ES CAP02 2025 VA01 DISTRIBUICOES DE FREQUENCIAS SEM CLASSES COM CLASSES

Quando nós trabalhamos
com dados estatísticos,

em muitas situações, nós temos
um grande número de dados,

um grande número de informações
que foram obtidas na pesquisa,

são os dados que foram
levantados na pesquisa,

a gente usa esse termo,
é o levantamento de dados,

as informações que foram
coletadas em uma certa pesquisa.

E para facilitar a visualização,
ou mesmo para resumir,

a gente utiliza
tabelas de dados.

Essas tabelas nos ajudam
a entender de forma mais rápida

ou compreender um pouco
melhor aqueles dados

que foram obtidos na pesquisa.

Nós temos dois
tipos de tabelas:

as tabelas sem classes
e as tabelas com classes.

Essas tabelas são chamadas
de distribuições de frequências

na linguagem estatística, aqui
utilizando um termo mais técnico.

Vamos ver exemplos desses dois tipos
de distribuições de frequências

e a gente continua esclarecendo
um pouco melhor esse tema,

as chamadas distribuições
de frequências.

Nesse exemplo aqui,

nós temos uma distribuição
de frequência simples.

Observe que, aqui na primeira
coluna, nós temos algumas idades

de um determinado grupo
de pessoas, e essas são as idades,

por exemplo, em anos, 21 anos,
22 anos, até 26 anos.

E, nessa segunda coluna,
nós temos as frequências

com as quais essas idades foram
observadas nesse grupo de pessoas.

Por exemplo, nesse grupo de pessoas
aqui, tem uma pessoa com 21 anos,

tem três pessoas que cada
uma delas tem 22 anos.

Por exemplo, aqui, nessa tabela,
a gente tem cinco pessoas,

de forma que cada
uma dessas cinco pessoas

possui 24 anos
e assim por diante.

Três pessoas, cada
uma delas com 26 anos.

Esse tipo de tabela, então,

nós chamamos de distribuição
de frequência simples.

Repare que, na primeira coluna,

que é a coluna
da variável de pesquisa,

nós não temos faixas
etárias, por exemplo,

nós não temos
aqueles intervalos

que nós observamos
em alguns tipos de tabelas.

Por exemplo, uma faixa
etária seria algo do tipo

idade variando de 21 anos
até 25 anos.

A gente poderia ter
uma faixa etária aqui,

eu poderia ter uma tabela
com faixas etárias.

Justamente, uma tabela
com faixas etárias

é uma tabela
que a gente chama

de distribuição de frequências
com classes,

não é o caso dessa
tabela aqui.

Vamos ver, então, uma tabela
que apresenta classes,

é o próximo exemplo.

Aqui sim, veja que, nessa tabela,
nós temos três faixas etárias,

nós temos quatro pessoas
com idades entre 21 anos e 23 anos,

23 anos ainda
não completos,

sete pessoas com idades variadas
no intervalo de 23 anos, inclusive,

até 25 anos, e cinco pessoas
com idades variadas

no intervalo de 25 anos
a 27 anos.

Essa notação matemática
aqui da estatística

significa que o valor que está
à esquerda, no caso é o 21,

falando da primeira classe aqui,
o 21 está incluído na faixa de dados,

já o segundo valor
aqui, que é o 23,

como nós não temos
esse traço vertical,

nós entendemos que o 23
não está incluído.

Então, aqui nós temos quatro pessoas
com idades a partir de 21 anos,

mas essas pessoas ainda não
chegaram a completar os 23 anos.

As pessoas que já têm
os 23 anos completos

foram contadas nesse outro subgrupo
aqui, nessa outra faixa etária

que vai dos 23, aí sim, 23 anos
já completos, até os 25 anos,

mas veja que, no 25, nós não temos
a presença desse traço vertical,

indicando que o 25 não faz
parte dessa faixa etária.

Seria de 23 até 24 anos,
11 meses e 29 dias,

essas sete pessoas ainda não
chegaram a completar 25 anos.

Então, esse tipo de notação
estatística é muito usual.

Em vez de usar essa notação com
o traço vertical e o traço horizontal,

nós também podemos usar
essa outra notação: o colchete.

Nós dizemos que o colchete,
aqui, está fechado em 21

e o 23 nós podemos
deixar parênteses

ou também podemos
usar um colchete aberto.

Para exemplificar
um pouco melhor

esses dois tipos de distribuições
de frequências,

nós vamos utilizar o Excel e vamos
ver, então, exemplos de tabelas.

Então, observe que, nessa
tabela aqui, como exemplo,

nós temos o número de filhos por
funcionário, nessa primeira coluna,

e, na segunda coluna,

o número de funcionários
de uma determinada empresa.

Então, por exemplo,
aqui, eu vou considerar

alguns possíveis valores
para número de filhos,

por exemplo,
0 filhos, 1, 2, 3, 4, 5,

e, aqui, uma certa
quantidade de funcionários.

É só um exemplo, eu vou
deixar aqui valores aleatórios.

Vamos imaginar que a gente tem 40
funcionários que não possuem filhos,

32 funcionários com um filho,

aqui, por exemplo, 28
funcionários com 2 filhos.

Aí, aqui, a gente
tem uma queda

para 20 funcionários
que possuem 3 filhos,

12 funcionários com 4 filhos
e 4 funcionários com 5 filhos.

Nós podemos, também, fazer
a soma para verificar, opa,

aqui a soma, podemos
usar o SUM, no Excel,

e aí usando essa função SUM,
a gente faz o somatório

desses valores que estão
nessa coluna aqui.

Esse somatório é "136".

Então, nós podemos entender,
com essa tabela de dados,

que nós temos uma pesquisa que foi
realizada com 136 funcionários

de uma determinada empresa.

Nós também podemos interpretar
que esses 136 funcionários

representam uma amostra

de uma população
de funcionários dessa empresa.

Um exemplo: essa empresa pode
ter milhares de funcionários

e aqui nós temos uma amostra
de 136 funcionários.

Lembrando que amostra
é um subconjunto

de uma população
de dados estatísticos.

Aqui é importante a gente
compreender também,

ao ler a tabela, que nós estamos
dizendo que há 20 pessoas,

por exemplo, de maneira
que cada uma dessas pessoas,

cada um desses funcionários
possui 3 filhos.

Então, aqui no acumulado, nós
podemos dizer que tem 20 vezes 3,

a gente tem 60 filhos aqui,
digamos, no acumulado,

são 20 onde cada
um possui 3 filhos.

É importante a gente
ter essa interpretação.

Nós podemos, ainda, detalhar
um pouco mais essa tabela

organizando ela
em duas colunas.

O número de filhos por funcionário
representa, para nós,

a chamada variável de pesquisa,
ou seja, é o tema da pesquisa.

O objetivo da pesquisa
é fazer uma análise

sobre o número de funcionários,

ou, melhor dizendo, sobre
o número de filhos por funcionário.

Nós queremos saber se esse
número de filhos está aumentando

ou se está diminuindo,
eventualmente.

Então, aqui, nós também podemos
representar dessa forma, "x1= 0".

Esse "1" aqui, se você quiser, você
pode deixar na forma de índice,

selecionando apenas o algarismo
1 aqui, apenas o número 1,

em seguida, você
vem aqui em fonte

e aí você pode deixar
como subscrito,

Dessa forma, o 1 fica pequeno,
fica na parte inferior direita.

A gente está dizendo
aqui que o x1 é igual a 0.

Veja que aqui,
genericamente,

a gente representa a variável
de pesquisa como "xi".

Essa letra "i" é associada à palavra
"índice", então é x índice 1,

Ou seja, o primeiro valor
da variável de pesquisa é 0,

o x1 é igual a 0.

Aqui, nós podemos continuar,
então, indicando, "x2 = 1",

depois "x3 =2", "x4 = 4",
opa, o "x4 = 3", corrigindo.

Em seguida, você tem
o "x5 = 4" e o "x6 = 5".

Então, nós temos seis valores
para a variável de pesquisa aqui.

Vamos deixar, então,
todos aqui subscritos,

podemos então fazer assim,
subscrito e, dessa forma,

nós estamos indicando
os respectivos índices.

O quarto valor da variável
de pesquisa é o número 3,

por exemplo.

O quinto valor da variável
de pesquisa é o valor "4", 4 filhos,

e o sexto o valor
da variável de pesquisa

é o valor "5",
ou seja, 5 filhos.

Nessa coluna aqui, nós vamos
detalhar um pouco melhor

as chamadas frequências
absolutas.

Nós dizemos que são
frequências absolutas

porque não são porcentagens, aqui,
por exemplo, não é 40%, não é 20%,

é 40 funcionários de um grupo
de 136 funcionários,

é o número absoluto
de funcionários,

não o número percentual, daí
o termo "frequência absoluta".

Então, aqui, para se referir
às frequências,

nós usamos, genericamente,
a sigla "fi"

e nós podemos, então, especificar
como sendo a frequência número 1.

A frequência número 1, aqui,
é o 40, podemos deixar assim?

Subscrito e, dessa
forma, eu vou indicar

cada uma das demais
frequências aqui da tabela.

A frequência número 2 é o valor 32,
a frequência número 3 é o valor 28,

como vocês podem observar
aqui na segunda coluna,

a frequência número 4
é o valor 20,

a frequência 5 é o valor 12
e a frequência 6 é o valor 4.

Aqui, nós vamos deixar esses valores
indicados na forma de índice

e o índice é indicado
na parte inferior direita.

Quando o valor, quando
o número fica indicado

na parte superior direita,
a gente chama de expoente.

Imagine só, f ao cubo,
por exemplo,

f elevado à quarta potência,
fica o quatro pequeno,

reduzido na parte
superior direita.

Quando o valor é indicado na parte
inferior à direita da letra,

a gente chama isso de índice.

É um detalhe aqui e faz parte
dessa comunicação, da linguagem,

da representação
estatística, tudo bem?

Então, aqui, a gente diz que
é f índice 6 é igual a 4.

Portanto, aqui nós acabamos
por detalhar um pouco melhor

essa tabela que foi
apresentada para nós.

Geralmente a tabela é apresentada
assim de maneira mais simples

e aqui é uma percepção
mais aprofundada,

inclusive para que a gente
possa utilizar fórmulas

ou que a gente possa implementar
isso em termos computacionais,

usando linguagem
matricial, por exemplo.

Nós vimos um exemplo

com distribuições
de frequências sem classes.

Vamos ver agora um exemplo,
utilizando Excel,

de uma distribuição
de frequências com classes.

Nesse exemplo aqui nós temos
então uma tabela

onde na primeira coluna
nós temos possíveis salários

mensais brutos em reais
e aqui o número de funcionários.

Por exemplo,
aqui nós podemos criar uma classe

onde os salários começam
a partir de 2.400 R$, por exemplo.

E aqui o valor.

Vamos imaginar que ele vai até 3.200 R$.

Aqui nós usualmente deixamos o colchete
aberto.

Veja que tradicionalmente essa aqui

é a posição convencional
de dois colchetes.

Aqui a gente diz que os dois colchetes
estão fechados

dessa forma que o representa
e aqui o primeiro colchete está fechado.

Isso é uma maneira de incluir o valor

e o segundo colchete está aberto.

Então, aqui o segundo colchete
e vamos deixar aqui de uma outra cor.

Veja que ele está em vermelho.

Ele está numa posição diferente
da posição convencional dos colchetes.

Essa notação é uma maneira
de dizer que nós temos, por exemplo, aqui

30 funcionários que recebem salários
variados

dentro da faixa de 2400
a 3 1.200 R$, de maneira que

essa faixa

salarial, na verdade
ela começa exatamente em 2.400 R$

e ela vai até 3.199 R$,

um vírgula 0,99 €,
mas não chega aos 3.200 R$.

A quem ganha exatamente 3.200 R$

será comprado na próxima faixa de dados,

que vai de 3200 até 4.000 R$.

Aqui, por exemplo, vamos imaginar
que a gente tem aqui 25 funcionários.

Então veja só, aqui
nós temos 25 funcionários com salários

variados, começando a partir de 3.200 R$

até 4.000 R$ exclusive.

Então são termos que são utilizados.

O colchete fechado
é uma forma de dizer que O31200 está

incluído, ou seja, inclusive 3200
é o colchete aberto.

É uma maneira de dizer que O41000
não está incluído nesse intervalo.

Na verdade, vai de 3200 até 3.999,99.

De maneira
então que a gente diz que 4000 é exclusive

exclusive 4000,
temos 25 pessoas que recebem salários

variados, de 3200 a 4 1.000 R$, 3200,
inclusive 4000, exclusive.

Observe também que nessa tabela aqui

nós temos essa variação
dentro dessa faixa salarial aqui.

Veja que a diferença 4000 -3200
é de 800 R$.

Esses 800 R$, essa diferença 4000 -3200

é o que nós chamamos
de amplitude, por exemplo.

Então veja que aqui nós podemos

então considerar que nós temos um exemplo
onde se você faz a diferença

entre 3200 e 2400,

você vai chegar no valor 800.

E nós dizemos que esse 800
é o valor da amplitude.

Nesse caso, todas as tabelas possuem
ou todas as faixas.

Todas as faixas irão possuir
amplitude 800.

Vamos construir aqui mais algumas faixas.

Então, considerando esse padrão aqui,

onde o próximo valor é O41000,

aí nós vamos somar 800, vai para 4800.

Dessa forma, a gente vai construindo aqui
inúmeras faixas salariais.

Aqui vai de 4800 a 5 e 600.

Aqui já começa a partir de 5600

e vai até somando 806.400 exclusive O61400

aqui começa a partir de seis e 400
e vai até sete 200.

Aqui nós começamos em sete 200.

Isso aqui vai até 8000.

É a última faixa aqui salarial.

A última classe de salários começa em

8000 e termina aqui em 8800.

Aqui nós estamos deixando alguns valores

como exemplo, alguns valores aleatórios
aqui em cada uma dessas faixas.

Imagine então que aqui
seja, por exemplo, 22 aqui, 20,

17, 12, 08h05, por exemplo,

vamos achar seis aqui.

Assim, a gente tem então 140 funcionários

que participaram de uma certa pesquisa.

E essa pesquisa então foi pago Lada

e foi representada
então, por meio dessa tabela de dados.

Essa tabela de dados e que nós chamamos
de distribuição de frequências.

Quando nós usamos nas tabelas
o recurso de faixas

salariais, por exemplo,
ou faixas etárias, por exemplo,

nós estamos trabalhando
com classes de dados estatísticos.

Veja que nessa tabela nós temos
uma, duas, três, quatro, cinco, seis,

sete, oito faixas salariais, isto é,

oito classes de dados

cada uma das classes
e possui o limite inferior,

que é genericamente representado
pela letra L minúscula e o limite

superior, que é tradicionalmente indicado
com a letra L maiúscula

é a diferença entre o limite

superior e o limite inferior

da classe de cada classe.

Fornece para nós um elemento
que nós chamamos de amplitude de classe,

que é representado pela letra
H tradicionalmente.

Aqui.

Então, a amplitude da classe
é a diferença entre o limite superior

e o limite inferior de uma determinada
classe.

É muito usual.

Nós trabalhamos com tabelas
nas quais as classes

apresentam as as classes.

Todas as classes apresentam
a mesma amplitude.

Se você observar aqui,
todas as classes aqui

apresentam amplitude 800.

Entretanto, é possível.

Nós trabalhamos com tabelas
nas quais as amplitudes sejam diferentes

e a gente pode justificar isso
de alguma forma.

Nesse último exemplo
que nós desenvolvemos.

Observe que todas as classes apresentam

a mesma amplitude que a amplitude 800

em desafio

na organização
de distribuição de frequências com classes

é justamente decidir
qual será a amplitude da classe.

Como é que a gente faz para saber,
digamos, qual é a amplitude que nós vamos

adotar, se vai ser amplitude 800

Como nós vimos no exemplo anterior
ou se vai ser uma outra amplitude.

Na verdade,
nós não temos nenhuma regra fixa,

mas há algumas sugestões
que são utilizadas ou são tradicionalmente

utilizadas em estatística
para definir a amplitude que será adotada

nas classes que você vai organizar
numa tabela que você vai preparar

a partir de dados estatísticos
que foram coletados numa certa pesquisa.

Vamos observar então quais são
esses, essas sugestões, esses modelos

estatísticos.

Então, para determinar o número de classes
que você vai utilizar

e também a amplitude da classe,
o intervalo de classe.

Nós não temos regras rígidas, mas
nós podemos adotar alguns parâmetros aqui.

Então são dois desafios.

O primeiro é a gente não escolher
um número muito pequeno de classes,

porque senão amplitude
vai ficar muito grande ou o contrário.

E eventualmente eu posso deixar uma tabela
com muitas classes de amplitudes

muito pequenas
e também pode não ser conveniente

para isso.

Então nós temos duas sugestões

para definir então a amplitude da classe.

Temos um elemento aqui
que é um elemento auxiliar na verdade,

nesse cálculo, que é o valor de cada,
esse cai e ainda não define.

Ele não é amplitude de classe,

mas ele vai nos ajudar
a calcular a amplitude da classe.

Então nós temos dois modelos estatístico
que são utilizados.

Podemos escolher qualquer um deles

e dependendo do caso,
a gente pode justificar

porque a gente preferiu, preferiu um
ou preferiu o outro.

Então, a primeira sugestão para o cálculo
do valor cai, que é uma constante.

Auxiliar
é você fazer um somado com 3,322 vezes

o logaritmo de n na base dez
e se n que aparece aqui

é o número de elementos
da sua amostra da sua base de dados.

Uma segunda
opção para determinar o valor de K

é você fazer a raiz quadrada do N.

A raiz quadrada
do número de elementos da amostra.

Uma vez que você determina

o valor dessa constante auxiliar,
você vai aplicar

um outro modelo estatístico que aí sim,

vai determinar o valor da amplitude.

Para calcular a amplitude

de cada uma das classes da sua tabela.

Você então faz esse essa fórmula e aqui
você aplica essa forma aí

a gente considera o maior valor
que apareceu na sua base de dados,

o x máximo ali,

menos o x mínima, isto é, o menor valor
que apareceu na sua pesquisa.

Faz essa diferença aqui.

Essa diferença
nós chamamos de amplitude total.

É o maior valor que apareceu na pesquisa,

menos o menor valor
que apareceu na pesquisa.

E aí essa diferença
você divide justa pelo valor de K

que você poderá ter obtido.

De uma dessas formas, você escolhe

uma vez, então, que você

determinou k,
é que você determinou a amplitude.

Aí sim você começa
a organizar as classes de dados,

que é organizar a sua distribuição
de frequências.

Consequentemente.

Vamos ver então aqui um exemplo.

Veja só.

Nesse caso aqui a gente tem 50 dados
que foram coletados sobre poluição sonora.

Aqui as medidas estão em decibéis

e aqui nós temos então essa,
essa grande quantidade de dados,

isto é, 50 valores que foram obtidos
numa certa pesquisa.

Agora, nós queremos organizar
a partir desses dados brutos,

uma tabela de dados com classes.

Para isso, nós vamos ter que definir
quantas classes nós vamos utilizar

e qual será a amplitude
de cada uma dessas classes.

Para determinar
então um número de classes,

nós vamos optar por utilizar essa fórmula
para o cálculo de K.

Como nós vimos, há uma outra forma
também que pode ser utilizada

nessa opção de
fórmula aqui para determinar o valor de K,

que é o número de classes
que você vai organizar, você fará.

Você deve fazer a raiz quadrada
do número de elementos da sua amostra.

No exemplo que nós estamos falando,
foram coletados

50 valores, 50 medições foram feitas.

Então nós vamos fazer a raiz quadrada
de 50, que vai dar aproximadamente 7,071.

E aí nós podemos arredondar para o próximo

número inteiro
aqui, para o número inteiro mais próximo.

Então, veja
só o número inteiro mais próximo de 7,077.

Então nós vamos organizar uma tabela
com sete classes de dados.

Veja.

Assim você tem um referencial estatístico
para definir

quantas classes você vai ter
na tabela de dados que você vai organizar.

Repare que o número de classes,
então, não é obtido de maneira aleatória.

Você tem um modelo estatístico
que define essa quantidade de classe.

Uma vez que você já sabe
a quantidade de classes,

você vai calcular agora
qual será a amplitude

de cada uma dessas classes
para calcular amplitude.

Vamos fazer então

o maior valor que apareceu na pesquisa
naquela tabela do slide anterior.

O maior valor que apareceu foi o 71,9

e o menor

valor que apareceu na pesquisa foi o 58.

Então eu tenho uma base de dados
com 50 valores que foram coletados.

O maior valor que apareceu foi 71,9
e o menor valor

que apareceu nessa base de dados
aqui de 50 valores foi 58.

Fazendo essa subtração dá 13,9
e você divide pelo valor.

Dica já arredondado aqui para sete

essa divisão vai dar aproximadamente dois.

Isso significa que nós vamos organizar
sete classes,

isto é, sete faixas de amplitude,
dois vez de.

Então, como fica essa tabela?

Como nós podemos notar, o menor valor
que apareceu na pesquisa foi 58.

Então a nossa primeira faixa de decibéis
aqui começa em 58

e a amplitude da classe é dois, o valor
que a gente obteve aqui no slide anterior.

Então você faz 58 mais dois
que a amplitude

e assim você tem 60 decibéis,

de maneira que a primeira
faixa aqui vai de 58 a 60.

E aí nós vamos na tabela verificar

quantos valores que foram
obtidos na pesquisa

ficam dentro dessa faixa,
que vai de 58 a 60.

Fazendo essa contagem lá naquela tabela
a gente percebe que tem aqui

cinco valores que ficam dentro dessa faixa

e dessa maneira a gente continua
a organizar as demais faixas aqui,

de 58 a 60.

Aí terminam em 60, começa em 60,

aqui vai até 62,
já que a amplitude é dois,

então de 62A6464A66, até chegarmos aqui

na última faixa, que vai de 70 a 72.

Repare aqui que você tem

sete classes de dados,

que é justamente o valor de K
que você obteve aqui.

O valor arredondado de K.

Repare também
que cada uma das classes tem amplitude.

Dois Observe aqui
Cada uma das classes tem amplitude dois.

Então é dessa

forma que a amplitude de classe é definida
é que a quantidade

de quantidade de classes também é definida
para uma determinada base de dados.

Veja que, por exemplo, aqui,
observando a tabela, a gente notou que há

15 valores que estão dentro dessa faixa
aqui,

que vai de 66 a 68 decibéis.

Aqui, no contexto que nós estamos falando,

quando você soma
cada uma dessas quantidades

que são chamadas de frequências absolutas,
você vai ter

então um total de 50 observações.

Afinal de contas, foram 50 medições, 50
dados foram levantados.

Observe que
então você tem uma modelagem estatística

que permite
que você possa organizar as faixas

não de forma aleatória,
mas de uma maneira organizada, planejada,

projetada por meio de modelos
estatísticos.

Com esse exemplo,
nós podemos notar que o número de classes

que você tem numa tabela
e também a amplitude de cada classe

não são valores obtidos de maneira
aleatória ou feitos de forma aleatória.

De qualquer forma, na verdade,
você tem modelos, fórmulas, estatísticas

que nos permitem definir

exatamente quantas classes
você vai ter numa tabela de dados

e também qual é a amplitude de cada uma
dessas faixas dessas classes de dados.

Então, basta utilizar os respectivos

modelos matemáticos
que nós apresentamos aqui para que você

então possa determinar o número de classes
que você vai trabalhar.

Tivemos então aqui a oportunidade
de conhecer esses dois tipos

de distribuições de frequências,
ou seja, esses dois tipos de tabelas.

As tabelas de dados estatísticos
então são organizadas

em dois grandes tipos,
mas temos as tabelas de dados

sem classes de dados,
sem faixas de valores, sem intervalos.

E temos as tabelas de dados,
as distribuições de frequências

que apresentam faixas de dados,
intervalos de dados, ou seja,

são as tabelas com classes.