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Vamos a aprender un poco sobre la ley de los grandes números
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la cual se encuentra en muchos niveles, una de las leyes más intuitivas
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en matemáticas y en teoría de la probabilidad.
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Pero porque es tan aplicable a tantas cosas, es a menudo
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una ley mal utilizada o a veces, ligeramente malinterpretado.
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Tan sólo para ser un poco formal en nuestras matemáticas,
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primero, permítanme simplemente definirla y
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luego, hablaremos un poco sobre su intuición.
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Así que definimos una variable aleatoria, X.
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Y sabemos su valor esperado o su media poblacional.
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La ley de los grandes números dice que
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si tomamos una muestra n de observaciones de nuestra variable aleatoria,
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y si promediaramos todas esas observaciones
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permítanme definir otra variable.
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Llamemos a esta X sub n con una línea encima.
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Esta es la media de n observaciones de
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nuestra variable aleatoria.
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Por lo que es, literalmente, esta es mi primera observación.
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Por lo que se puede decir: yo corro el experimento una vez y
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recibo esta observación y al ejecutarlo de nuevo, me da esta observación.
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Y sigo reptiendolo n veces
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Y luego lo divido por mi número de observaciones.
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Así que esta es mi media muestral.
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Esta es la media de todas las observaciones que he hecho.
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La ley de los grandes números sólo nos dice que lo que significa mi media muestral
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se acercará al valor esperado de mi variable aleatoria.
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O también podría escribirla como si mi media muestral acercará a
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mi media poblacional cuando n tiende a infinito.
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Y voy ser un poco informal con lo que significa acercarse o lo
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qué significa la convergencia.
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Pero creo que tienes el sentido intuitivo general que
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Si tomamos una muestra suficientemente grande, voy a terminar
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obteniendo el valor esperado de la población en su conjunto.
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Y creo que para muchos de nosotros esto es algo intuitivo.
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Si hago suficientes repeticiones sobre grandes muestras, las repeticiones
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me darían los números que eran de esperar
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Dado el valor esperado y la probabilidad y todo eso.
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Pero creo que muchas veces es un poco incomprendido
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en términos de por qué esto sucede.
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Y antes de ir a eso dejenme darles
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un ejemplo concreto.
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La ley de los grandes números sólo nos dirá que si
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yo tengo una variable aleatoria -- X es igual al número de cabezas
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Después de 100 lanzamientos de una moneda
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de una moneda perfecta.
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En primer lugar, sabemos que el valor esperado de
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esta variable aleatoria es...
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Es el número de lanzamientos, el número de repeticiones
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las probabilidades de éxito de cualquier repetición.
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Será igual a 50.
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Por lo que la ley de los grandes números dice que si tuviera que tomar una muestra
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o si tuviera en promedio la muestra de un montón de estas repeticiones,
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así que ya sabes, me sale--mi primer tiempo ejecutar esta versión de prueba
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lanze 100 monedas o tener 100 monedas en una caja de zapatos y
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Agito la caja de zapatos y cuento el número de caras, y me da 55.
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Esto sería X1.
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Entonces agito la caja de nuevo y me sale 65.
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Entonces agito la caja de nuevo y me sale 45.
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Y hago esto n veces y luego divido por
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el número de veces que hice esto.
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La ley de los grandes números nos dice simplemente que la media
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la media de todas mis observaciones,
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va a converger a 50 en cuanto n se acerca a infinito.
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O para n que tiende a 50.
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Disculpen, n que tiende a infinito.
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Y quiero hablar un poco sobre por qué esto sucede
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o intuitivamente por qué es.
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Mucha gente dice: "Ah! esto significa que
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si después de 100 ensayos si estoy por encima del promedio, de alguna manera
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las leyes de la probabilidad me van a dar más caras
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o menos caras que reduciran la diferencia".
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Esto no exactamente lo que va a suceder.
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A menudo esto es llamado la falacia del jugador.
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Me gustaría diferenciar.
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Y voy a utilizar este ejemplo.
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Así que vamos a decir-- permítanme hacer un gráfico.
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Y cambiaré de colores.
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Esto es n, mi eje x es n.
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Este es el número de repeticiones que tomo.
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Y mi eje y, escojamos la media de la muestra.
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Y sabemos el valor esperado, sabemos que
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el valor esperado de esta variable aleatoria es 50.
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Permítanme dibujar esto aquí.
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Esto es 50.
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Así va el ejemplo que hice.
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Así que cuando n es igual a--Permítanme [INAUDIBLE]
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Así que mi primer repetición obtengo 55, lo que era mi promedio.
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Sólo tenía un dato.
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A continuación, después de dos repeticiones, veamos, entonces tengo 65.
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Y así mi promedio va a ser de 65 y 55 dividido por 2.
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que es 60.
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Entonces mi promedio subió un poco.
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Luego tuve un 45, que decrementará mi promedio
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un poco.
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No graficaré un 45 aquí.
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Ahora tengo que promediar todas estas.
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¿Cuanto es 45 mas 65?
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Permitanme obtener el número y así
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ustedes comprenderan.
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Así que es: 55 y 65.
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Es 120 mas 45 es 165.
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Dividido por 3.
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3 entra en 165 5--5 por 3 es 15.
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Es 53.
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No, no, no.
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55.
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Por lo tanto la media regresó a 55.
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Y podríamos seguir haciendo estos ensayos.
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Así que usted podría decir que la ley de los grandes números dice esto,
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OK, después de que hemos hecho 3 repeticiones y nuestro promedio esta allí.
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Así que mucha gente piensa que de alguna manera los dioses de la probabilidad
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van a hacer más probable que tengamos menos
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caras en el futuro.
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Que de alguna manera los próximos repeticiones van a tener que
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edisminuir para reducir nuestro promedio.
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Y este no es necesariamente el caso.
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En adelante las probabilidades serán siempre las mismas.
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Las probabilidades son siempre 50% que
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Voy a conseguir las caras.
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No es como que si yo tenía un monton caras para empezar o
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más caras de lo que hubiera esperado obtener,
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de repente comenzaría a obtener más sellos.
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Eso sería falacia del jugador.
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Que si tienes una racha larga de caras o tienes
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un número desproporcionado de caras, que en algún momento
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vas a tener-- una mayor probabilidad de tener
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un número desproporcionado de sellos.
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Y eso no es cierto.
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Lo que nos dice la ley de los grandes números es que no importa
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Supongamos que después de un número finito de repeticiones
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Su promedio en realidad--es una baja probabilidad de que esto ocurra,
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pero digamos que su promedio es realmente aquí.
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Realmente está en 70.
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Diras: "Wow! realmente nos separaron un buen poco de
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el valor esperado".
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Pero lo que la ley de los grandes números dice, bueno,
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No me importa de cuántas repeticiones sean estas.
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Aun tenemos un número infinito de repeticiones.
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Y el valor esperado para ese infinito número de ensayos,
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especialmente en este tipo de situación va a ser esto.
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Por lo que al promedio de un número finito que promedia a
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un número alto. Luego, infinitas repeticiones van a
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converger a esto. Con el tiempo regresaran
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al valor esperado.
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Esto fue una forma muy informal de describirlo,
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pero esto es lo que dice la ley de los grandes números.
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Y es algo importante.
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No está diciendo que si consigues un montón de caras
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de alguna manera la probabilidad de conseguir sellos va
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a aumentar para alcanzar el numero de cabezas.
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Lo que está diciendo, es que no importa lo que sucedió
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más de un número finito de repeticioens, no importa lo que la media sea
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en un número finito de ensayos, siempre tendrás
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un número infinito de repeticiones disponibles.
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Y si usted repite lo suficiente finalmente va a volver converger
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a su valor esperado.
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Y esto es algo importante para pensar.
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Pero esto no se utiliza en la práctica todos los días con la lotería y casinos
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porque ellos saben que si haces muestras suficientemente grandes
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y aún podríamos calcular
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Si haces muestras suficientemente grandes,
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¿Cuál es la probabilidad de que las cosas se desvíen significativamente?
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Pero los casinos y la lotería cada día funcionan sobre este principio
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que si llevas suficiente gente--seguro,
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en el corto plazo o con pocas muestras,
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algunas personas podrían batir la casa.
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pero en el largo plazo la casa siempre va a ganar
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debido a los parámetros de los juegos que
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que están haciendo jugar.
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De todas formas, esto es algo importante en la probabilidad y
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creo que es bastante intuitivo.
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Aunque, a veces cuando ves formalmente una explicacion
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con variables aleatorias y otros terminos,
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es un poco confuso.
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Todo lo que está diciendo es que al tomar más y más muestras,
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el promedio de esa muestra se va a
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aproximar al verdadero promedio.
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O debería ser un poco más concreto.
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La media de la muestra va a converger a
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la verdadera media poblacional o
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el valor esperado de la variable aleatoria.
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De todas formas, nos vemos en el siguiente video.
