e
-
กำลัง x โคไซน์ของ x d x
-
แล้วนั่นเท่ากับเทอมนี้
-
เท่ากับ e กำลัง x โคไซน์ของ x บวก e กำลัง x ไซน์ของ x
-
ผมรู้ว่ามันเลอะเทอะ
-
ทั้งหมดที่ผมตรงนี้ คือแก้หาอินทิกรัลนี้ด้วยการหาร
-
ทั้งสองข้างด้วย 2 แล้วผมก็เสร็จแล้ว
-
ขอผมเขียนมันอออกมานะ, นี่มันน่าตื่นเต้นมาก, มัน
-
ถึงเส้นชัยแล้ว
-
หากผมหารทั้งสองข้างด้วย 2, ผมจะได้ -- และผมจะพยายามเขียน
-
มันให้คุณเห็นทุกอย่าง -- e กำลัง x โคไซน์
-
ของ x d x เท่ากับ และทางด้านนั้น ผมมี e กำลัง x
-
โคไซน์ของ x บวก e กำลัง x ไซน์ของ x ส่วน 2
-
ผมว่านั่นเจ๋งดี
-
มันเจ๋งที่ integration by parts ย่อมให้เราทำแบบนี้ได้
-
เราไม่ต้องหาอินทิกรัลนี่ด้วยซ้ำ
-
เราบอกว่า, อินทิกรัลนี่ คือ โจทย์เดิมที่เรามี
-
แล้วคุณคิดถึงว่าทำไมถึงเกิดขึ้นแบบนี้, จริงไหม?
-
เพราะวัฏจักรของฟังกชันตรีโกณฯ นี่
-
เราต้องทำ integration by parts สองครั้งเพื่อให้
-
กลับมาเป็นตอนแรกที่เรามี
-
แล้วเราก็ใช้ม้ันแก้หาโดยไม่ต้อง
-
หาค่าอินทิกรัลด้วยซ้ำ
-
และสิ่งที่ผมคิดว่าเจ๋งคือ แม้ว่าคุณจะดูคำตอบ
-
มันก็เจ๋งแล้ว, จริงไหม?
-
แอนติเดริเวทีฟของ e กำลัง x กับ -- ที่จริง อย่าลืม
-
บวก c ด้วย, นั่นอาจลบ 1 คะแนนในข้อสอบได้
-
สิ่งที่เจ๋ง คือ อินทิกรัลของ e กำลัง x โคไซน์ของ x
-
คือพจน์นี้ นั่นคือ e กำลัง x โคไซน์ของ x บวก
-
e กำลัง x ไซน์ของ x หารด้วย 2
-
มันคือค่าเฉลี่ยของ e กำลัง x โคไซน์ของ x บวก
-
e กำลัง x ไซน์ของ x
-
ผมว่านั่นเป็นสมบัติที่เนี๊ยบทีเดียว และคุณอาจ
-
อยากลองวาดกราฟและเล่นกับมันหน่อย, แต่มันเจ๋งดี
-
หวังว่าผมคงทำให้คุณเห็นว่ามันเป็นโจทย์คลาสสิคทีเดียว
-
และคุณคงเห็นว่ามันเนี๊ยบดี แล้วพบกันใหม่
-
ในการนำเสนอครั้งหน้าครับ
-
-
