Sissejuhatus muutuse kiiruse probleemidest

Using derivatives to solve rate-of-change problems

Me oleme palju õppinud tuletiste kohta, ja nüüd me

kasutame neid, et lahendada midagi, mis on loodetavasti

kasulik.

Alustame ülevaatega ahela reeglist,

ma kirjutan selle teistmoodi.

Ütleme, et mul on funktioon f(g(x))

Me tegelikult kirjutan sellle viisil,

mis võib sulle algul võõras tunduda, aga ma arvan,et

väikese seletusega sa taipad, et see on

sama asi mis ahela reegel, mida me teame ja armastame. Tuletis,

ja ma vahetasin põhjuseta värvi.

Lihtsalt, et värvi vahetada.

Ma vahel teen seda.

Ma vahetan uuesti värve.

f(g(x)) tuletis on võrdne suhtega, misjuures

f muutub g suhtes.

Seega see on df-st, dg-ks korda suhe misjuures g muutub

x-i suhtes.

Nagu sa ütlesid Sal, see tundub täiesti võõras mulle.

Ja üks, sa võiksid mõelda, mida ma just ütlesin ja

ma arvan, et see peaks olema loogiline.

Või ma võin selle ümberkirjutada traditsioonilisele

ahela reegli kujulu.

Ja see pole tegelikult traditsiooniline.

See, mida ma kirjutasin, on traditsioonile, aga viisil

kuidas ma sind õpetasin.

Viis, kuidas ma sind õpetasin, mis on f-i muutus

g suhtes?

See on lihtsalt f primm(g(x)) korda -- ja mis on

suhe, misjuures g muutub x-i suhtes?

See on lihtsalt g primm(x)

Ma loodan, et see tundub loogiline sulle et need on lihtsalt

kaks erinevat viisi ahela reegli kirjutamiseks.

Ma arvan, mis see oli, see on kas Lagrange või Leibniz-i

tähistus ja see on see teine kutt.

Aga ma unustaisn.

Ja see on tegelikult mõtekas ainult murru

vaatepunktis, et see tingimus ja too tingimuse taanduvad välja ja sa saad,

sa tead, et see on võrdne sellega suhtes, misjuures f muutub

x-i suhtes.

Nii et, see eest ära, kasutame seda, et lahendada

loodetavasti midagi korralikumat.

Ütleme, et mul on koonus.

Ütleme, see on üks nendest topsidest, mis sul on

veejahutis.

See on topsi ülemine

Ja ütleme, et klooni ükskõik, mis punktis,

koonuse raadiuse suhe kõrgusega -- kui see on

kõrgus, siis raadius on pool kõrgusest.

Ükskõik mis punktis.

Ja sa tead, et see on fikseeritud koonus, need on jooned, mis on mõlemal poool.

Seega suhe jääb

Seega lihtsalt, et algust teha millege --- võib-olla pole sa

seda kunagi

See aitab meid meie probleemiga hiljem.

Mis on maht -- ütleme, et ma täidan selle veega

kõrguseni h.

Ütleme, et see on koht kus veepiir on.

Aga see on koht, kus vesi on koonuse sees.

Mis on maht, järeldades, et kõrgus on h.

Järeldades, ütleme, et vett on 8 sentimeetrit.

Mis on veemaht, mille ma panen koonusesse?

Hea küll, kui sa seda ei tea ja ma mõnikord -- okei, tegelikult

hiljem kui me tegeleme teemaga: rotations of solid into integration modules

ma saan sulle seda tegelikult tõestada --- aga koonuse maht

on võrdne 1/3 alusel korda kõrgus, kus alus on

tegelikult, sa võid seda vaadata kui vee - ala

pinda.

Ja mis on alus?

See on lihtsalt võrdne maht võrdne 1/3-ga.

Alus on võrdne pi korda r ruudus, kus on raadius.

Ja see on puhas geomeetriline ülevaade.

Ja mis siinjuhul on raadius?

See on 1/3 pii r ruudus korda h.

Ja selles näites ma ütlesin, et raadius on

pool kõrgusest.

Seega see on võrde 1/3 pii 1/2 kõrgusest -- ma lihtsalt asendasin selleˇ

r ruudus asemele -- korda h.

Me ei ole veel mingeid arvutusi teinud.

See on lihtsalt raske -- mis raske tegelikult --- lihtsalt

natuke liiga puhas geomeetria.

Ja kui me lihtsustame seda, me saame et maht on võrdne --- vaatame.

Meil on 1/2 ruudus on 1/4 korda 1/3 on võrdne 1/12 pii, ja

siis h ruudus korda h, h kolmandaks.

Väga huvitav. Nüüd alustame mõnede arvutustega.

Ma arvan, et see võib su hulluks ajada.

Ütleme, et ma valan vett sellesse topsi kiirusel 1

kuupsentimeeter sekundis.

Mõnikord arstid

või õed ütlevad 1 cc, ja see on ka võrdne

1 millimeetriga.

Lihtsalt teisel kujul, aga mulle meeldib jääda

sentimeetrit sekundis - juurde sest me

hakkame töötama sentimeetritega mitmetes dimensioonides.

Aga ütleme, et ma valan vett 1 sentimeeter sekundis

siia topsi.

Ja ma tahan teada -- see on huvitav küsimus -- kui kiiresti

vee tase tõuseb.

Kui kiiresti h muutub, vee kõrgus,

momendil, kui h on võrde 2 sentimeetriga.

Kuidas me teeme seda?

See annab meile staatilise pildi, kas kui me teame kõrgust

saame välja mõelda mahu.

Kui me selle välja mõtleme, kui me võtame muutuse kiiruse

aja suhtes selle võrrandi mõlemad pooled,

võib juhtuda midagi huvitavat.

Seega võtame tuletise aja suhtes

mõlemal pool.

Seega mahu tuletis aja suhtes.

See on lihtsalt

ja mis on tuletise ajasuhtes

selle võrrandi mõlemast poolest?

See on suhe, milles v muutub h

See on v kui funktsioon h-st eks?

Seega see saab olema dv kui funktsioon - kui kiiresti

v muutub h suhtes -- korda kui kiiresti h

muutub t suhtes.

See on tavaline ahela reegel siin üleval.

Ma tahan, et sa mõtleksid sellest natuke.

See ei pruugi olla ilmselge aga kõik, mida me teeme

on ahela reegel.

See on natuke segadust tekitav, sest mul polnud t-sid selles võrrandis

enne ja järsku võtan tuletisi

t suhtes.

Aga ütleme, et h on tegelikult funktsioon t,

mida sa tead.

Lahendame selle lihtsalt.

Seega dv ---- tuletis v-st t suhtes -- on võrdne

tuletisega v-st h suhtest.

See on lihtne.

Tuletis v-st h suhtes on lihtne.

Nii, 3 korda 1/12, see on 3/12.

See on 1/4 pii, seega me võime lihtsalt kirjutada pi 4h-ruudus kohale.

See on see

Ja selles osas --- vaata, ma saan ümber kirjutada

teise värviga dh/dt, korda

Mis sa nüüd teinud oled?

Ma ütlesin, et suhe, milles maht muutub aja suhtes

on võrdne pii kohal 4 korda kõrgus ruudus korda

suhe, milles kõrgus muutub aja suhtes.

Kas sa saad selle meie eest

Mida me teame?

Me teame, et kiirust, millega maht muutub

aja suhtes

1 sentimeeter kuubis sekundi-ruudus jooksul

Me võiksime öelda, et dv/dt on võrdne 1-ga.

Ma proovin ühikutest lahti saada.

Paljud füüsika õppejõud kortsutaksid kulmu.

Aga 1 sentimeeter kuubis sekundis on võrdne pii kohal 4.

See on v suhe, kus maht muutub

aja suhtes.

pi kohal 4h ruudus.

Me teame, mis h praegu on. h on 2, seega

see on 2 ruudus korda 4.

Me ütlesime, et kõrgus on 2, seega 2 ruudus

on 4 korda

Seega see taadnub välja ja me saame, et 1 on võrdne pii korda dh/dt.

Me lahendame dt/dt suhtes, me saame ---- las ma teen kindlaks,

et ma ei aja sind segadusse.

Suhe, kus vee kõrgus muutub

suhtes ajaga on 1 kohal pii.

Hämmastav.

Või 1 kohal pii sentimeetrit sekundis.

Me saame välja mõelda, mis number see on, see

peaks olema umbes 0.3.

Seega 0.3 midagi sentimeetrit sekundis on kiirus, kus

vee tase muutub kui ma lisan mahule

1 kuupsentimeetri sekudis.

Ma arvatavasti ajasin sind segadusse.

Sa võid tahta seda uuesti vaadata.

Ma teen sellest teemas paar videot veel,

sest need kipuvad inimesi segadusse ajama, aga

kui sa nippi kätte saad, ma arvan, et sa näed,

et need pole üldse nii hullud.

Näeme järgmisel presentatsioonil.

dh/dt.

dh/dt.

dv/dt.

fikseerituks.

lahendada?

osa.

osa.

suhtes.

õppinud.