ES CAP02 2025 VA01 DISTRIBUICOES DE FREQUENCIAS SEM CLASSES COM CLASSES

Quando nós trabalhamos
com dados estatísticos,

em muitas situações, nós temos
um grande número de dados,

um grande número de informações
que foram obtidas na pesquisa,

são os dados que foram
levantados na pesquisa,

a gente usa esse termo,
é o levantamento de dados,

as informações que foram
coletadas em uma certa pesquisa.

E para facilitar a visualização,
ou mesmo para resumir,

a gente utiliza
tabelas de dados.

Essas tabelas nos ajudam
a entender de forma mais rápida

ou compreender um pouco
melhor aqueles dados

que foram obtidos na pesquisa.

Nós temos dois
tipos de tabelas:

as tabelas sem classes
e as tabelas com classes.

Essas tabelas são chamadas
de distribuições de frequências

na linguagem estatística, aqui
utilizando um termo mais técnico.

Vamos ver exemplos desses dois tipos
de distribuições de frequências

e a gente continua esclarecendo
um pouco melhor esse tema,

as chamadas distribuições
de frequências.

Nesse exemplo aqui,

nós temos uma distribuição
de frequência simples.

Observe que, aqui na primeira
coluna, nós temos algumas idades

de um determinado grupo
de pessoas, e essas são as idades,

por exemplo, em anos, 21 anos,
22 anos, até 26 anos.

E, nessa segunda coluna,
nós temos as frequências

com as quais essas idades foram
observadas nesse grupo de pessoas.

Por exemplo, nesse grupo de pessoas
aqui, tem uma pessoa com 21 anos,

tem três pessoas que cada
uma delas tem 22 anos.

Por exemplo, aqui, nessa tabela,
a gente tem cinco pessoas,

de forma que cada
uma dessas cinco pessoas

possui 24 anos
e assim por diante.

Três pessoas, cada
uma delas com 26 anos.

Esse tipo de tabela, então,

nós chamamos de distribuição
de frequência simples.

Repare que, na primeira coluna,

que é a coluna
da variável de pesquisa,

nós não temos faixas
etárias, por exemplo,

nós não temos
aqueles intervalos

que nós observamos
em alguns tipos de tabelas.

Por exemplo, uma faixa
etária seria algo do tipo

idade variando de 21 anos
até 25 anos.

A gente poderia ter
uma faixa etária aqui,

eu poderia ter uma tabela
com faixas etárias.

Justamente, uma tabela
com faixas etárias

é uma tabela
que a gente chama

de distribuição de frequências
com classes,

não é o caso dessa
tabela aqui.

Vamos ver, então, uma tabela
que apresenta classes,

é o próximo exemplo.

Aqui sim, veja que, nessa tabela,
nós temos três faixas etárias,

nós temos 4 pessoas com idades
entre 21 anos e 23 anos,

23 anos ainda
não completos,

7 pessoas com idades variadas
no intervalo de 23 anos, inclusive,

até 25 anos, e 5 pessoas
com idades variadas

no intervalo de 25 anos
a 27 anos.

Essa notação matemática
da estatística

significa que o valor que está
à esquerda, no caso é o 21,

falando da primeira classe aqui,
o 21 está incluído na faixa de dados,

já o segundo valor
aqui, que é o 23,

como nós não temos
esse traço vertical,

nós entendemos que o 23
não está incluído.

Então, aqui nós temos 4 pessoas
com idades a partir de 21 anos,

mas essas pessoas ainda não
chegaram a completar os 23 anos.

As pessoas que já têm
os 23 anos completos

foram contadas nesse outro subgrupo
aqui, nessa outra faixa etária

que vai dos 23, aí sim, 23 anos
já completos, até os 25 anos,

mas veja que, no 25, nós não temos
a presença desse traço vertical,

indicando que o 25 não faz
parte dessa faixa etária.

Seria de 23 até 24 anos,
11 meses e 29 dias,

essas 7 pessoas ainda não
chegaram a completar 25 anos.

Então, esse tipo de notação
estatística é muito usual.

Em vez de usar essa notação com
o traço vertical e o traço horizontal,

nós também podemos usar
essa outra notação: o colchete.

Nós dizemos que o colchete,
aqui, está fechado em 21

e o 23 nós podemos
deixar parênteses

ou também podemos
usar um colchete aberto.

Para exemplificar
um pouco melhor

esses dois tipos de distribuições
de frequências,

nós vamos utilizar o Excel e vamos
ver, então, exemplos de tabelas.

Então, observe que, nessa
tabela aqui, como exemplo,

nós temos o número de filhos por
funcionário, nessa primeira coluna,

e na segunda coluna é
o número de funcionários

de uma determinada empresa.

Então, por exemplo,
aqui, eu vou considerar

alguns possíveis valores
para número de filhos,

por exemplo,
0 filhos, 1, 2, 3, 4, 5,

e, aqui, uma certa
quantidade de funcionários.

É só um exemplo, eu vou
deixar aqui valores aleatórios.

Vamos imaginar que a gente tem 40
funcionários que não possuem filhos,

32 funcionários com um filho,

aqui, por exemplo, 28
funcionários com 2 filhos.

Aí, aqui, a gente
tem uma queda

para 20 funcionários
que possuem 3 filhos,

12 funcionários com 4 filhos
e 4 funcionários com 5 filhos.

Nós podemos, também, fazer
a soma para verificar, opa,

aqui a soma, podemos
usar o SUM, no Excel,

e aí usando essa função SUM,
a gente faz o somatório

desses valores que estão
nessa coluna aqui.

Esse somatório é "136".

Então, nós podemos entender,
com essa tabela de dados,

que nós temos uma pesquisa que foi
realizada com 136 funcionários

de uma determinada empresa.

Nós também podemos interpretar
que esses 136 funcionários

representam uma amostra

de uma população
de funcionários dessa empresa.

Um exemplo: essa empresa pode
ter milhares de funcionários

e aqui nós temos uma amostra
de 136 funcionários.

Lembrando que amostra
é um subconjunto

de uma população
de dados estatísticos.

Aqui é importante a gente
compreender também,

ao ler a tabela, que nós estamos
dizendo que há 20 pessoas,

por exemplo, de maneira
que cada uma dessas pessoas,

cada um desses funcionários
possui 3 filhos.

Então, aqui no acumulado, nós
podemos dizer que tem 20 vezes 3,

a gente tem 60 filhos aqui,
digamos, no acumulado,

são 20 onde cada
um possui 3 filhos.

É importante a gente
ter essa interpretação.

Nós podemos, ainda, detalhar
um pouco mais essa tabela

organizando ela
em duas colunas.

O número de filhos por funcionário
representa, para nós,

a chamada variável de pesquisa,
ou seja, é o tema da pesquisa.

O objetivo da pesquisa
é fazer uma análise

sobre o número de funcionários,

ou, melhor dizendo, sobre
o número de filhos por funcionário.

Nós queremos saber se esse
número de filhos está aumentando

ou se está diminuindo,
eventualmente.

Então, aqui, nós também podemos
representar dessa forma, "x1= 0".

Esse "1" aqui, se você quiser, você
pode deixar na forma de índice,

selecionando apenas o algarismo
1 aqui, apenas o número 1,

em seguida, você
vem aqui em fonte

e aí você pode deixar
como subscrito.

Dessa forma, o 1 fica pequeno,
fica na parte inferior direita.

A gente está dizendo
aqui que o x1 é igual a 0.

Veja que aqui,
genericamente,

a gente representa a variável
de pesquisa como "xi".

Essa letra "i" é associada à palavra
"índice", então é x índice 1,

ou seja, o primeiro valor
da variável de pesquisa é 0,

o x1 é igual a 0.

Aqui, nós podemos continuar,
então, indicando, "x2 = 1",

depois "x3 =2", "x4 = 4",
opa, o "x4 = 3", corrigindo.

Em seguida, você tem
o "x5 = 4" e o "x6 = 5".

Então, nós temos seis valores
para a variável de pesquisa aqui.

Vamos deixar, então,
todos aqui subscritos,

podemos então fazer assim,
subscrito e, dessa forma,

nós estamos indicando
os respectivos índices,

o quarto valor da variável
de pesquisa é o número 3,

por exemplo.

O quinto valor da variável
de pesquisa é o valor "4", 4 filhos,

e o sexto valor
da variável de pesquisa

é o valor "5",
ou seja, 5 filhos.

Nessa coluna aqui, nós vamos
detalhar um pouco melhor

as chamadas frequências
absolutas.

Nós dizemos que são
frequências absolutas

porque não são porcentagens, aqui,
por exemplo, não é 40%, não é 20%,

é 40 funcionários de um grupo
de 136 funcionários,

é o número absoluto
de funcionários,

não o número percentual, daí
o termo "frequência absoluta".

Então, aqui, para se referir
às frequências,

nós usamos, genericamente,
a sigla "fi"

e nós podemos, então, especificar
como sendo a frequência número 1.

A frequência número 1, aqui,
é o 40, podemos deixar assim?

Subscrito e, dessa
forma, eu vou indicar

cada uma das demais
frequências aqui da tabela.

A frequência número 2 é o valor 32,
a frequência número 3 é o valor 28,

como vocês podem observar
aqui na segunda coluna,

a frequência número 4
é o valor 20,

a frequência 5 é o valor 12
e a frequência 6 é o valor 4.

Aqui, nós vamos deixar esses valores
indicados na forma de índice

e o índice é indicado
na parte inferior direita.

Quando o valor, quando
o número fica indicado

na parte superior direita,
a gente chama de expoente.

Imagine só, f ao cubo,
por exemplo,

f elevado à quarta potência,
fica o quatro pequeno,

reduzido na parte
superior direita.

Quando o valor é indicado na parte
inferior à direita da letra,

a gente chama isso de índice.

É um detalhe aqui e faz parte
dessa comunicação, da linguagem,

da representação
estatística, tudo bem?

Então, aqui, a gente diz que
é f índice 6 é igual a 4.

Portanto, aqui nós acabamos
por detalhar um pouco melhor

essa tabela que foi
apresentada para nós.

Geralmente a tabela é apresentada
assim de maneira mais simples

e aqui é uma percepção
mais aprofundada,

inclusive para que a gente
possa utilizar fórmulas

ou que a gente possa implementar
isso em termos computacionais,

usando linguagem
matricial, por exemplo.

Nós vimos um exemplo

com distribuições
de frequências sem classes.

Vamos ver agora um exemplo,
utilizando Excel,

de uma distribuição
de frequências com classes.

Nesse exemplo aqui,
nós temos uma tabela

onde, na primeira coluna, nós temos
possíveis salários mensais brutos,

em reais, e o número
de funcionários.

Por exemplo, aqui nós
podemos criar uma classe

onde os salários começam a partir
de R$ 2.400, por exemplo.

E, aqui, o valor, vamos
imaginar, vai até R$ 3.200.

Aqui, nós, usualmente,
deixamos o colchete aberto.

Veja que, tradicionalmente, essa
aqui é a posição convencional

de dois colchetes.

Aqui, a gente diz que os dois
colchetes estão fechados.

Dessa forma que eu
representei aqui,

o primeiro colchete
está fechado,

isso é uma maneira
de incluir o valor,

e o segundo colchete
está aberto.

Então, aqui, o segundo colchete,
vamos deixar de uma outra cor,

veja que ele está em vermelho,
ele está em uma posição diferente

da posição convencional
dos colchetes.

Essa notação é uma maneira de dizer
que nós temos, por exemplo, aqui,

30 funcionários que recebem
salários variados

dentro da faixa
de R$ 2.400 a R$ 3.200,

de maneira que essa
faixa salarial, na verdade,

começa exatamente em R$ 2.400
e ela vai até R$ 3.199,99,

mas não chega
aos R$ 3.200.

Quem ganha
exatamente R$ 3.200

será contado na próxima
faixa de dados,

que vai de R$ 3200
até R$ 4.000.

Aqui, por exemplo, vamos imaginar,
que a gente tem 25 funcionários.

Então, veja só, aqui nós temos 25
funcionários com salários variados

começando a partir de R$ 3.200
até R$ 4.000 exclusive.

Então, são termos
que são utilizados.

O colchete fechado é uma forma
de dizer que o 3.200 está incluído,

ou seja, inclusive 3.200,

e o colchete aberto é
uma maneira de dizer

que o 4.000 não está
incluído nesse intervalo,

na verdade, vai de 3.200
até 3.999,99,

de maneira, então, que a gente
diz que 4.000 é exclusive,

exclusive 4.000.

Temos 25 pessoas que recebem
salários variados

de R$ 3.200 a R$ 4.000,

R$ 3.200 inclusive,
R$ 4.000 exclusive.

Observe também que,
nessa tabela aqui,

nós temos essa variação
dentro dessa faixa salarial aqui.

Veja que a diferença, R$ 4.000
menos R$ 3.200, é de R$ 800.

Esses R$ 800, essa diferença
R$ 4.000 menos R$ 3.200,

é o que nós chamamos
de amplitude, por exemplo.

Então, veja que, aqui,
nós podemos considerar

que nós temos um exemplo
onde, se você faz a diferença

entre 3200 e 2400, você
vai chegar no valor 800

e nós dizemos que esse 800
é o valor da amplitude.

Nesse caso, todas as faixas
irão possuir amplitude 800.

Vamos construir aqui
mais algumas faixas, então,

considerando esse padrão aqui,
onde o próximo valor é o 4.000,

aí nós vamos somar
800, vai para 4.800.

Dessa forma, a gente vai construindo
aqui inúmeras faixas salariais.

Aqui vai de 4.800 a 5.600.

Aqui já começa a partir de 5.600
e vai até, somando 800, 6.400,

exclusive o 6.400.

Aqui começa a partir
de 6.400 e vai até 7.200,

aqui nós começamos em 7.200
e isso aqui vai até 8.000,

e a última faixa salarial,
a última classe de salários

começa em 8.000
e termina em 8.800.

Aqui, nós estamos deixando
alguns valores como exemplo,

alguns valores aleatórios
em cada uma dessas faixas.

Imagine, então, que aqui seja,
por exemplo, 22, aqui, 20,

17, 12, 8 e 5,
por exemplo.

Vamos deixar "6" aqui?

Assim, a gente tem,
então, 140 funcionários

que participaram
de uma certa pesquisa,

e essa pesquisa foi tabulada
e foi representada

por meio dessa
tabela de dados.

Essa tabela de dados

é o que nós chamamos
de distribuição de frequências.

Quando nós usamos nas tabelas
o recurso de faixas salariais,

por exemplo, ou faixas
etárias, por exemplo,

nós estamos trabalhando
com classes de dados estatísticos.

Veja que nessa tabela nós temos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 faixas salariais,

isto é, 8 classes de dados.

Cada uma das classes
possui o limite inferior,

que é genericamente representado
pela letra "l", minúscula,

e o limite superior,

que é tradicionalmente indicado
com a letra "L", maiúscula.

E a diferença entre o limite
superior e o limite inferior,

de cada classe, fornece
para nós um elemento

que nós chamamos
de amplitude de classe,

que é representado pela
letra "H", tradicionalmente.

Então, a amplitude da classe é
a diferença entre o limite superior

e o limite inferior
de uma determinada classe.

É muito usual nós
trabalhamos com tabelas

nas quais todas as classes
apresentam a mesma amplitude.

Se você observar aqui,

todas as classes apresentam
amplitude 800.

Entretanto, é possível nós
trabalhamos com tabelas

nas quais as amplitudes
sejam diferentes,

e a gente pode justificar
isso de alguma forma.

Nesse último exemplo
que nós desenvolvemos,

observe que todas as classes
apresentam a mesma amplitude

que é a amplitude 800.

Um desafio na organização
de distribuição

de frequências com classes

é justamente decidir qual
será a amplitude da classe.

Como é que a gente faz
para saber, digamos,

qual é a amplitude
que nós vamos adotar?

Se vai ser amplitude 800, como
nós vimos no exemplo anterior,

ou se vai ser
uma outra amplitude.

Na verdade, nós não
temos nenhuma regra fixa,

mas há algumas sugestões
que são utilizadas,

são tradicionalmente
utilizadas em estatística,

para definir a amplitude
que será adotada

nas classes que você vai organizar,
em uma tabela que você vai preparar

a partir de dados estatísticos
que foram coletados

em uma certa pesquisa.

Vamos observar, então,
quais são essas sugestões,

esses modelos estatísticos.

Então, para determinar o número
de classes que você vai utilizar

e também a amplitude da classe,
o intervalo de classe,

nós não temos
regras rígidas,

mas nós podemos adotar
alguns parâmetros aqui.

Então, são dois desafios:

o primeiro é a gente não escolher
um número muito pequeno de classes,

senão a amplitude vai ficar
muito grande, ou o contrário,

e, eventualmente, eu posso deixar
uma tabela com muitas classes

de amplitudes muito pequenas, o que
também pode não ser conveniente.

Para isso, então nós
temos duas sugestões

para definir a amplitude
da classe.

Temos um elemento aqui que é
um elemento auxiliar, na verdade,

nesse cálculo,
que é o valor de "k".

Esse "k" ainda não define,
não é amplitude de classe,

mas ele vai nos ajudar
a calcular a amplitude da classe.

Então, nós temos dois modelos
estatístico que são utilizados,

podemos escolher
qualquer um deles

e, dependendo do caso,
a gente pode justificar

porque a gente preferiu
um ou preferiu o outro.

Então, a primeira sugestão
para o cálculo do valor k,

que é uma constante auxiliar,

é você fazer "1 + 3,322.log(n)"
na base 10.

Esse "n" que aparece aqui

é o número de elementos da sua
amostra, da sua base de dados.

Uma segunda opção
para determinar o valor de k

é você fazer a raiz
quadrada do n,

a raiz quadrada do número
de elementos da amostra.

Uma vez que você determina
o valor dessa constante auxiliar,

você vai aplicar um outro
modelo estatístico que, aí sim,

vai determinar o valor
da amplitude.

Para calcular a amplitude de cada
uma das classes da sua tabela,

você faz essa formulinha aqui,
você aplica essa formulinha.

A gente considera o maior valor
que apareceu na sua base de dados,

o X máximo, menos o X mínimo,

isto é, o menor valor
que apareceu na sua pesquisa.

Faz essa diferença aqui.

Essa diferença, nós chamamos
de amplitude total,

é o maior valor que apareceu
na pesquisa,

menos o menor valor
que apareceu na pesquisa.

E aí, essa diferença você divide
justamente pelo valor de k,

que você poderá ter obtido de uma
dessas formas, você escolhe.

Uma vez que você determinou o k
e que você determinou a amplitude,

aí sim você começa a organizar
as classes de dados

e organizar a sua distribuição
de frequências, consequentemente.

Vamos ver, então,
aqui, um exemplo?

Veja só, nesse caso aqui,
a gente tem 50 dados

que foram coletados
sobre poluição sonora,

as medidas estão em decibéis

e aqui nós temos, então, essa
grande quantidade de dados,

isto é, 50 valores que foram
obtidos em uma certa pesquisa.

Agora, nós queremos organizar,
a partir desses dados brutos,

uma tabela de dados
com classes.

Para isso, nós vamos ter que definir
quantas classes nós vamos utilizar

e qual será a amplitude
de cada uma dessas classes.

Para determinar, então,
o número de classes,

nós vamos optar por utilizar
essa fórmula para o cálculo de k.

Como nós vimos,

há uma outra fórmula também
que pode ser utilizada.

nessa opção de fórmula aqui,
para determinar o valor de k,

que é o número de classes
que você vai organizar,

você deve fazer
a raiz quadrada

do número de elementos
da sua amostra.

No exemplo que nós
estamos falando,

foram coletados 50 valores,
50 medições foram feitas.

Então, nós vamos fazer
a raiz quadrada de 50,

que vai dar, aproximadamente,
7,071,

e aí, nós podemos arredondar
para o próximo número inteiro,

para o número inteiro
mais próximo.

Então, veja só, o número inteiro
mais próximo de 7,071 é o 7,

então nós vamos organizar
uma tabela com 7 classes de dados.

Veja, assim você tem
um referencial estatístico

para definir quantas
classes você vai ter

na tabela de dados
que você vai organizar.

Repare que o número de classes
não é obtido de maneira aleatória,

você tem um modelo estatístico

que define essa
quantidade de classes.

Uma vez que você já sabe
a quantidade de classes,

você vai calcular, agora,

qual será a amplitude
de cada uma dessas classes.

Para calcular amplitude,
vamos fazer, então,

o maior valor que apareceu
na pesquisa,

naquela tabela do slide anterior,
o maior valor que apareceu foi o 71,9

e o menor valor que apareceu
na pesquisa foi o 58.

Então, eu tenho uma base de dados
com 50 valores que foram coletados,

o maior valor que apareceu foi 71,9
e o menor valor que apareceu,

nessa base de dados aqui,
de 50 valores, foi o 58.

Fazendo essa subtração dá 13,9
e você divide pelo valor de k.

Já arredondado, aqui, para 7, essa
divisão vai dar, aproximadamente, 2.

Isso significa que nós
vamos organizar 7 classes,

isto é, 7 faixas
de amplitude 2.

Veja, então, como
fica essa tabela.

Como nós podemos notar,

o menor valor que apareceu
na pesquisa foi o 58,

então a nossa primeira faixa
de decibéis começa em 58,

e a amplitude da classe é 2,

o valor que a gente obteve
aqui no slide anterior.

Então você faz 58 mais 2,
que é a amplitude,

e, assim, você tem 60 decibéis,

de maneira que a primeira
faixa vai de 58 a 60.

E aí, nós vamos na tabela
verificar quantos valores

que foram obtidos na pesquisa
ficam dentro dessa faixa aqui

que vai de 58 a 60.

Fazendo essa contagem
lá naquela tabela,

a gente percebe que tem 5 valores
que ficam dentro dessa faixa

e, dessa maneira, a gente continua
a organizar as demais faixas.

De 58 a 60, aí terminou em 60,
começa em 60 aqui, vai até 62,

já que a amplitude é 2.

Então, de 62 a 64, 64 a 66, até
chegarmos aqui na última faixa,

que vai de 70 a 72.

Repare que você tem
7 classes de dados,

que é justamente o valor
de k que você obteve aqui,

o valor arredondado de k.

Repare, também, que cada uma
das classes tem amplitude 2,

observe aqui, cada uma
das classes tem amplitude 2.

Então, é dessa forma que
a amplitude de classe é definida

e que a quantidade de classes
também é definida

para uma determinada
base de dados.

Veja que, por exemplo,
aqui, observando a tabela,

a gente notou que há 15 valores
que estão dentro dessa faixa

que vai de 66 a 68 decibéis,

no contexto que nós
estamos falando.

Quando você soma cada
uma dessas quantidades

que são chamadas
de frequências absolutas,

você vai ter um total
de 50 observações,

afinal de contas, foram 50 medições,
50 dados foram levantados.

Observe que você tem
uma modelagem estatística

que permite que você
possa organizar as faixas

não de forma aleatória, mas
de uma maneira organizada,

planejada, projetada por meio
de modelos estatísticos.

Com esse exemplo, nós podemos
notar que o número de classes

que você tem
em uma tabela,

e também a amplitude
de cada classe,

não são valores obtidos
de maneira aleatória

ou feitos de forma aleatória,
de qualquer forma,

na verdade, você tem modelos,
fórmulas estatísticas

que nos permitem definir
exatamente quantas classes

você vai ter em uma tabela
de dados

e, também, qual é a amplitude
de cada uma dessas faixas,

dessas classes de dados.

Então, basta utilizar os respectivos
modelos matemáticos

que nós apresentamos aqui
para que você possa determinar

o número de classes
com que você vai trabalhar.

Tivemos aqui a oportunidade
de conhecer esses dois tipos

de distribuições de frequências,

ou seja, esses dois
tipos de tabelas.

As tabelas de dados
estatísticos, então,

são organizadas em dois
grandes tipos,

nós temos as tabelas de dados
sem classes de dados,

sem faixas de valores,
sem intervalos,

e temos as tabelas de dados,
as distribuições de frequências

que apresentam faixas de dados,
intervalos de dados, ou seja,

são as tabelas com classes.