Mean value theorem for integrals

Bizim orta qiymət teoremi haqqında bir
çox videolarımız var.

İndi burada ortaq qiymət teoreminin

diferensial hesablama ilə əlaqəsini

öyrənəcəyik.

Müəyyən inteqral

funksiyanın orta qiyməti ilə
necə əlaqəlidir?

Ora qiymət teoremində deyilir ki,

f funksiyası qapalı intervalda kəsilməzdir.

Buraya uc nöqtələri [a, b] də daxildir.

O, diferensiallanandır.
Törəmə

(a, b) açıq intervalında təyin olunub.

İntervalın daxili kimi

sərhədlərində də diferensiallanan olmağı

vacib deyil.
Burada

müəyən bir c ədədimiz var və

bu, intervalımızın 2 uc nöqtələri arasındadır.

Burada a<c<b,
c bu intervaldadır və

bu, həmin nöqtədə

funksiyanın törəməsi deməkdir.

Bu nöqtədə toxunanın

bucaq əmsalından istifadə edə bilərik.
Bu da elə intervaldakı

orta qiymətə bərabər olacaq.

Bunu iki nöqtə arasındakı bucaq
əmsalı kimi düşünək.

Uc nöqtələri arasındakı bucaq əmsalı

y-dəki dəyişiklik, yəni

funksiyamızdakı dəyişiklik olacaq.

Yəni, f(b) çıx f(a) böl b çıx a.

Bunu ilk dəfə diferensial hesablamada

daha da dərindən araşdırdıq.

Ancaq onun təsvirini vermək istəyirəm.

Orta qiymət teoremi

diferensial hesablamada öyrənilir.

Orada deyilir ki, əgər
bu, a, bu, b-dirsə,

burada bir funksiyamız var.

Bu, f(a), bu, f(b)-dir.

Buradakı kəmiyyəti

funksiyanın dəyişməsi kimi götürürük.

f(b) çıx f(a)

böl

x oxundakı dəyişmə, a çıx b.

Bu, bizə bucaq əmsalını verir.

Bu iki nöqtəni

birləşdirən xəttin bucaq əmsalı
bu kəmiyyətdir.

Ortaq qiymət teoremində deyilir ki,
burada

a və b arasında müəyyən nöqtəsi
c verilib və

ən azı bir yerdə

eyni bucaq əmsalımız olacaq.

c nöqtəsindəki

toxunanın bucaq əmsalı eyni olacaq.

Burada

başqa bir c-miz də olacaq.

Burada toxunanın bucaq əmsalının

interval üzrə

ortaq bucaq əmsalına bərabər
olduğu ən azı bir c nöqtəsi var.

Fərz edək ki, burada f kəsilməz və
diferensiallanandır.

Bunu necə təyin etdiyimizə baxdıqda

bəzi oxşarlıqlar görürük.

Güman edirəm ki, orta

qiymət üçün düsturu deyə bilərsiniz.

Funksiyanın orta qiyməti üçün
nə deyə bilərik?

Funksiyanın orta qiyməti

1 böl b çıx a-ya bərabər olacaq.

b çıx a məxrəcdə olacaq.

Vur müəyyən inteqral a-dan b-yə
f(x) dx.

Maraqlıdır.
Ona görə ki, bizim burada törəməmiz və

inteqralımız var, bunları

əlaqələndirə bilərik.

Burada

məxrəci bu formada

yaza bilərik.

Videonu dayandıraq.

Sizə bir ipucu verəcəyəm.

Əgər burada f(x)-in əvəzinə

f ştrix x verilibsə,-- baxaq.

Bunu yenidən yazaq.

Bu, bərabər olacaq...

Bu, müəyyən inteqral

a-dan b-yə f ştrix x dx ilə eynidir.

Baxaq.

f ştrix x-in ibtidai funksiyasını tapaq.

Bu da f(x)-ə bərabər olacaq.
Onu b-də

qiymətləndirək.
f(b)-dən bunun

a-dakı qiymətini çıxaq,
çıx f(a).

Bu ikisi eynidir.

b çıx a-ya bölürük.

Getdikcə daha da maraqlı olur.

Burada

c olmalıdır ki,

törəməni

c-də qiymətləndirdikdə

o, törəmənin orta qiymətini versin.

Başqa cür, əgər

g(x) bərabərdir f ştrix x yazırıqsa,

buradakına yaxın qiymət əldə edirik.

Çünki bu g(c) olacaq.

f ştrix c g(c) ilə eynidir.

O da 1 böl b çıx a-ya bərabərdir.
Burada

g(c)-nin 1 böl b çıx a-ya bərabər olduğu
c mövcuddur.

Vur müəyyən inteqral a-dan b-yə g(x) dx.

f ştrix x g(x)-ə bərabərdir.

Orta qiymət teoreminin

başqa bir forması

inteqrallar üçün olan orta
qiymət teoremidir.

Sadəcə qısaltmasını yazacağam.

İnteqral üçün orta qiymət teoremi

belədir.

Tutaq ki, g funksiyamız var.

Ekranı bir az aşağı sürüşdürək.
a-dan b-yə qapalı interavalda

g(x) kəsilməzdir.

Bu intervalda müəyyən bir c mövcuddur.

g(c) nəyə bərabərdir?

Bu, funksiyamızın ortqa qiymətidir.

Burada g(c)-nin

intervaldakı funksiyanın orta qiymətinə
bərabər olduğu bir c mövcuddur.

Bu, funksiyanın orta qiymət tərifidir.

Bu, digər yoludur, amma siz

inteqralın orta qiymət teoreminin
bir neçəsini görə bilərsiniz.

Bunlar çox yaxındır.

Sadəcə burada fərqli
işarədən istifadə edilir.

Mahiyyətcə, eynidir.

Orta qiymət teoremi diferensial
hesablamada öyrənilir.

Burada bir az fərqli işarələr var, onda

fərqli izahımız da var.

Diferensial hesablamada

bu nöqtədəki

funksiyanın toxunanının bucaq əmsalı haqqında düşünürük.

Diferensialdan

danışırıqsa,

toxunanın bucaq əmsalı haqqında,

inteqraldan danışırıqsa,

funksiyanın orta qiyməti

haqqında düşünürük.

Burada funksiyanın qiymətləndirildiyi

c nöqtəsi var.
g(c) bərabərdir

ortaq qiymətə.
Başqa bir yol budur ki,

g(x)-i çəkirəm,

bu, x oxu, bu, y oxudur.

Bu, y bərabərdir g(x)-in qrafikidir.
Bu da

f ştrix x ilə eynidir.
Ancaq daha ardıcıl olması üçün

onu orta qiymət düsturu ilə
yenidən yazdıq.

İnterval a-dan b-yə baxaq.

Artıq orta qiyməti necə
hesablayacağımızı görürük.

Orta qiymət, bəlkə də, buradadır.

Orta qiymətimiz budur.

İnteqral üçün orta qiymət teoremində
deyilir ki,

burada funksiyanın aldığı bir c

nöqtəsi olmalıdır və
c bu intervala

daxil olmalıdır.