Закон Великих Чисел

Вступ до закону великих чисел

Нумо вивчимо дещо про закон великих
чисел,

який на багатьох рівнях є одним з найбільш
інтуїтивно зрозумілих законів

у математиці та теорії ймовірності.

Але, оскільки його застосовують до дуже
великого розмаїття речей, то часто

трапляється й помилкове використання
його або іноді певне непорозуміння.

Отож, просто будемо трохи більш
формальними з нашою математикою,

дозвольте мені спочатку визначити його
для вас,

а тоді ми поговоримо трохи про інтуїцію.

Отож, скажімо, ми маємо випадкову змінну Х.

І ми знаємо, що це очікувана величина
або середнє значення загальної сукупності.

Даний закон великих чисел просто каже, що

якщо ми візьмемо вибірку з n спостережень
нашої випадкової змінної

і якщо ми усереднимо усі ці спостереження,

дозвольте мені визначити іншу змінну.

Скажімо назвемо її xn-не з рискою нагорі.

Це наше середнє значення n спостережень

нашої випадкової змінної.

Отож, це дослівно перше спостереження.

Можна певним чином сказати, що я
провів цей дослід і

отримав це спостереження, я провів
його знову і отримав це спостереження.

І я продовжив проводити його n разів,

а тоді поділив це на мою кількість
спостережень.

Отож, це - моє середнє значення вибірки.

Це середнє значення усіх зроблених мною
спостережень.

Закон великих чисел просто каже, що
моє середнє значення вибірки

буде наближатися до моєї очікуваної
величини даної випадкової змінної.

Або ж я можу також записати це як моє
середнє значення вибірки буде

наближатися до мого середнього значення
загальної сукупності для n, що прямує
до нескінченості.

І я буду трохи неформальним з тим що
наближається або

тим що є збіжним середнім значенням?

Але я вважаю, що ви маєте загальне
уявлення, що

якщо я візьму достатньо велику вибірку
тут, то, зрештою, я зможу отримати

дану очікувану величину загальної
сукупності загалом.

І я гадаю, що для більшості з нас це
інтуїтивно зрозуміло.

Якщо я зроблю достатньо випробувань
у цих великих вибірках, то ці випробування

дадуть мені числа певного роду, які, як я
очікую,

можуть надати мені дану очікувану
величину, ймовірність та усе це.

Але, я гадаю, це часто хибно розуміють

щодо того чому це відбувається.

І, перш ніж я занурюсь більш глибоко у це,
дозвольте мені

надати вам конкретний приклад.

Закон великих чисел просто скаже нам...
скажімо

я маю випадкову змінну... Х, що дорівнює
кількості лицьових боків симетричної монети

опісля 100 підкидань....
підкидань

симетричної монети.

Перш за все, ми знаємо чому дорівнює
дана очікувана величина

цієї випадкової змінної.

Це - кількість даних підкидань, це - кількість
випробувань помножена

на ймовірність успіху при кожному
випробуванні.

Отож, це дорівнює 50.

Тобто закон великих чисел просто каже
нам: якщо я візьму вибірку

або якщо я візьму усереднену вибірку
низки цих випробувань,

отже, ви знаєте, я отримаю... першого разу
я проводив це випробування,

я підкидав 100 монет або мав 100 монет у
коробці з-під взуття,

струснув цією коробкою з-під взуття,
полічив лицьові боки і отримав 55 їх.

Отож це буде Х1.

Тоді я струснув цю коробку ще раз і
отримав 65 лицьових боків.

Тоді я струснув цю коробку ще раз і
отримав 45.

І я робитиму це n разів, а тоді поділю це

на кількість разів, які я зробив.

Закон великих чисел просто каже нам,
що дана середнє величина,

дана середня величина усіх моїх
спостережень

буде прямувати до 50 коли n прямує
до нескінченості.

Або для n що прямує до 50.

Вибачте, для n що прямує до нескінченості.

І я волію поговорити трохи про те чому
це відбувається

або про інтуїтивне розуміння цього.

Багато людей певним чином відчувають,
що це означає що

якщо опісля 100 випробувань я матиму
якимось чином більше за середнє значення,

то згідно законів ймовірності це надасть
мені більшої кількості лицьових боків

або більшої кількості лицьових боків аби
подолати цю різницю.

Але це не зовсім те, що відбувається.

Це часто називають оманою гравця.

Нумо, з’ясуємо різницю.

І я використаю цей приклад.

Отож, давайте зробимо графік.

І я зміню кольори.

Це n, моєю віссю Х є n.

Це кількість випробувань які я проводжу.

І моя вісь Y, нумо зробімо це нашим
середнім значенням вибірки.

І ми знаємо чому дорівнює наша очікувана
величина, ми знаємо

що дана очікувана величина цієї випадкової
змінної дорівнює 50.

Нумо намалюю це тут.

Це 50.

Отож, просто візьмемо цей приклад, який
я вже зробив.

Зрештою, коли n дорівнює...

ось тут.

Отже, при першому випробуванні я
отримав 55 і це було моєю середньою
величиною.

Я мав лише одне значення.

Тоді, опісля другого випробування,
погляньмо, тоді я мав 65.

Отож, моя середня величина повинна
бути 65 + 55 і поділити це на 2.

Це дорівнює 60.

Отже, тепер моя середня величина трохи
зросла.

Згодом, я отримав 45, що трохи знизило

мою середню величину.

Я не буду тут креслити 45.

Тепер, я маю знайти середнє
значення для усього цього.

Чому дорівнює 45 плюс 65?

Я просто обчислю значення суми,

щоб просто отримати це значення.

Отож це 55 плюс 65.

Це 120 плюс 45 дорівнює 165.

Поділимо це на 3.

165 на 3 це 5... 5 помножити на 3 це 15.

Це дорівнює 53.

Ні, ні, ні.

55.

Отож, дана середня величина знову
повернулася до 55.

І ми можемо продовжити провадити ці
випробування.

Тобто, ви можете сказати, що закон
великих чисел це нам показує.

Гаразд, ми зробили 3 випробування і
наша середня величина знаходиться тут.

Отож, більшість людей гадає, що якимось
чином "боги ймовірності"

збираються зробити так, щоб ми отримали
більше

лицьових боків у майбутньому.

Це якимось чином дані наступні двійко
випробувань мають мати

менші значення аби знизити нашу середню
величину.

І це не обов’язково відбувається саме так.

При подальшому продовженні випробувань дані
ймовірності завжди лишаються незмінними.

Дана ймовірність завжди дорівнює 50%,

що випаде лицьовий бік.

Проте, це зовсім не означає, що, якщо я мав низку
випадань лицьових боків на початку

або більш ніж я міг очікувати на початку,
то,

зненацька, щось трапиться і я матиму
більше випадань зворотніх боків.

Це й є оманою гравця.

Вона полягає у тому, що, якщо ви мали
довгу чергу лицьових боків

або мали неспіврозмірну кількість лицьових
боків,

то на певній межі ви будете мати вищу
ймовірність випадання

неспіврозмірної кількості зворотніх боків.

І це - цілковита неправда.

Що нам каже закон великих чисел так це
те, що йому байдуже...

Скажімо, опісля певної скінченої кількості
випробувань,

ваша середня величина ( є дуже мала
ймовірність того, що це трапиться),

але, скажімо, ваша середня величина
насправді зросте тут.

Насправді зросте до 70.

І тут ми, насправді, маємо добряче
відхилення від

нашої очікуваної величини.

Але що нам каже закон великих чисел
так це те,

що байдуже скільки випробувань ми
маємо.

Ми маємо нескінчену кількість випробувань
для виконання.

І ця очікувана величина для цієї
нескінченої кількості випробувань,

особливо для таких типових випадків,
буде такою.

Отже, коли ви знаходите середню величину
скінченої кількості, то така середня
величина

прямує до більшого значення, а тоді при
нескінченій кількості

це буде наближатися до цього, а коли ви
будете продовжувати це, то воно буде

знову наближатися до даної очікуваної
величини.

І це був дуже неформальний спосіб опису
цього,

але це те, що вам каже закон великих чисел.

І це важлива річ.

Він не каже вам, що, якщо ви отримали
низку лицьових боків,

то, якимось чином, ймовірність випадання
зворотніх боків

збільшиться аби певним чином перекрити
завелику кількість випадання лицьових боків.

Те що вам каже даний закон так це те, що
не має значення що відбулося

протягом скінченої кількості випробувань,
не має значення чому дорівнює середня

величина протягом скінченої кількості
випробувань, оскільки

вам лишається нескінчена кількість
випробувань.

І, якщо ви зробите достатню кількість
випробувань, то дана величина знову

наблизиться до вашої очікуваної величини.

І це важливо запам'ятати.

Але це не використовується у щоденній
практиці лотереями та казино,

оскільки вони знають, якщо ви втілите
достатньо велику вибірку

і ми могли б навіть порахувати це,

якщо ви втілите достатньо велику вибірку,

то якою буде ймовірність того, що ці
речі матимуть значне відхилення?

Але казино та лотереї кожного дня діють
згідно цієї засади,

що якщо ви оберете достатньо людей...
звісно,

на короткий строк або з декількома
вибірками,

двійко людей могли б спустошити
таке казино.

Але у довгостроковій перспективі казино
завжди виграє,

через задані параметри даної гри у яку

вони змушують вас грати.

Хай там як, це - важлива річ у ймовірності і

я вважаю, що це доволі зрозуміла річ
на інтуїтивному рівні.

Проте, іноді коли ви бачите формальне
пояснення цього,

на зразок цього з випадковою змінною,

то це трохи спантеличує.

Усе що тут сказано так це те, що, якщо ви
обиратимете більше й більше вибірок,

то середня величина цієї вибірки буде

наближатися до справжньої середньої
величини.

Або ж я маю бути трохи більш конкретним.

Дане середнє значення вашої вибірки
буде наближатися

до справжнього середнього значення
загальної сукупності або

до очікуваної величини даної випадкової
змінної.

Хай там як, побачимося у наступному відео.