Completing the square

Khan Academy's video on completing the square.

(Google Translate - Please help to correct)
Velkommen til video på udfylde pladsen.

Hvad er udfylde pladsen?

Nå, det er en måde at løse en andengradsligning.

Og faktisk, så lad mig lige skrive ned en andengradsligning, og

så jeg vil vise dig hvordan man udfylder pladsen.

Og så vil vi gøre et andet eksempel, og så måske tale

en lille smule om, hvorfor den hedder udfylde pladsen.

Så lad os sige, at jeg har denne ligning: x kvadreret plus 16x

minus 57 er lig med 0.

Så hvad er de redskaber i vores værktøjskasse lige nu, at vi

kunne bruge til at løse dette?

Nå, kunne vi forsøge at faktor det ud.

Vi kunne sige, hvad to numre tilføje op til 16, og så når du

formere dem, at de er minus 57?

Og du er nødt til at tænke over det en lille smule.

Og du kan få hele tal, men du er ikke engang

sikker, hvis der er to hele tal, at arbejdet

ud på den måde.

Dette problem, der er.

Men, du ved, nogle gange er løsningen et decimaltal

og du behøver ikke vide det.

Så den eneste gang, du virkelig kan faktor er, hvis du er sikker på, at

du kunne faktor dette i form af heltal udtryk.

Du ved, x plus nogle heltal eller x minus nogle heltal

gange, du kender, x plus nogle andre heltal.

Eller lignende.

Den anden mulighed er at gøre det andengradsligning.

Og hvad vi vil se, er faktisk det andengradsligning

er bare alt væsentligt en genvej til at udfylde pladsen.

Den andengradsligning er faktisk bevist ved hjælp af

udfylde pladsen.

Så hvad er ved at afslutte de firkantede?

Så hvad gør vi?

Nå, før vi bevæger os ind i denne video lad os se hvad der sker

hvis jeg kvadrat et udtryk.

Lad mig gøre det i denne hernede.

Hvad er x plus en, kvadreret?

Tja, der er lig med x kvadratet plus 2ax plus en potens.

Højre?

Så hvis du nogensinde ser noget i denne form, du ved, at det er

x plus noget anden potens.

Så ville det ikke være smart, hvis vi kunne manipulere denne ligning

så vi kan skrive det som x plus en kvadrat er lig noget,

og så kunne vi bare tage kvadratroden?

Og hvad vi vil gøre, er faktisk, gøre netop det.

Og det er udfylde pladsen.

Så lad mig vise dig et eksempel.

Jeg tror et eksempel vil gøre det lidt klarere.

Lad mig boks det væk.

Dette er, hvad du skal huske.

Det er hele rationalet bag konkurrerende kvadraterne -

at få en ligning i denne formular, på den ene side af

ligning, og bare have en nummer på den anden side, så

du kan tage kvadratroden af begge sider.

Så lad os se.

Først og fremmest, lad os bare tjek for at sikre dette er ikke

et kvadrattal.

Hvis dette var, ville dette koefficient svarende til 2a.

Højre?

Så en ville være 8, og så ville det være 64.

Dette er tydeligvis ikke 64, så denne ret her er der ikke

en kvadreret udtryk.

Så hvad kan vi gøre?

Jamen så lad mig slippe af med de 57 ved at tilføje 57 til både

sider af denne ligning.

Så jeg ville få x kvadrat plus 16x er lig med 57.

Alt, hvad jeg gjorde, er jeg tilføjet 57 til begge sider af denne ligning.

Nu kunne det jeg tilføje her, så denne, den venstre side

af denne ligning, bliver et kvadrat på ca udtryk

ligesom x plus en?

Hvis du blot følge dette mønster hernede, har vi x kvadreret

plus 2ax - så du kan se denne her som 2ax.

Højre?

Det er 2ax.

Og så har vi brug for at tilføje en en firkant til det.

Højre?

Plus en anden potens.

Og så ville vi have formularen her.

Men vi kender fra basis algebra, at noget du gør for en

side af en ligning, du skal gøre til en anden.

Så vi tilføjet en et firkantet her, så lad os tilføje en en

kvadreret her.

Og nu kan du væsentlige omskrive dette som et kvadrat

af nogle udtryk.

Men før, at vi er nødt til at finde ud af hvad en var?

Jamen hvordan gør vi det?

Nå, hvad er en?

Hvis dette udtryk her er 2ax, hvad er en?

Nå 2a vil lige 16, så en er lig med 8.

Og du kan som regel gøre det bare ved inspektion;

gør det i dit hoved.

Men hvis du ønsker at se det gjort algebraisk du kunne

faktisk skriver 2ax er lig med 16x.

Og derefter dividere begge sider med 2x, og du får en, er

svarende til 16x over 2x.

Og hvis man antager, at x ikke er lig 0 dette evalueres til 8.

Så en er 8.

Så hvis en er 8 vi kunne omskrive dette udtryk - jeg vil skifte

farver vilkårligt - som x kvadrat plus 16x

plus en anden potens.

Nå, det er 64, fordi en er 8.

Er lig med 57 plus 64.

Højre?

Jeg gik igennem en temmelig kedelig forklaring her, men alle vi har

virkelig gjort for at få derfra til at der er vi tilføjet 57 til både

sider af denne ligning til at slags få det på højre hånd

side, og så har vi tilføjet 64 til begge sider af denne ligning.

Og hvorfor gjorde jeg tilføje 64 til begge sider af denne ligning?

Således at den venstre side udtryk tager denne formular.

Nu, hvor venstre side udtryk tager denne form

Jeg kan omskrive det som hvad?

x plus en, kvadreret.

Jeg kan omskrive det i denne form.

Og vi ved, at en er 8, så det bliver x plus 8, firkantede,

er lig med - og hvad der er 57 plus 64?

Det er 121.

Nu har vi, hvad der ligner en temmelig ligetil - det er

stadig en andengradsligning, faktisk, for hvis man

skulle udvide denne side du vil få en kvadratisk.

Men vi kan løse dette uden at bruge andengradsligning

eller uden at skulle faktor.

Vi kan bare tage kvadratroden af begge sider af denne.

Og hvis vi tager kvadratroden af begge sider, hvad får vi?

Vi får - igen, vilkårligt skifte farver -

at x plus 8 er lig med, og husk dette, plus eller

minus kvadratroden af 121.

Og hvad er kvadratroden af 121?

Jamen det er 11, right?

Så vi kommer her.

Lad mig boks det væk.

Det var bare en sidebemærkning.

Så vi får x plus 8 er lig med plus eller minus 11.

Og så x er lig med - trække 8 fra begge sider - minus

8, plus eller minus 11.

Og så x kunne lige - så minus 8, plus 11 er 3.

Højre?

Lad mig sørge for jeg gjorde det rigtige.

x er lig med minus 8, plus eller minus 11.

Ja.

Det er rigtigt.

Så x kunne være lig med 3.

Og derefter, hvis jeg tog minus 8 minus 11, x kan

også lig minus 19.

Alle højre.

Og lad os se om det giver mening.

Så i teorien burde kunne indregnes som x

minus 3 gange x plus 19 er lig med 0.

Højre?

Fordi disse er de to løsninger af denne ligning.

Og det arbejder ud, right?

Minus 3 gange 19 er minus 57.

Og minus 3 plus 19 er plus 16x.

Vi kunne bare have det samme medregnet det på denne måde, men hvis

det var ikke indlysende for os - fordi, du kender, i det mindste

19 er lidt af en mærkelig række - vi kunne gøre det

udfylde pladsen.

Og så hvorfor er det hedder udfylde pladsen?

Fordi du får det i denne form, og så er du nødt til at tilføje denne

64 her for at slags færdiggøre pladsen - at vende denne

venstre hånd udtryk i en firkant udtryk.

Lad os gøre en mere.

Og jeg vil gøre mindre forklaring og mere retfærdigt chugging gennem

problemet, og som faktisk kan gøre det ud enklere.

Men dette vil være en hairier problem.

Så lad os sige, at jeg har 6x kvadreret minus 7x minus 3 er lig med 0.

Du kan prøve at indregne det, men jeg personligt ikke

nyder factoring ting, når jeg har en koefficient.

Og du kan sige, oh well hvorfor vi ikke deler begge sider

af denne ligning med 6?

Men så du vil få en brøkdel her og en brøkdel her.

Og det er endnu værre at faktor bare ved besigtigelse.

Du kan gøre det andengradsligning.

Og måske vil jeg vise dig i et fremtidigt video, den kvadratiske

ligning - og jeg tror, jeg har allerede gjort en hvor jeg bevist

den andengradsligning.

Men andengradsligning er hovedsagelig

udfylde pladsen.

Det er lidt af en genvej.

Det er bare lidt huske formlen.

Men lad os afslutte pladsen her, fordi det er hvad

punkt i denne video var.

Så lad os tilføje de 3 til begge sider af denne ligning.

Vi kunne gøre - ja, lad os tilføje de 3 første.

Så du får 6 x kvadrat minus 7x er lig med 3.

Jeg har tilføjet 3 til begge sider.

Og nogle lærere vil forlade minus 3 her, og derefter prøve

at finde ud af hvad der skal tilføjes til det og alt dette.

Men jeg kan lide at få det ud af den måde, så jeg kan finde ud af

meget klart, hvad nummer jeg skulle sætte her.

Men jeg heller ikke lide de 6 her.

Det bare komplicerer tingene.

Jeg kan godt lide at have det x plus en firkant, ikke nogle kvadratrod

koefficient på x sigt.

Så lad os dele begge sider af denne ligning med 6, og du får

x kvadrat minus 7 / 6 x er lig med - 3 divideret med 6

er lig med 1 / 2.

Og vi kunne have gjort, at vores første skridt.

Vi kunne have delt med 6 rigtige på det første skridt.

Anyway, lad os nu prøve at afslutte pladsen.

Så vi har x firkantede - jeg bare at åbne op for noget plads -

minus 7 / 6 x plus der er noget at være lig med 1 / 2.

Og så vi er nødt til at tilføje noget her, således at denne venstre hånd

udtryk bliver et firkantet udtryk.

Så hvordan gør vi det?

Nå det væsentlige vi ser på denne koefficient, og holde

i tankerne er det ikke bare 7 / 6 er det minus 7 / 6.

Du tager 1 / 2 af det, og så firkantet det.

Højre?

Lad mig gøre det.

x plus en, kvadrat er lig med x kvadratet plus

2ax plus en potens.

Højre?

Dette er, hvad du skal huske hele tiden.

Det er alt udfylde pladsen er baseret ud af.

Så hvad gjorde jeg sige lige nu?

Nå, er dette udtryk vil være 1 / 2 af denne

koefficient potens.

Og hvordan kan vi vide det?

Fordi en bliver 1 / 2 af denne koefficient, hvis du bare

gøre en lille smule af mønstertilpasning.

Så hvad er 1 / 2 af denne koefficient?

1 / 2 på minus 7 / 6 er minus 7 / 12.

Så hvis du ønsker du kunne skrive en lig minus

7 / 12 for vores eksempel.

Og jeg har lige ganget dette ved 1 / 2.

Højre?

Så hvad skal jeg tilføje til begge sider?

Jeg tilføjer en anden potens.

Så hvad er 7 / 12 kvadrat?

Nå det kommer til at blive 49/144.

Hvis jeg gjorde det til venstre side jeg nødt til at gøre det til

højre side.

Plus 49/144.

Og nu, hvordan kan jeg forenkle denne venstre side?

Hvad er vores næste skridt?

Godt vi nu kender det, er et kvadrattal.

I virkeligheden ved vi, hvad en er. a er minus 7 / 12.

Og så vi ved, at denne venstre side af denne ligning

er x minus en - eller x plus en, men en er et negativt tal.

Så x plus en, og en er negativ, firkantede.

Og hvis du vil, kan du formere dette og bekræft

at det virkelig er lig dette.

Og det vil være lig med - lad os få en fælles

fællesnævner, 144.

Så 72 plus 49 er lig med 121.

121/144.

Så vi har x minus 7 / 12, alt dette kvadreret

er lig med 121/144.

Så hvad gør vi nu?

Nå nu er vi bare tage kvadratroden af både

sider af denne ligning.

Og jeg forsøger at frigøre noget plads.

Skift til grønt.

Lad mig partition denne off.

Og vi får x minus 7 / 12 er lig med plus eller minus

kvadratroden af det.

Så plus eller minus 11/12.

Højre?

Kvadratroden af 121 er 11.

Kvadratroden af 144 er 12.

Så vi kunne tilføje 7 / 12 til begge sider af denne ligning,

og vi får x er lig med 7 / 12 plus eller minus 11/12.

Tja, der er lig med 7 plus eller minus 11/12.

Så hvad er de to muligheder?

7 plus 11 er 18, over 12.

Så x kunne lige 18/12, er 3 / 2.

Eller, hvad er 7 minus 11?

Det er minus 4 / 12.

Så det er minus 1 / 3.

Der har du den.

Det er udfylde pladsen.

Forhåbentlig du har fundet, man med rimelighed indsigtsfulde.

Og hvis du ønsker at bevise andengradsligning, alt hvad du

skal gøre er at i stedet for at have numre her, så skriv økse kvadreret

plus bx plus c er lig 0.

Og derefter udfylde pladsen ved hjælp af a, b og c's

i stedet for numre.

Og du vil ende op med andengradsligning

af dette punkt.

Og jeg tror, jeg gjorde det i en video.

Lad mig vide, hvis jeg ikke gjorde, og jeg vil gøre det for dig.

Anyway, jeg vil se dig i næste video.