Diện tích giữa các đường cong với nhiều ranh giới

Luyện tập bài này trên Khan Academy bây giờ: http://www.khanacademy.org/video?v=LbTH7MGMNjk

Điều mà mình muốn làm trong video này là tìm diện tích phần

mình tô màu vàng này

và một điểm có vẻ thử thách ở đây là toàn bộ phần này

mình có hàm số dưới giống nhau

hoặc mình có ranh giới dưới là y

bằng x mũ hai phần 4 trừ 1

nhưng mình lại có hai ranh giới trên khác nhau

và cách mà chúng ta sẽ xử lý vấn đề này

là chia diện tích này thành hai phần

hoặc chia vùng này thành 2 vùng, vùng trái

và vùng phải

mà khi đó vùng đầu tiên mình sẽ

mình sẽ tô đậm màu vàng đối với vùng đầu tiên

trong toàn bộ khoảng x đó

và có vẻ như x đi từ 0 đến 1

y bằng, khi x bằng 1 , hàm số này bằng 1

khi x bằng 1, hàm số này cũng bằng 1

vậy điểm này sẽ là 1 phẩy 1

đây là nơi chúng giao nhau

vậy đối với phần này, vùng nhỏ ở ngay đâu

y bằng căn bậc 2 của x là hàm số trên của toàn khoảng này

và chúng ta có thể có, chúng ta có thể dựng lên

thật ra chúng ta có thể xử lý riêng lẻ để tìm ra

diện tích của phần này

từ x bằng 1 đến x bằng 2

khi mà y bằng 2 trừ x là hàm số trên

vậy hãy giải quyết bài toán

hãy nghĩ về phần diện tích đầu tiên

đó sẽ là tích phân xác định từ x

bằng 0 đến x bằng 1

và hàm số trên là căn bậc hai x, vậy căn bậc 2 x

và từ đó chúng ta muốn trừ đi hàm số dưới

căn bậc 2 x trừ x mũ 2 phần 4 trừ 1

và tất nhiên chúng ta có dx

vậy ngay đây sẽ biểu diễn cho phần diện tích màu vàng

và bạn có thể tưởng tượng nó, rằng phần này ngay đây

điểm khác nhau giữa hai hàm số

cơ bản là chiều dài

để mình đánh dấu bằng một màu khác

sau đó mình nhân nó cho dx

bạn sẽ có một hình chữ nhật nhỏ ở đây với chiều rộng dx

và sau đó bạn làm điều đó cho mỗi x

mỗi x bạn sẽ có một hình chữ nhật khác nhau

sau đó bạn tổng hợp chúng lại

và bạn lấy giới hạn khi x tiến đến 0

và khi đó bạn có những hình chữ nhật vô cùng nhỏ

và bạn sẽ có một số vô hạn của chúng

đó là định nghĩ của chúng ta hoặc định nghĩa Riemann

về việc tích phân xác định là gì

vậy đây là diện tích của vùng bên trái

và với cách suy luận tương tự, chúng ta có thể tìm ra

diện tích vùng bên phải

vùng bên phải, chúng ta có thể chỉ

tổng hợp hai thứ với nhau

vùng bên phải, mình đi từ x bằng 0

đến x, à mình xin lỗi từ x bằng 1 đến x bằng 2, 1 đến 2

hàm số trên sẽ là 2 trừ x

và từ đó, mình sẽ trừ đi hàm số dưới

sẽ là x mũ 2 phần 4 trừ 1

bây giờ chúng ta chỉ cần tính giá trị

vậy hãy rút gọn phần này ở đây

đây sẽ bằng với tích phân xác định

từ 0 đến 1 của căn bậc 2 x trừ x mũ 2 phần 4 cộng 1

dx, mình sẽ ghi tất cả bằng một màu ngay bây giờ

cộng tích phân xác định từ 1 đến 2 của 2 trừ x

trừ x mũ 2 phần 4

sau đó trừ đi một số âm sẽ ra một giá trị 3 dương hoặc 1 dương

chúng ta chỉ cần cộng nó vào 2 ở đây

vậy 2 ở đây sẽ trở thành 3

mình nói 2 trừ âm 1 sẽ bằng 3 dx

và bây giờ chúng ta chỉ cần lấy nguyên hàm

và tính giá trị tại 1 và 0

vậy nguyên hàm của nó sẽ là

đây là x mũ 1 phần 2

tăng 1 bậc của nó

tăng 1 bậc luỹ thừa, chúng ta sẽ được x mũ 3 phần 2

và sau đó nhân đảo ngược

của số mũ mới vậy nó sẽ là 2 phần 3 x mũ 3 phần 2

trừ nguyên hàm của x mũ 2 phần 4

là x mũ 3, chia 3, chia 4 nghĩa là chia 12

cộng x

đó là nguyên hàm của 1

chúng ta sẽ tính giá trị nó tại 1 và 0

vậy ở đây nguyên hàm

sẽ là 3 x trừ x mũ 2 phần 2 trừ

x mũ 3 phần 12

một lần nữa, tính giá trị nó tại hoặc không

bây giờ chúng ta sẽ tính giá trị tại 2 và 1

vậy ở đây, bạn tính giá trị tất cả phần này tại 1

bạn lấy 2 phần 3 trừ 1 phần 12 cộng 1

và từ đó bạn trừ phần này tính giá trị tại 0

nhưng tất cả đều bằng 0 nên bạn không có gì cả

vậy đây sẽ là kết quả rút gọn của phần màu vàng

và phần màu tím này hoặc phần hồng đậm này

hoặc tím đậm hoặc bất kể nó là màu gì, đầu tiên bạn tính giá trị nó tại 2

bạn có 6 trừ, để xem, 2 mũ 2 phần 2 bằng 2 trừ 8

phần 12

và từ đó bạn sẽ trừ

kết quả tính giá trị tại 1

nó sẽ là 3 nhân 1 bằng 3 trừ 1 phần 2 trừ 1

phần 12

và bây giờ cơ bản chúng ta chỉ cần

cộng tất cả những phân số này lại

để xem liệu chúng ta có thể làm điều đó

có vẻ như 12 hiển nhiên là

mẫu số chung

vậy ở đây bạn có 8 phần 12 trừ 1 phần 12 cộng 12 phần 12

vậy đây sẽ được rút gọn về

đây sẽ là 19 phần 12, phần màu vàng của chúng ta

tiếp đến phần bên này, để mình làm nó với màu này

vậy 6 trừ 2 sẽ là 4

mình có thể viết nó là 48 phần 12 là 4 trừ 8 phần 12

sau đó chúng ta phải trừ đi 3 đồng nghĩa với 36 phần 12

sau đó cộng 1 phần 2, đồng nghĩa với cộng 6 phần 12

sau đó chúng ta sẽ cộng 1 phần 12

vậy đây sẽ được rút ngọn thành để xem nào, 48 trừ 8

là 40, trừ 36 là 4 cộng 6 là 10 cộng 1 là 11

vậy đây sẽ trở thành cộng 11

để mình kiểm tra chắc chắn là mình làm đúng

48 trừ 8 là 40 trừ 36 là 4, 10, 11

vậy là đúng rồi nhé

sau đó chúng ta đã sẵn sàng để cộng cả hai bên lại

19 cộng 11 bằng 30 phần 12

nếu chúng ta muốn rút ngọn một chút

chúng ta có thể chia mẫu số và tử số cho 6

sẽ bằng với 5 phần 2 hoặc 2 và 1 phần 2

vậy chúng ta đã xong

chúng ta đã tìm ra diện tích toàn bộ phần này

là 2 và 1 phần 2