Định lý giá trị trung bình cho tích phân
-
0:01 - 0:04Chúng mình có rất nhiều video về định lý giá trị trung bình
-
0:04 - 0:08nhưng mình vẫn sẽ ôn lại nó 1 chút, để xem
-
0:08 - 0:10định lý mà ta đã học
-
0:10 - 0:12ở môn Phép tính vi phân,
-
0:12 - 0:13có thể liên hệ như thế nào với
-
0:13 - 0:17giá trị trung bình của hàm số dùng tích phân xác định.
-
0:17 - 0:21Vậy định lý giá trị trung bình cho ta biết nếu mình có
-
0:21 - 0:281 hàm số f liên tục trên 1 khoảng đóng,
-
0:28 - 0:31và bao gồm cả các đầu mút, từ a đến b,
-
0:31 - 0:36và nó khả vi, vậy đạo hàm
-
0:36 - 0:40được xác định trên 1 khoảng mở, từ a đến b
-
0:40 - 0:43và không nhất thiết phải khả vi
-
0:43 - 0:45ở các giới hạn, miễn là nó khả vi
-
0:45 - 0:50ở giữa các giới hạn đó, thì ta biết
-
0:50 - 1:05sẽ tồn tại 1 giá trị, hoặc 1 số c nào đó
-
1:05 - 1:11nằm giữa 2 đầu mút của khoảng,
-
1:11 - 1:20thỏa điều kiện c lớn a, nhỏ hơn b, nên c sẽ nằm trong khoảng, VÀ
-
1:20 - 1:24đây là điểm quan trọng,
-
1:24 - 1:29đạo hàm của hàm số tại điểm đó
-
1:29 - 1:31có thể được dùng làm hệ số góc của tiếp tuyến
-
1:31 - 1:36tại điểm đó, sẽ coi như là bằng
-
1:36 - 1:39tốc độ biến thiên trung bình trên khoảng,
-
1:39 - 1:42hoặc bạn có thể xem như nó là hệ số góc giữa 2 đầu mút.
-
1:42 - 1:45Vậy hệ số góc giữa 2 đầu mút sẽ là
-
1:45 - 1:47độ biến thiên (delta) y, cũng là
-
1:47 - 1:49độ biến thiên của giá trị hàm số,
-
1:49 - 1:57vậy f của b, trừ f của a phần b trừ a,
-
1:57 - 2:00và 1 lần nữa ta sẽ phân tích chi tiết định lý này
-
2:00 - 2:02như đã làm lần đầu ở Phép tính vi phân,
-
2:02 - 2:04và mình sẽ vẽ đồ thị để bạn dễ hình dung
-
2:04 - 2:06vì mình nghĩ nó rất hữu ích.
-
2:06 - 2:10Định lý giá trị trung bình ta đã học ở Phép tính vi phân
-
2:10 - 2:14cho ta biết, nếu đây là a, đây là b,
-
2:14 - 2:19và mình cho hàm số có hình ngẫu nhiên,
-
2:19 - 2:24vậy đây là f của a, đây là f của b, và giá trị
-
2:24 - 2:26của vế này
-
2:26 - 2:29Mình sẽ nói kỹ hơn trên hình
-
2:29 - 2:33là f của b trừ f của a, chính là
-
2:33 - 2:36độ biến thiên của hàm số, chia cho
-
2:36 - 2:39độ biến thiên của trục x, vậy đó sẽ là delta y phần delta x
-
2:39 - 2:41sẽ ra được hệ số góc, phần này sẽ là
-
2:41 - 2:45hệ số góc của đường này. đường mà
-
2:45 - 2:49liên kết 2 điểm này lại, là vế này đây
-
2:49 - 2:52và định lý giá trị trung bình cho ta biết có 1 điểm c
-
2:52 - 2:55giữa a và b, có hệ số góc trùng với hệ số góc tiếp tuyến,
-
2:55 - 2:57và sẽ luôn có ÍT NHẤT 1 điểm, có thể là
-
2:57 - 3:01ở đây, tồn tại hệ số góc trùng hệ số góc tiếp tuyến
-
3:01 - 3:04Mình nhắc lại, có 1 điểm c mà hệ số góc của tiếp tuyến
-
3:04 - 3:06tại điểm đó sẽ trùng với, để mình đánh dấu
-
3:06 - 3:08c ở đây, và cũng có thể có
-
3:08 - 3:11nhiều điểm c, và điểm c ở đây cũng có thể.
-
3:11 - 3:12Miễn là sẽ có ít nhất 1 điểm mà hệ số góc
-
3:12 - 3:15của tiếp tuyến cũng chính là hệ số góc trung bình
-
3:15 - 3:18trên khoảng, và 1 lần nữa
-
3:18 - 3:21mình giả sử f liên tục và khả vi.
-
3:21 - 3:26Khi bạn nhìn ở đây, bạn có thể thấy vài điểm tương đồng
-
3:26 - 3:29với định nghĩa
-
3:29 - 3:30của..., có thể gọi là công thức
-
3:30 - 3:32của giá trị trung bình của hàm số.
-
3:32 - 3:35Nhớ lại, khi chúng ta nói về giá trị trung bình của hàm số,
-
3:35 - 3:40ta nói nó sẽ bằng
-
3:40 - 3:451 phần b trừ a, giống với
-
3:45 - 3:47phần mẫu số bên này,
-
3:47 - 3:53nhân cho tích phân xác định từ a đến b của f của x, dx.
-
3:53 - 3:57Đến phần thú vị đây, khi ta có 1 đạo hàm ở đây
-
3:57 - 4:02và 1 tích phân ở đây, nhưng ta có thể liên kết chúng lại với nhau.
-
4:02 - 4:06Mình sẽ thử liên kết chúng.
-
4:06 - 4:071 cách bạn có thể thử là
-
4:07 - 4:11viết lại
-
4:11 - 4:16tử số bên này thành dạng bên này.
-
4:16 - 4:18Và mình khuyên bạn nên dừng video lại và làm thử,
-
4:18 - 4:21mình cũng sẽ cho bạn 1 gợi ý lớn là,
-
4:21 - 4:23thay vì là f của x ở đây, nếu là
-
4:23 - 4:28đạo hàm f phẩy của x ở đó thì sao, bạn hãy làm thử xem.
-
4:28 - 4:29Để mình viết lại cả phần này,
-
4:29 - 4:31phần này sẽ là...
-
4:31 - 4:34bằng chính xác với
-
4:34 - 4:40tích phân xác định từ a đến b của f phẩy x, dx.
-
4:40 - 4:41Nghĩ thử xem.
-
4:41 - 4:43Ta có thể lấy nguyên hàm của f phẩy của x,
-
4:43 - 4:45chính là bằng f của x, sau đó
-
4:45 - 4:48tính giá trị tại b, hay f của b, rồi từ đó
-
4:48 - 4:51bạn trừ nó cho f của a... trừ f của a.
-
4:51 - 4:532 phần này là giống nhau.
-
4:53 - 4:58Sau đó, bạn phải chia thêm cho b trừ a.
-
5:00 - 5:03Càng ngày càng thú vị rồi.
-
5:03 - 5:081 cách khác để nghĩ là phải có 1 c
-
5:10 - 5:12mà tại đó tìm ra được...
-
5:12 - 5:15Mình lặp lại, phải có 1 c, mà khi
-
5:15 - 5:17bạn tính đạo hàm tại c,
-
5:17 - 5:21nó sẽ là giá trị trung bình của đạo hàm bên này.
-
5:21 - 5:24Hoặc 1 cách làm khác,
-
5:24 - 5:31ta có thể đặt g của x bằng với f phẩy của x,
-
5:31 - 5:34thì nó sẽ gần giống với phần bên này,
-
5:34 - 5:38vì nó sẽ trở thành g của c,
-
5:38 - 5:41và đồng thời f phẩy của c chính là g của c,
-
5:41 - 5:50bằng 1 phần b trừ a, vậy sẽ tồn tại 1 c
-
5:50 - 5:53mà g của c bằng 1 phần b trừ a,
-
5:53 - 6:01nhân với tích phân xác định từ a đến b của g của x, dx.
-
6:01 - 6:03f phẩy của x cũng chính là g của x.
-
6:03 - 6:05Và 1 cách khác nữa là,
-
6:05 - 6:07và đây cũng là 1 dạng khác của định lý giá trị trung bình,
-
6:07 - 6:12được gọi là định lý giá trị trung bình cho tích phân.
-
6:14 - 6:15Mình sẽ viết tắt,
-
6:15 - 6:22định lý giá trị trung bình cho tích phân, hay phép lấy tích phân,
-
6:22 - 6:25nó cũng là, để mình viết bằng dạng
-
6:25 - 6:30quy tắc hơn là, nếu bạn có 1 hàm số g,
-
6:30 - 6:34để mình kéo xuống 1 tí, cho trước
-
6:34 - 6:41g của x liên tục trên khoảng đóng
-
6:42 - 6:55từ a đến b, thì sẽ tồn tại 1 điểm c... tồn tại 1 điểm c trong khoảng
-
6:55 - 6:58mà tại đó, g của c sẽ bằng với phần này, là gì nào?
-
6:58 - 7:01Nó là giá trị trung bình của hàm số.
-
7:01 - 7:08Vậy, sẽ tồn tại 1 điểm c mà tại đó, g của c sẽ bằng
-
7:08 - 7:11giá trị trung bình của hàm số trên khoảng.
-
7:11 - 7:14Đây là định nghĩa của giá trị trung bình của hàm số.
-
7:14 - 7:16Đây chỉ là 1 cách nói khác
-
7:16 - 7:20của định lý giá trị trung bình của tích phân.
-
7:20 - 7:22và mục đích là để thấy
-
7:22 - 7:24ngay cả khi cách định nghĩa là khác,
-
7:24 - 7:27nhưng ý chính vẫn giống hoàn toàn
-
7:27 - 7:31với định lý giá trị trung bình bạn đã học ở Phép tính vi phân,
-
7:31 - 7:32nhưng với 1 cách định nghĩa khác thì
-
7:32 - 7:35bạn có thể có cách hiểu khác đi 1 tí.
-
7:35 - 7:37Chúng ta đã áp dụng cách đã học ở Phép tính vi phân,
-
7:37 - 7:39là sẽ có 1 điểm mà tại đó
-
7:39 - 7:42hệ số góc của tiếp tuyến của hàm số tại điểm đó
-
7:42 - 7:44cũng chính là tốc độ trung bình,
-
7:44 - 7:46và chúng ta đang dùng tư duy vi phân, khi ta xét
-
7:46 - 7:49hệ số góc và hệ số góc của tiếp tuyến,
-
7:49 - 7:52và bây giờ khi dùng tư duy tích phân,
-
7:52 - 7:54ta có thể chú ý hơn đến giá trị trung bình
-
7:54 - 7:57của hàm số, vậy sẽ có 1 điểm c mà tại đó
-
7:57 - 8:00g của c, hay
-
8:00 - 8:02hàm số tính tại điểm đó
-
8:02 - 8:06sẽ bằng với giá trị trung bình, hoặc 1 cách nghĩ khác là
-
8:06 - 8:18nếu mình vẽ đồ thị hàm số g của x,
-
8:18 - 8:23đây là trục x, và đây là trục y,
-
8:23 - 8:26đây là đồ thị của y bằng g của x, cũng chính là
-
8:26 - 8:30f phẩy của x, nhưng ta đã viết lại
-
8:30 - 8:33dưới dạng giống với công thức giá trị trung bình
-
8:33 - 8:37và ta cũng xét khoảng từ a đến b,
-
8:37 - 8:42và ta cũng đã biết cách tính giá trị trung bình
-
8:43 - 8:47vậy giá trị trung bình có thể là ở ngay đây
-
8:47 - 8:52đó sẽ là g trung bình, vậy giá trị trung bình là cái này
-
8:52 - 8:54định lý giá trị trung bình của tích phân cho ta biết
-
8:54 - 8:59sẽ có 1 c mà tại đó hàm số
-
8:59 - 9:03có giá trị trung bình tại c, và c
-
9:03 - 9:07sẽ nằm trong khoảng.
- Title:
- Định lý giá trị trung bình cho tích phân
- Description:
-
Tại đây thầy Sal giảng qua mối liên kết giữa định lý giá trị trung bình và phép lấy tích phân.
Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-antiderivatives-ftc/ab-behavior-of-antiderivative/v/interpreting-behavior-of-antiderivative?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-antiderivatives-ftc/ab-average-value/v/calculating-function-average-over-interval?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusAB
AP Giải tích AB trên Khan Academy: Bill Scott sử dụng Khan Academy để dạy môn giải tích AP ở Phillips Academy tại Andover, Massachusetts, và việc giảng dạy đến từ đội ngũ của anh ấy đã hỗ trợ phát triển các bài giảng về giải tích AP của Khan Academy. Phillips Academy là một trong những trường đầu tiên dạy giải tích AP từ gần 60 năm trước.
Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.
Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything
Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 09:07
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Mean value theorem for integrals | |
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Mean value theorem for integrals | |
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Mean value theorem for integrals | |
![]() |
dungnguyen412 edited Vietnamese subtitles for Mean value theorem for integrals |