Γραμμικές εξισώσεις σε μορφή κλίσης-τομής

Γραμμικές εξισώσεις σε μορφή κλίσης-τομής

Σε αυτό το βίντεο θα κάνουμε
αρκετά παραδείγματα για να βρούμε

τις εξισώσεις ευθειών σε μορφή
κλίσης-τομής.

Για επανάληψη, αυτό σημαίνει ότι
εξισώσεις ευθειών

στην μορφή y= αx + β
όπου το α είναι η κλίση

και το β είναι η τομή με τον άξονα y.

Ας κάνουμε λοιπόν μερικά παραδείγματα.

Μας δίνουν ευθεία με κλίση -5

οπότε το α=-5.

Και έχει y-τομή 6.

Οπότε το β=6.

Είναι εύκολο αυτό.

Η εξίσωση θα είναι

y= -5x + 6.

Καλό ήταν για αρχή.

Ας κάνουμε ένα εδώ.

Η ευθεία έχει κλίση -1 και

περνά από το σημείο (4/5,0).

Μας δίνουν την κλίση -1.

Ξέρουμε ότι το α=-1 αλλά δεν ξέρουμε

την τομή με τον άξονα y.

Γνωρίζουμε ότι η ευθεία θα έχει εξίσωση

y= -1x + β όπου το

β είναι η y-τομή.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε
τις συντεταγμένες

του σημείου που περνά η ευθεία

και να λύσουμε ως προς β.

Οπότε θα βάλω τις συντεταγμένες του σημείου

στην εξίσωση δηλαδή x=4/5

και y=0.

Οπότε αφού είναι σημείο της ευθείας

θα ικανοποιούν την εξίσωση.

Οπότε 0=-1 * 4/5 + β.

Να πάω λίγο κάτω.

Παίρουμε 0=-4/5 + β.

Προσθέτουμε 4/5 και στις
δυο πλευρές της εξίσωσης.

Συν 4/5 εδώ.

Βάζουμε +4/5 εδώ επίσης.

Το έκανα για να φύγουν αυτά.

Παίρνουμε β=4/5.

Τώρα έχουμε την εξίσωση της ευθείας.

Το y=-1x που το κάναμε -x

συν β, που είναι 4/5.

Τώρα έχουμε αυτό.

Η ευθεία περνά από τα
σημεία (2,6) και (5,0)

Δεν μας έδωσαν την κλίση
ή την y-τομή

με εμφανή τρόπο.

Αλλά μπορούμε να τα βρούμε

από τα σημεία.

Πρώτα θα βρούμε την κλίση.

Η κλίση είναι η μεταβολή στο y

προς την μεταβολή στο x.
Πόσο είναι το Δy;

Για να δούμε.

Κάνουμε 6-0.

Να το κάνω έτσι.

Είναι 6 , να το κάνω με χρώμα, μείον 0.

6-0 είναι η μεταβολή του y.

Η μεταβολή του x είναι 2-5.

Το έκανα με χρώμα για να δείξω

ποιο είναι το x και το y που έβαλα,
πήρα το 6 εδώ,

και αυτό το x.

Αυτή είναι η συντεταγμένη (2,6).

Αυτή είναι η (5,0).

Δεν μπορώ να βάλω αλλιώς το 2 και το 5.

Θα έπαιρνα το αρνητικό της απάντησης.

Τι παίρνουμε λοιπόν;

Αυτό είναι 6.

2-5=-3.

Αυτό είναι -6/3

που είναι -2.

Αυτή είναι η κλίση.

Ξέρουμε ότι η ευθεία έχει εξίσωση

y=-2x + β

την y-τομή.

Μπορούμε να κάνουμε ό,τι κάναμε και πριν.

Μπορούμε να βάλουμε ένα σημείο
στην εξίσωση και να λύσουμε ως προς β.

Όποιο σημείο θέλουμε.

Και τα δυο ανήκουν στην ευθεία οπότε

ικανοποιούν την εξίσωση.

Θα βάλω το (5,0) επειδή μας

αρέσει το μηδέν.

Πιο εύκολες πράξεις.

Θα βάλουμε (5,0) εκεί.

Το y=0 και το x=5.

Οπότε 0=-2(5) + β

y=0 και το x=5.

Παίρνουμε 0=-10+β.

Προσθέτουμε 10 και στις δυο πλευρές

για να διώξω αυτά.

Οπότε β=10.

Παίρνουμε ότι το β=10.

Τώρα να γράψουμε την
εξίσωση της ευθείας.

Με άλλο χρώμα

y=2x+10.

Έτοιμο.

Ακόμα ένα παράδειγμα.

Η ευθεία περνά από τα σημεία (3,5) και

(-3,0).

Όπως και πριν ξεκινούμε

από την κλίση.

Οπότε υπολογίσουμε κατακόρυφη
προς οριζόντια μεταβολή,

μεταβολή στο y προς
μεταβολή στο x.

Αν το κάναμε στο σπίτι

δεν θα το γράφατε αυτό.

Απλά δείχνω ότί είναι ισοδύναμα

αυτα εδώ.

Πόσο είναι το Δy/Δx;

Ας ξεκινήσουμε από εδώ.

Παίρνουμε όποιο σημείο θέλω.

Ας πούμε 0-5.

Παίρνουμε πρώτα αυτό.

Το βλέπω ως τελικό σημείο.

Όταν τα μαθαίνουμε νομίζω

ότι το x μπαίνε στον αριθμητή.

Όχι, το y μπαίνει στον αριθμητή.

Αυτή είναι η δεύτερη συντεταγμένη.

Θα είναι προς -3-3.

Είναι η συντεταγμένη -3,0.

Αυτή είναι το 3,5.

Αφαιρούμε αυτά.

Τι παίρνουμε;

Θα ισούται με, θα το κάνω με ουδέτερο χρώμα

θα είναι ίσο στο αριθμητή

-5 προς -6.

Τα πρόσημα φεύγουν.

Παίρνουμε 5/6.

Ξέρουμε ότι η εξίσωση θα είναι

στην μορφή y=5/6x + β.

Αντικαθιστούμε μια από
τις συνεντεταγμένες

για να βρούμε το β.

Βάζουμε συνήθως όποιο έχει 0.

Εϊναι y=0(-3) + β.

Απλά έβαλα x=-3 και y=0.

Αφού το σημείο ανήκει στην ευθεία.

Θα ικανοποιεί την εξίσωση.

Λύνουμε ως προς β.

Παίρνουμε 0 ισούται , διαιρούμε με 3 και

το -3 γίνεται 1.

6 δια 3 δίνει 2.

Οπότε γίνεται -5/2 + β.

Προσθέτουμε 5/2 και στα δυο μέλη,

συν 5/2.

Για να δούμε

πως θα γίνει τώρα.

5/2 ισούται με , αυτό είναι 0

ισούται με β.

Οπότε το β=5/2.

Η εξίσωση της ευθείας είναι
y=5/6x+5/2

αφού βρήκαμε το β=5/2.

Έτοιμοι.

Ακόμα ένα.

Έχουμε γραφική εδώ.

Να βρούμε την εξίσωση της γραφικής.

Είναι κάπως πιο εύκολο/

Ποια είναι η κλίση;

Κλίση είναι Δy/Δx.

Για να δούμε τι έχουμε.

Όταν αλλάζει το x 1,

η μεταβολή στο x.

Δx=1.

Αλλάζουμε το x κατά 1.

Πόσο αλλάζει το y;

Αλλάζει κατά 4.

Άρα το Δy=4 όταν

το Δx=1.

Οπότε το Δy/Δx

θα μας δώσει

4/1=4 αυτή είναι η κλίση.

Ποιά είναι η y-τομή;

Μπορούμε να δούμε την γραφική.

Φαίνεται να είναι στο

y=-6 ή στο σημείο (0,-6).

Οπότε το β=-6.

Ξέρουμε λοιπόν την εξίσωση της ευθείας.

Θα είναι y=αx+b

α η κλίση 4 και β η y-τομή -6.

Να το γράψω.

Άρα -6.

Αυτή είναι η εξίσωση.

Ακόμα ένα παράδειγμα.

Μας δίνουν ότι f(1,5) =-3

και f(-1)=2.

Τι είναι αυτό;

Εϊναι ένας τρόπος να μας πουν ότι

ότι το x ενός σημείου είναι 1,5 το

y του σημείου είναι-3.

Άρα το σημείο (1,5 , -3)

είναι πάνω στην ευθεία.

Αυτό μας λέει ότι το σημείο
όταν x=-1

το y=2.

Είναι ένας τρόπος να μας

δώσουν τα σημεία, σύνηθες.

Απλά για να συνηθήσετε

τις συναρτήσεις και να

μην τις φοβάστε.

Αν υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης
για x=1,5 παίρνουμε -3.

Ουσιαστικά το y είναι

το f(x).

Αυτό είναι το y.

Θα ισούται με -3 όταν το x=1,5.

Το έχουμε ξαναδεί.

Ας βρούμε την κλίση της ευθείας.

Η κλίση είναι Δy προς Δx

ισούται με 2- (-3)

αυτά είναι τα y προς αυτό

-1 μείον αυτό.

Ας το γράψω έτσι, -1

μείον αυτό 1,5.

Τα κάνω με χρώμα για νε δείξω ότι το

-1 και το 2 είναι από αυτό,

γι'αυτό τα έβαλα πρώτα.
Αν έβαζα αυτά πρώτα

θα έπαιρνα και το x και το y.
Αν βάλω το 2 πρώτα,

πρέπει να βάλω το -1 πρώτα.

Για αυτό βάζω χρώματα.

Θα ισούται με 2-(-3).

Εϊναι 2+3

δηλαδή 5.

-1-1,5=-2,5.

5 δια 2,5 είναι 2.

Η κλίση είναι -2.

Θα σας δείξω δίπλα ότι δεν

έχει σημασία με ποια σειρά τα βάζετε.

Αν βαλω αυτό πρώτα, πρέπει

να βάλω αυτό πρώτα. Ας το κάνουμε αλλιώς.

Αν έκανα -3-2 προς

1,5 -1 .

Εντάξει.

Αυτό θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα.

Με τι ισούται;

-3-2=-5
προς 1,5-(-1).

Αυτό είναι 1,5+1.

Προς 2.

Και πάλι βγαίνει -2.

Ήθελα να δέιξω ότι δεν έχει σημασία

η σειρά αρχή και τέλους

αρκεί να μην μπερδέψουμε
συντεταγμένες.

Αυτό είναι το y της αρχής
και αυτό το x της αρχής.

Αυτό είναι το τελικό y,

και αυτό το τελικό x.

Ξέρουμε ότι η κλίση είναι -2.

Η εξίσωση είναι y=-2x+ κάποια

y-τομή.

Να βάλουμε συντεταγμένες.

Θα βάλω αυτό που δεν έχει δεκαδικό.

Το y=2

όταν το x=-1.

Και έχουμε συν β.

Οπότε 2=-2*1+β.

Αφαιρούμε 2 και από τις δυο μεριές

-2 και έτσι θα πάρουμε

0 στα αριστερά ισούται

με β.

Οπότε β=0.

Οπότε η εξίσωση είναι

y=-2x.

Αν την θέλουμε σε μορφή συνάρτησης

θα ήταν f(x)=-2x.

Το y είναι το f(x).

Αλλά είναι μια εξίσωση.

Δεν έχουμε y εδώ.

Μπορούμε να γράψουμε f(x)=-2x.

Οι συντεταμένες είναι

x και f(x).

Βλέπουμε και την κλίση έτσι ως

Δf(x) προς Δx.

Είναι ισοδύναμες εκφράσεις για
την ίδια έννοια.