Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

Wir haben zwei Geraden hier.

Wir nennen diese Gerade hier AB

A und B sind Punkte auf dieser Geraden.

Ich zeichne noch eine zweite Gerade.

Diese Gerade heißt CD.

Sie geht durch die Punkte C und D.

Sie ist unendlich lang.

Beide Geraden befinden sich auf der gleichen Ebene.

In diesem Fall ist unsere Ebene der Bildschirm

oder dieses Stück Papier,

das wir gerade betrachten.

Diese beiden Gerade schneiden sich nie.

Sie befinden sich also auf der Ebene,

aber schneiden sich nie.

Wenn diese beiden Eigenschaften wahr sind,

also sie schneiden sich nie

und sie sind auf der gleichen Ebene,

dann nennt man diesen Zustand parallel.

Diese zwei Geraden sind parallel.

Sie bewegen sich in die gleiche Richtung,

tatsächlich, genau in die gleiche Richtung.

Wenn wir diesen Sachverhalt von einem algebraischen Standpunkt betrachten,

dann würden wir sagen, dass die Geraden die gleiche Steigung

mit unterschiedlichen Schnittpunkten an der Y-Achse haben.

Sie bestehen aus unterschiedlichen Koordinaten.

Wenn wir eine Koordinatenachse einzeichnen würden,

dann würden sie unterschiedliche Schnittpunkte,

aber die gleiche Steigung haben.

Worüber ich nachdenken will ist,

wie Winkel mit parallelen Geraden in Verbindung stehen.

Wir haben hier zwei parallele Geraden.

Die Gerade AB ist parallel zu der Geraden CD.

Manchmal wird es in

geometrischen Zeichnungen

mit diesen kleinen Pfeilen gekennzeichnet,

dass diese Geraden parallel sind.

Wenn ein einzelner Pfeil bereits verwendet wurde,

dann kann auch ein Doppelpfeil zur Kennzeichnung der Parallelität dieser Geraden

zu dieser Geraden hier verwendet werden.

Ohne diese Pfeile möchte ich jetzt

eine Gerade einzeichnen, die die beiden bereits vorhandenen Geraden schneidet.

Hier ist eine Gerade, die beide Geraden schneidet.

Lass es mich ein wenig anschaulicher zeichnen.

Ich zeichne die Gerade hier.

Ich zeichne noch ein paar Punkte ein.

Ich nenne diese Gerade L

Diese Gerade, die die parallelen Geraden schneidet,

nennt man Transversale.

Das ist eine transversale Gerade.

Sie schneidet beide dieser parallelen Geraden.

Das ist eine Transversale.

Ich möchte nun über die Winkel sprechen, die entstehen und

wie sie miteinander in Verbindung stehen.

Also die Winkel, die an den Schnittpunkten aus

der schneidenden Gerade und den zwei parallelen Geraden enstehen.

Wir können mit

diesem Winkel hier anfangen.

Wir können diesen Winkel - wenn

ich sie hier beschrifte, dann wäre

das D.

Aber ich werde ihn einfach als "den Winkel" bezeichnen.

Wir wissen, dass er seinem vertikalen Winkel gleicht.

Dieser Winkel hier ist vertikal mit diesem hier.

Dieser Winkel entspricht also diesem Winkel hier.

Wir wissen auch, dass dieser Winkel hier

seinem vertikalen Winkel hier gleicht,

der gegenüber liegt.

Dieser gleicht also diesem Winkel hier.

Manchmal wird der Winkel mit

einem doppelten Winkelzeichen beschriftet.

Oder manchmal siehst du jemanden das hier schreiben,

um zu zeigen, dass diese zwei Winkel gleich sind

und diese zwei Winkel sind gleich.

Was wir noch wissen ist,

dass wir die gleiche Übung auch hier machen können.

Diese zwei Winkel sind gleich

und diese zwei Winkel sind auch gleich.

Sie sind alle vertikale Winkel.

Was hier interessant ist, ist über die Beziehung

zwischen dem Winkel hier und diesem

Winkel hier zu überlegen.

Wenn du es genau betrachtest, dann

wird die Beziehung deutlich - die

Winkel sind genau gleich groß.

Wenn du ein Geodreieck hier anlegst und misst,

dann erhälst du das exakt gleiche Ergebnis.

Wenn ich parallele Geraden zeichne - vielleicht

zeichne ich sie waagerecht ein,

dann ist es vielleicht ein bisschen klarer.

Diese zwei Geraden sind parallel,

und ich zeichne hier eine Transversale ein,

dann ist dieser Winkel hier genau

so groß wie dieser Winkel hier.

Stell dir vor diese Gerade hier kippt

und wenn du verschiedene - es sieht

so aus als wäre das hier der Fall.

Wenn du die Gerade so zeichnest und diese Zeichnung hier betrachtest,

dann wird klar, dass dieser Winkel gleich diesem Winkel ist.

Dafür gibt es keinen Beweis.

Das ist eines der Probleme, die ein Mathematiker

als offensichtlich bezeichnet. Wenn du

die Zeichnung betrachtest und diese Gerade kippst, dann

siehst du, dass diese Winkel hier gleich sind.

Oder benutze ein Geodreieck hier

um die tatsächlich Größe des Winkels zu messen.

Wenn du ein Geodreieck hier anlegst,

dann befindet sich eine Seite des Winkels auf der Nulllinie,

und die andere Seite zielt auf diesen Punkt ab.

Wenn du das Geodreieck hier anlegst,

dann würdest du genau den gleichen Sachverhalt feststellen.

Eine Seite liegt auf dieser parallelen Geraden

und die andere zielt auf diesen Punkt hier ab.

Damit wissen wir nicht nur, dass

diese Seite mit dieser Seite äquivalent ist,

sondern auch, dass sie auch mit dieser Seite hier äquivalent ist.

Das sagt uns, dass diese Seite

auch mit dieser Seite äquivalent ist.

Alle diese grünen Markierungen sind äquivalent.

Mit dem gleichen Argument ist dieser

Winkel genau so groß wie dieser Winkel.

Und dieser Winkel ist so groß wie dieser,

weil sie gegenüber liegen, also vertikale Winkel sind.

Die wichtige Eigenschaft

ist dass, was wir hier hergeleitet haben.

Die vertikalen Winkel sind gleich und die korrespondierenden Winkel

an den gleichen Schnittpunkten sind auch gleich.

Das ist ein neues Wort, dass ich

hier benutze.

Dieser Winkel und dieser Winkel korrespondieren.

Sie stellen die rechte obere Ecke in

diesem Beispiel dar.

Hier wird die obere rechte Ecke

des Schnittpunktes repräsentiert.

Das ist die untere linke Ecke.

Diese Winkel werden immer gleich sein, also korrespondierende Winkel.

Und noch einmal, es ist wirklich

- es fehlt ein besseres Wort - offensichtlich.

Es gibt noch andere Wörter,

die man noch sehen wird.

Wir haben gerade gezeigt, dass nicht nur dieser Winkel

mit diesem Winkel äquivalent ist, sondern

auch das dieser Winkel mit diesem äquivalent ist.

Diese zwei Winkel - lass mich sie beschriften

damit wir die Übersicht behalten.

Ich verwende kleine Buchstaben

für die Winkel.

Wir bezeichnen dies klein a, klein b und klein c.

Ein kleines c für den Winkel, eine kleines d,

und dann benenne ich diese mit e, f, g, h.

Wir wissen von vertikalen Winkel, dass b und c gleich sind.

Wir wissen auch, dass b und f gleich sind,

weil sie korrespondierende Winkel sind.

Und das f ist gleich g.

Vertikale Winkel sind äquivalent,

korrespondierende Winkel sind äquivalent,

und damit wissen wir, offensichtlich, dass b gleich g ist.

Wir erkennen, dass die alternierenden inneren Winkel äquivalent sind.

Du siehst, dass sie im inneren

des Schnittpunktes liegen.

Sie liegen zwischen diesen zwei Geraden und

befinden sich auf den gegenüberliegenden Seiten der Transversale.

Du musst diesen extravaganten Begriff,

alternierende innerer Winkel, nicht kennen,

du solltest aber wissen, was wir hier hergeleitet haben.

Merke dir, dass vertikale Winkel gleich sind

und dass korrespondierende Winkel gleich sind.

Und du siehst das auch bei den Anderen.

Wir wissen, dass a gleich d ist, was

gleich h, was gleich e ist.