กฎของจำนวนมาก

บทนำเรื่องกฎของจำนวนมาก

ลองมาเรียนเรื่องกฎของจำนวนมาก (law of large numbers) สักหน่อย

มันคือกฎที่ตรงตามสัญชาตญาณที่สุดอย่างหนึ่งใน

คณิตศาสตรืและทฤษฎีความน่าจะเป็นทีเดียว

แต่เพราะมันนำมาใช้ได้ในหลายเรื่อง มันจึง

เป็นกฏที่นำมาใช้ผิดๆ หรือบางครั้ง ใช้แบบเข้าใจผิดนิดหน่อย

เพื่อให้คณิตศาสตร์เป็นทางการมากขึ้น

ขอผมนิยามมันก่อน แล้ว

เราค่อยพูดถึงสัญชาตญาณทีหลัง

สมมุติว่าผมมีตัวแปรสุ่ม X

และเรารู้ค่าคาดหวัง หรือค่าเฉลี่ยประชากรของมัน

กฎของจำนวนมากบอกว่า

ถ้าเราหาตัวอย่างการสังเกต n ครั้งจากตัวแปรสุ่มของเรา

ถ้าเราหาค่าเฉลี่ยของค่าที่สังเกตได้เหล่านั้น --

ขอผมนิยามตัวแปรอีกตัวนะ

ลองเรียกมันว่า x ห้อย n แล้วมีเส้นอยู่ข้างบน

นี่คือค่าเฉลี่ยของการสังเกตตัวแปร

สุ่มของเรา n ครั้ง

มันก็คือ นี่คือการสังเกตของผม

แล้วคุณก็บอกว่า ผมทำการทดลองครั้งนี้

แล้วได้ผลการสังเกตนี้มา แล้วผมก็ทำอีกครั้ง, ผมได้ผลการสังเกตมา

แล้วผมก็ทำไปทั้งสิ้น n ครั้ง แล้ว

ผมหารด้วยจำนวนครั้งที่สังเกต

นี่ก็คือค่าเฉลี่ยตัวอย่างของผม

และนี่คือค่าเฉลี่ยของการสังเกตทั้งหมดที่ผมทำ

กฎของจำนวนมาบอกเราว่า ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

ใช้เข้าหาค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มนั้น

หรือผมสามารถเขียนว่า ค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะเข้าหา

ค่าเฉลี่ยประชากรเมื่อ n เข้าอนันต์

และผมพูดไม่เป็นทางการ เวลาบอกว่าเข้าใกล้

คำว่า เข้าใกล้ หมายถึงอะไร?

แต่ผมว่าคุณคงเข้าใจตามสัญชาตญาณทั่วไปว่า

ถ้าผมหาตัวอย่างที่ใหญ่พอตรงนี้ ผมจะได้

ค่าคาดหวังของประชากรทั้งหมด

และผมว่าสำหรับพวกเราแล้วมันตรงตามสัญชาตญาณดี

ถ้าเราเก็บตัวอย่างจากกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่,

ค่าที่ได้จะบอกจำนวนที่ผมคาดไว้

จากค่าคาดหวังและประชากร อะไรพวกนั้น

แต่ผมว่าคนมันเข้าใจมันผิดนิดหน่อย

ไม่แง่ที่ว่าทำไมมันถึงเป็นเช่นนั้น

แต่ก่อนที่เราไปถึงเรื่องนั้น ผมจะ

ยกตัวอย่างเฉพาะให้ดู

กฎของจำนวนมาก จะบอกเราว่า สมมุติว่า

ผมมีตัวแปรสุ่ม -- X เท่ากับจำนวนหัว

หลังจากโยนเหรียญที่เที่ยงตรงไป 100 ครั้ง -- โยนหรือดีด

เหรียญเที่ยงตรง

อย่างแรกเลย, เรารู้ว่าค่าคาดหวังสำหรับ

ตัวแปรสุ่มนี้เป็นเท่าไหร่

มันคือจำนวนครั้งที่โยน, จำนวนครั้งคูณ

ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จในแต่ละครั้ง

มันจึงเท่ากับ 50

แล้วกฎของจำนวนมาก ก็แค่บอกว่า ถ้าผมหาตัวอย่าง

หรือผมหาค่าเฉลี่ยตัวอย่างจากการทดลองหลายๆ ครั้ง

คุณก็รู้, ผมได้ -- ครั้งแรกที่ผมทดลอง

ผมโยนเหรียญ 100 ครั้ง หรือใสเหรียญ 100 เหรียญในกล่อง

แล้วผมเขย่ากล่องนั้น ผมนับจำนวนหัว, ผมได้ 55

นั้นก็คือ X1

แล้วผมเขย่ากล่องอีกครั้ง แล้วผมได้ 65

ครั้งต่อมา ผมเขย่าอีกครั้งแล้วผมได้ 45

ผมทำแบบนี้ n ครั้งแล้วผมหารด้วย

จำนวนครั้งที่ผมทำ

กฎของจำนวนมาก บอกเราว่า ค่าเฉลี่ยนี้

ค่าเฉลี่ยจากการสังเกตทั้งหมดของผม

มันจะเข้าหา 50 เมื่อ n เข้าหาอนันต์

หรือเมื่อ n เข้าหา 50

ขอโทษที, n เข้าหาอนันต์

แล้วผมอยากพูดถึงสักหน่อยว่าทำไมถึงเป็นช่นนั้น

หรือมันเป็นไปตามสัญชาตญาณอย่างไร

หลายคนมักรู้สึกว่า, โอ้ นี่หมายความว่า

หลังจากผ่าน 100 ครั้ง ถ้าผมอยู่สูงกว่าค่าเฉลี่ย

กฎของความน่าจะเป็นจะให้เห็นมากขึ้น

หรือน้อยลงเพื่อกลบความแตกต่างนั้น

ไม่ใช่สิ่งที่เกิดขึ้นเสียทีเดียว

นั่นมักเรียกว่า ความหลงผิดของนักพนัน (gambler's fallacy)

ขอผมอธิบายความแตกต่างหน่อย)

ผมจะใช้ตัวอย่างนี้แหละ

สมมุติว่า -- ขอผมวาดกราฟนะ

ผมจะเปลี่ยนสีหน่อย

นี่คือ n, แกน x ผมคือ n

นี่คือจำนวนครั้งที่ผมลอง

และแกน y, ขอผมทำให้มันเป็นค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

และเรารู้ว่าค่าคาดหวัง, เรารู้ว่า

ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มนี้คือ 50

ขอผมวาดมันตรงนี้นะ

นี่คือ 50

มันก็คือตัวอย่างที่ผมทำ

เมื่อ n เท่ากับ -- ขอผม

ตรงนี้

ครั้งแรกที่ผมลอง ผมได้ 55 และนั่นคือค่าเฉลี่ยของผม

ผมมีแค่จุดเดียว

แล้วหลังจาก 2 ครั้ง, ลองดู, ผมมี 65

ดังนั้นค่าเฉลี่ยจะเป็น 65 บวก 55 หารด้วย 2

ซึ่งเท่ากับ 60

แล้วค่าเฉลี่ยผมเพิ่มขึ้นหน่อย

แล้วผมได้ 45, ซึ่งทำค่าเฉลี่ยผม

ลงมาหน่อย

ผมจะไม่พลอต 45 ลงไปตรงนี้

ผมต้องเฉลี่ยทั้งหมดนี่

แล้ว 45 บวก 65 เป็นเท่าไหร่?

ขอผมคำนวณค่านี้ออกมา

เพื่อคุณจะได้เข้าใจ

มันคือ 55 บวก 65

มันคือ 120 บวก 45 ได้ 165

หารด้วย 3

3 หาร 165 ได้ 5 -- 5 คูณ 3 ได้ 15

มันคือ 53

ไม่ใช่, ไม่ใช่, ไม่ใช่

55

ค่าเฉลี่ยจะลงมาอยู่ที่ 55

คุณก็ทดลองไปเรื่อยๆ

คุณอาจบอกว่า กฎของจำนวนมาก บอกว่าอย่างนี้

โอเค, เราทำการทดลอง 3 ครั้งแล้วค่าเฉลี่ยอยู่ตรงนี้

คนส่วนใหญ่คิดว่าบางทีพระเจ้าของความน่าจะเป็น

จะทำให้มันมีโอกาสที่เราได้

หัวน้อยลงในอนาคต

แล้วหลังจากผ่านไปหลายๆ ครั้ง มันจะต้อง

ลงมาตรงนี้เพื่อทำให้ค่าเฉลี่ยลดลง

และนั่นไม่ใช่เรื่องจริง

ความน่าจะเป็นอันต่อไปยังคงเหมือนเดิม

ความน่าจะเป็นที่ผมจะได้หัวยังเป็น 50%

อยู่เสมอ

มันไม่ใช่ว่าผมมีหัวหลายอัน

แล้วผมจะคาดหวังมันต้องเปลี่ยน

ทุกอย่างถูกตั้งขึ้นมาแล้ว มันจึงต้องออกก้อยมากกว่า

นั่นคือความหลงผิดของนักพนัน

ถ้าคุณได้หัวติดต่อกันมาก หรือคุณ

เห็นสัดส่วนประหลาดของจำนวนหัว, ถึงจุดหนึ่ง

คุณก็ -- คุณคาดหวังจะมีจำนวนก้อย

ที่มีสัดส่วนประหลาดเช่นกัน

และมันไม่เป็นความจริง

สิ่งที่กฎของจำนวนมากบอกเรา คือว่า มันไม่สนใจ

สมมุติว่าหลังจากทดลองไปเป็นจำนวนจำกัด

ค่าเฉลี่ยนั้น -- มันเป็นมีโอกาสเกิดขึ้นหน่อย

สมมุติว่าค่าเฉลี่ยคุณอยู่ตรงนี้

มันอยู่ที่ 70

คุณก็บอกว่า, ว้าว, มันห่างจาก

ค่าคาดหวังมากทีเดียว

แต่สิ่งที่กฎของจำนวนมากบอกเราคือว่า,

ผมไม่สนใจว่าจะลองมากี่ครั้ง

เรายังเหลือการทดลองอีกเป็นอนันต์

และค่าคาดหวังของการทดลองเป็นอนันต์ครั้ง

ยิ่งในกรณีนี้แบบนี้ จะเป็นเช่นนี้

เมือคุณหาค่าเฉลี่ยของจำนวนจำกัด ซึ่งเฉลี่ยออกมา

ได้ค่ามากนั้น, เวลาหาจากจำนวนนับไม่ถ้วน มัน

จะเข้าหาค่านี้, แล้วยิ่งคุณทำไป, มันยิ่ง

เข้าหาค่าคาดหวังมากขึ้น

นั่นคือวิธีบรรยายมันอย่างไม่เป็นทางการ

แต่นั่นคือสิ่งที่กฎของจำนวนมากบอกคุณ

มันเป็นสิ่งสำคัญ

มันไม่ได้บอกคุณว่า ถ้าคุณได้หัว

แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อย

มันเพิ่มขึ้นเพื่อสู้กับการได้หัว

สิ่งที่มันบอกคุณคือว่า, ไม่ว่าจะเกิดอะไร

ขึ้นเวลาทดลองจำนวนจำกัด, ไมว่าค่าเฉลี่ยเป็นเท่าไหร่

ในการทดลองจำนวนจำกัด, คุณ

ยังมีการทดลองเป็นอนันต์เหลืออยู่

แล้วถ้าคุณทำมันมากพอ มันจะกลับลู่เข้า

ค่าคาดหวังของคุณ

นี่คือสิ่งสำคัญที่ควรคิดถึง

แต่นี่ไม่ได้นำมาใช้ในชีวิตประจำวัน กับลอดเตอรี่หรือคาสิโน

เพราะเขารู้ว่า ถ้าคุณทดลองมากพอ

เราจะสามารถคำนวณ

ถ้าคุณทดลองมากครั้งพอ,

ว่าความน่าจะเป็นที่สิ่งต่างๆ จะเริ่มแตกต่างออกไปเป็นเท่าไหร่ได้

แต่คาสิโนและลอตเตอรี่ทุกวันนี้ ดำเนินการตาม

หลักการที่ว่า ถ้าคุณมีคนมากพอ -- แน่นอน

ในระยะสั้น หรือในตัวอย่างน้อยๆ,

คนบางคนอาจทำเงินได้

แต่ในระยะยาว เจ้ามือจะชนะเสมอ

เพราะตัวแปรในเกมทำให้

คุณเล่นกับเขา

เอาล่ะ, นี่คือสิ่งสำคัญในความน่าจะเป็นและผมว่า

มันตรงตามสัญชาตญาณทีเดียว

แม้ว่า, บางครั้งเวลาคุณเห็นมันถูกอธิบายอย่างเป็นทางการ

ด้วยตัวแปรสุ่มและมัน

อาจทำให้คุณสับสน

สิ่งที่มันบอกคือว่า ยิ่งคุณหาตัวอย่างมากขึ้น มากขึ้น

ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างจะ

ประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยจริง

หรือผลควรพูดให้เจาะจงกว่านี้

ว่าค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง จะลู่เข้า

หาค่าเฉลี่ยจริงของประชากร หรือ

ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มนั่นเอง

เอาล่ะ, พบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ