Angles Formed by Parallel Lines and Transversals

สมมุติว่าเรามีเส้นตรงสองเส้นตรงนี้

ลองเรียกเส้นตรงนี่ตรงนี้ว่าเส้นตรง AB

A กับ B อยู่บนเส้นตรงนี้ทั้งคู่

และสมมุติว่าเรามีเส้นตรงอีกเส้นตรงนี้

เราจะเรียกเส้นตรงนี้ว่า CD

มันลากผ่านจุด C และมันผ่านจุด D แล้วมันยาวต่อไปตลอดไป

ทีนี้ สมมุติว่าเส้นตรงเหล่านี้อยู่บนระนาบเดียวกัน และในกรณีนี้ ระนาบคือหน้าจอ หรือกระดาษแผ่นเล้กๆ ที่เรากำลังดูอยู่ตรงนี้

และพวกมันไม่ตัดกันเลย! พวกมันไม่ตัดกัน. มันอยู่บนระนาบเดียวกัน แต่พวกมันไม่เคยตัดกัน

ถ้าสองอย่างนี้เป็นจริง, พวกมันไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน, พวกมันไม่เคยตัดกัน, พวกมันอยู่บน

ระนาบเดียวกัน, แล้วเราจะเรียกเส้นตรงสองเส้นนี้ว่าขนาน (parallel)

พวกมันเคลื่นไปในทิศทางเดียวกัน, ที่จริงนิยามโดยทั่วไป, ถ้าเราดูมันจาก

มุมมองของพีชคณิต, เราก็บอกว่าพวกมันมีความชันเท่ากัน,

แต่พวกมันมีจุดตัดแกนต่างกัน, พวกมันมีจุดต่างกัน

ถ้าเราลากแกนตรงนี้ พวกมันจะตัดกันคนละที่ แต่พวกมันมีความชันเท่ากันเป๊ะ

สิ่งที่ผมอยากทำ คือคิดว่ามุมต่างๆ เกี่ยวข้องกันอย่างไรในเส้นขนาน

แล้วนี่ตรงนี้ เรามีเส้นขนาน 2 เส้นนี้

เราบอกได้ว่า เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD

บางครั้งที่คุณจะเห็นภาพวาดในเรขาคณิตแบบนี้

ผมจะใส่ลูกศรเล็กๆ ตรงนี้เพื่อบอกว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน

และถ้าคุณใช้ลูกศรเดียวไปแล้ว คุณอาจใช้ลูกศรสองตัว

เพื่อแสดงว่าเส้นนี่ขนานกับเส้นนั้นตรงนั้น

ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำ คือวาดเส้นตรงที่ตัดเส้นขนานนี้ทั้งคู่

ตรงนี้มีเส้นที่ตัดทั้งคู่. ขอผมวาดให้ใกล้หน่อย

และผมจะเรียกมันว่าเส้นตรง L

และเส้นตรงนี้ที่ตัดเส้นขนานทั้งสองเส้น

เราเรียกมันว่าเส้นตัดขวาง (transversal). นี่คือเส้นตัดขวาง

มันขวางเส้นขนานทั้งสองเส้น

และสิ่งที่ผมอยากคิดคือ มุมที่เกิดขึ้น

และความสัมพันธ์ของพวกมัน

มุมที่เกิดขึ้นตรงจุดตัดระหว่างเส้นตัดขวาง

กับเส้นขนานสองเส้น

ทีนี้อย่างแรกเราก็เริ่มต้นด้วยมุมนี่ตรงนี้

มุมนั่นตรงนี้ เราเรียกมุมนั้นว่า --

ทีนีถ้าเราระบุมันตรงนี้ มันจะเป็น D, จุดนี้แล้วก็ตัวอื่น

ผมจะเรียกมุมนี่ตรงนี้

เรารู้ว่านี่จะเท่ากับ มันคือมุมตรงข้าม

มุมนี้ตรงกับข้ามมุมนั้น,

มันจะเท่ากับมุมนั่นตรงนั้น

เราจึงรู้ว่ามุมนี่ตรงนี้ จะเท่ากับมุมที่เป็นมุมตรงข้าม

หรือมุมที่อยู่กับตรงกันข้ามตรงจุดตัด มันจึงเท่ากับตัวนั้น

และบางครั้ง คุณจะเห็นเขาระบุแบบนี้, คุณจะเห็นรอยขีดมุมซ้ำแบบนั้น

หรือบางครั้งคุณจะเห็นบางคนเขียนตัวนี้

เพื่อแสดงว่าสองตัวนี้เท่ากับ และสองตัวนี้เท่ากับตรงนั้น

ทีนี้ อีกอย่างที่เรารู้คือว่า เราทำแบบเดียวกันได้บนนี้ --

สองตัวนี้จะเท่ากัน และสองตัวนี้จะเท่ากัน

พวกมันเป็นมุมตรงข้ามกัน

สิ่งที่น่าสนใจตรงนี้ คือการคิดถึงความสัมพันธ์ระหว่างมุมนี่

ตรงนี้ กับมุมนี่ตรงนี้

และถ้าคุณดู, มันก็ชัดเจนว่าความสัมพันธ์คืออะไร

พวกมันจะเป็นมุมเดียวกัน

และถ้าคุณใช้โปรแทรกเตอร์ตรงนี้มาวัดมัน คุณจะอ่านค่าได้เท่ากันเป๊ะตรงนี้

และถ้าผมวาดเส้นขนาน, บางทีผมวาดมันตรงๆ ซ้ายไปขวา, มันอาจชัดเจนไปหน่อย

ถ้าผมสมมุติว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน และผมมีเส้นตัดขวางตรงนี้

สิ่งที่ผมกำลังบอกคือว่า มุมนี้จะมีค่าเท่ากับมุมนั้นพอดีเป๊ะ

และเพื่อให้เห็นภาพ, ลองนึกภาพเส้นตรงนี้เอียงไป, และเมื่อคุณหา,

มันดูเป็นกรณีต่างๆ ตรงนี้, ถ้าคุณเอาเส้นตรงนี้มา แล้วคุณดูมันตรงนี้,

มันชัดเจนว่านี่เท่ากับอันนี้ และมันไม่มีบทพิสูจน์สำหรับมัน

นี่คือสิ่งหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์บอกว่ามันชัดเจนตามสัญชาตญาณอยู่แล้ว

ว่าถ้าคุณดูมัน, ถ้าคุณหมุนเส้นตรงนี้ไป, คุณจะบอกว่ามุมพวกนี้เท่ากัน

หรือคิดว่าใช้โปรแทรกเตอร์ตรงนี้เพื่อวัดมุมพวกนี้จริงๆ

ถ้าคุณวางโปรแทรกเตอร์ลงไปตรงนี้, คุณให้ด้านหนึ่งของมุมอยู่ที่ 0 องศา และอีกด้านหนึ่งจะบอกจุด

แล้วคุณก็วางโปรแทรกเตอร์ตรงนี้, สิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้น

ด้้านหนึ่งจะอยู่บนเส้นขนานนี้ และอีกด้านนั้นจะชี้ไปยังจุดเดียวกันเป๊ะ

จากนั้น, เรารู้ไม่ใช่แค่ว่าด้านนี้เทียบได้กับด้านนี้

มันยังเทียบได้กับด้านนี่ตรงนี้ด้วย, และนั่นบอกเราว่ามันยังเท่ากับด้านนั้นด้วย

ดังนั้นสิ่งเหล่านี้สีเขียวทั้งหมด จะเท่ากัน และด้วยเหตุผลเดียวกัน

ด้านนี้ตรงนี้ หรือมุมนี้

จะมีค่าวัดได้เท่ากับมุมนี้ และจะเท่ากับมุมนี้, เพราะมันตรงข้ามกัน, หรือพวกมันเป็นมุมตรงข้าม

ทีนี้ สิ่งสำคัญที่ต้องสังเกตคือว่า มุมตรงข้ามเท่ากัน และมุมที่เยื้องกัน ณ จุดตัดนั้นเท่ากันด้วย

นั่นจะเป็นคำใหม่ที่ผมจะแนะนำตรงนี้ มุมนี้กับมุมนี้ตรงกัน (corresponding)

พวกมันแทนมุมขวาบนของตัวอย่างนี้ ที่เราตัดกัน, ตรงนี้พวกมันแทนมุมขวาบนของจุดตัด

นี่ก็คือมุมบนซ้าย, พวกมันเท่ากันเสมอ, มุมที่ตรงกันนี้

และเหมือนเดิม, มันค่อนข้างชัดเจน

นอกจากนั้น, ยังมีคำอื่นที่คนมักเจอ, ไม่ใช่พิสูจน์ว่ามุมนี้เท่ากับมุมนี้,

แต่มันยังเท่ากับมุมนี่ตรงนี้ด้วย, และมุมสองมุมนี้ บางทีผมจะเรียกนี่

ขอผมระบุพวกมันไป เราจะได้คืบหน้าไปได้. ผมจะใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็ก

แทนมุมพวกนั้น. ลองเรียกนี่ว่า a พิมพ์เล็ก, b พิมพ์เล็ก, c พิมพ์เล็ก -- c พิมพ์เล็กแทนมุม

d พิมพ์เล็กแล้วก็ขอผมเขียนนี่ว่า e, f, g, h

เราก็รู้จากมุมตรงข้ามว่า b เท่ากับ c,

แต่เรารู้ว่า b เท่ากับ f ด้วยเพราะมันคือมุมที่ตรงกัน

แล้ว f เท่ากับ g. ดังนั้นมุมตรงข้ามเท่ากัน. มุมที่ตรงกันเข้ากัน.

และเรายังรู้แน่นอนว่า b เท่ากับ g

เราจึงบอกว่ามุมแย้ง (alternate interior angles) นั้นเท่ากัน

เรารู้ว่ามันมีมุมข้างในจุดตัดอยู่

พวกมันอยู่ระหว่างเส้นตรงสองเส้น แต่พวกมันอยู่คนละฝั่งของเส้นตัดขวาง

ตอนนี้ คุณไม่ต้องรู้คำหรูหราก็ได้ -- มุมแย้ง -- คุณก็แค่ต้องสรุป

สิ่งที่เราเห็นตรงไป, ว่ามุมตรงข้ามเท่ากัน และมุมที่ตรงกันเท่ากัน

แล้วคุณจะเห็นอันอื่นๆ ด้วย. เรารู้ว่า a เท่ากับ d, ซึ่งเท่ากับ h, ซึ่งเท่ากับ e