Lei dos Grandes Números

Introdução à lei dos grandes números

Vamos aprender um pouco sobre a lei dos grandes números

que é em diversos níveis, uma das leis mais intuitivas

em matemática e em teoria da probabilidade.

Mas devido ao fato de que ela é aplicável a tantas coisas, é

uma lei mal utilizada, às vezes mal compreendida.

Então apenas para ser um pouco formal na nossa matemática,

deixe-me primeiro a definir para ti e

então falaremos um pouco sobre a intuição.

Então digamos que eu tenha uma variável aleatória, X.

E que nós conhecemos seu valor esperado e a média da sua população.

A lei dos grandes números apenas me diz

que se eu tiver uma amostra de n observações da nossa variável aleatória,

e se formos tirar a média de todas essas observações --

e deixe-me definir outra variável.

Vamos chamá-la Xn com uma linha em cima.

Esta é a média de n observações da

nossa variável aleatória.

Então literalmente esta é a minha primeira observação.

Então eu poderia dizer que eu fiz meu experimento uma vez e

que eu obtive esta observação e eu o fiz de novo, eu obtive esta observação.

E eu continuei fazendo por n vezes e então

eu dividi pelo meu número de observações.

Então esta é minha média amostral.

Esta é a média de todas as observações que eu fiz.

A lei dos grandes números apenas nos diz que minha média amostral

irá se aproximar do meu valor de esperança da variável aleatória.

Ou eu também a poderia escrever que minha média amostral iria se

aproximar da média da minha população quando n se aproximasse do infinito.

E eu serei um pouco informal em quê isso aproximaria ou

ou o que significa convergência?

Mas eu penso que você tem o senso intuitivo geral de que

se eu pegar uma amostra o suficientemente grande aqui eu irei terminar

por obter o valor de esperança de toda a população.

E eu penso que para muitos de nós isso é intuitivo.

Assim se eu fizer tentativas o suficiente que atinjam um grande número de amostras,

as amostras resultarão em números que eu poderia esperar

dado o valor esperado e a probabilidade de todas elas.

Mas eu penso que isso é um pouco mal compreendido

em termos do porquê isso acontece.

E antes de entrar neste tema, deixe-me lhe dar

um exemplo particular.

A lei dos grandes números apenas nos dirá -- deixe-me dizer

que eu tenha uma variável aleatória -- X igual ao número de caras

depois de 100 lançamentos de uma moeda justa -- lançamentos ou jogos

de uma moeda justa.

Antes de tudo, nós já sabemos neste caso qual o valor

esperado para esta variável aleatória.

Ele é o número de lançamentos, o número de tentativas vezes

as probabilidade de sucesso de qualquer tentativa.

Então isso é igual a 50.

Então a lei dos grandes números apenas me diz que se eu tiver que pegar uma amostra

ou se eu tiver que tirar a média amostral de um conjunto dessas tentativas,

com você sabe, eu pego -- na primeira vez eu faço essa tentativa

eu lanço 100 moedas ou tenho 100 moedas numa caixa de sapatos e

eu agito a caixa e conto o número de caras, e eu tenho 55.

Então este será X1.

Então eu agito a caixa novamente e tenho 65.

Então eu agito novamente e tenho 45.

E eu faço isso por n vezes e então eu divido isso

pelo número de vezes que eu fiz isso.

A lei dos grandes números apenas nos diz que esta média

a média de todas as minhas observações,

ira convergir para 50 quando n se aproximar do infinito.

Ou para n aproximar 50.

Desculpe-me, n aproximando o infinito.

E eu gostaria de lhe dizer um pouco mais porquê isso ocorre

ou intuitivamente porquê é assim.

Um bocados de pessoas tem o sentimento de que oh, isso significa que

se depois de 100 tentativas eu estiver acima da média que de alguma maneira

as leis da probabilide me irão dar mais caras

ou menos caras de alguma maneira para compensar a diferença.

Mas não é isso que irá ocorrer.

Isso é também conhecido como a falácia do jogador.

Deixe-me diferenciar.

E eu usarei este exemplo.

Então digamos -- deixe-me fazer um gráfico.

E eu mudarei de cor.

Este é n, meu eixo x é n.

Este é o número de tentativas que eu tenho.

E este é meu eixo y, e agora deixe-me fazer a média amostral.

E nós sabemos qual o valor esperado, pois sabemos

que o valor esperado nesta variável aleatória é 50.

Deixe-me desenhar isso aqui.

Isso é 50.

Apenas continuando com o exemplo que eu dei.

Então quando n se igualar a -- deixe-me apenas [INAUDÍVEL]

aqui.

Então na minha primeira tentativa eu obtive 55 e esta será também a minha média.

Eu tenho apenas este ponto de dado.

Então depois de duas tentativas, deixe-me ver, então eu obtive 65.

E então minha média será 65 mais 55 dividido por 2.

O que é 60.

E então minha média sobe um pouco.

Então eu tenho um 45, o que me fará a média

descer um pouco.

Eu não irei desenhar um 45 aqui.

Então eu tenho que tirar a média de todos eles.

Quanto é 45 mais 65?

Deixe-me apenas pegar um número e assim

eu irei ao ponto.

Então isso é 55 mais 65.

Isso é 120 mais 45 que é 165.

Dividido por 3.

3 está para 165 -- 5 vezes 3 é 15.

É 53.

Não, não, não.

55.

Então a média abaixa para 55.

E iremos continuar realizando estas tentativas.

Então você poderia dizer que a lei dos grandes números diria assim,

OK, depois de fazermos 3 tentativas e a nossa média encontra-se aqui.

Então muitas pessoas creem que de alguma maneira os deuses da probabilidade

irão fazer com que de alguma maneira eu tenha menos

caras no futuro.

Que de alguma maneira nas próximas tentativas eu irei ter que

ir para baixo aqui a fim de trazer a média para baixo.

Mas este não é necessariamente o caso.

Avançando as probabilidades serão sempre as mesmas.

As probabilidades serão sempre 50% de que

eu vá ter uma cara.

Isso não é como se se eu tivesse inicialmente uma série de caras ou

mais caras do que eu esperava inicialmente, que

de alguma maneira eu iria agora começar a ter mais coroas.

Esta é a falácia do jogador.

Que se eu tiver uma longa série de caras ou se eu tiver

um número desproporcional de caras, que em algum momento

nós iríamos ter -- você teria uma propensão maior a ter

um número desproporcional de coroas.

E isso não é verdade.

O que a lei dos grandes números nos diz e que isso não importa

Vamos supor que depois de um número finito de tentativas

sua presente média -- existe uma baixa probabilidade disso ocorrer,

mas vamos supor que sua probabilidade encontra-se neste momento aqui.

É neste momento 70.

Você é como se tivesse, uau, nós realmente divergimos um bocado

do valor esperado.

Mas o que a lei dos grandes números diz, bom,

não me importam quantas tentativas tenham ocorrido.

Nós ainda tempos um número infinito de tentativas por fazer.

E o valor da esperança para este número de tentativas infinitas,

especialmente neste tipo de situação será este.

Então quando você tiver na média de um número finito que

divirja em um valor elevado, mesmo assim um número infinito de tentativas

irá convergir para isto, com o passar do tempo, ele convergirá

de volta ao valor esperado.

E esta é uma maneira muito informal de descrever isso,

mas é o que a lei dos grandes números lhe diz.

E isso é uma coisa importante.

Ela não está lhe dizendo que se você tiver uma série de caras que

de alguma maneira a probabilidade de ter uma coroa

irá aumentar para de certa maneira compensar suas caras.

O que ela está dizendo é, não importa o que aconteceu

durante um número finito de tentativas, não importa a

media que você obteve em um número finito de tentativas,

você anida tem um número infinito de tentativas.

E se você fizer o suficente delas irá convergir novamente

para o seu valor esperado.

E esta é uma coisa importante para se pensar.

Mas isso não é usado na prática diária das loterias e cassinos

porquê eles sabem que se você fizer tentativas em número

grande o suficiente e nós podemos mesmo calcular

se você fizer tentativas suficientemente vastas,

qual a probabilidade de que isso se desvie significativamente?

Mas os cassinos e a loteria operam todos os dias neste princípio

de se você tiver número suficiente de pessoas -- seguramente,

a curto prazo ou após poucas tentativas,

algumas delas poderão levar o prêmio.

Mas a longo prazo a casa sempre irá ganhar

devido aos parâmentros dos jogos que

eles lhe convidam a participar.

De qualquer maneira, é uma coisa importante em probabilidade e

eu penso que é bem intuitiva.

No entanto, algumas vezes quando você vê isso explicado formalmente

como isso com variáveis aleatórias e isso aqui

é um pouco confuso.

Tudo o que isso está dizendo é que se você pegar mais e mais amostras,

a média das amostrais irá se

aproximar da média verdadeira.

Ou eu deveria ser um pouco mais exato.

A média da sua amostragem irá converger para

a média verdadeira da população ou

para o valor de esperança da variável aleaória.

De qualquer maneira, o vejo no próximo vídeo.