-
สมมุติว่าเรามีเส้นตรงสองเส้นตรงนี้
-
ลองเรียกเส้นตรงนี่ตรงนี้ว่าเส้นตรง AB
-
A กับ B อยู่บนเส้นตรงนี้ทั้งคู่
-
และสมมุติว่าเรามีเส้นตรงอีกเส้นตรงนี้
-
เราจะเรียกเส้นตรงนี้ว่า CD
-
มันลากผ่านจุด C และมันผ่านจุด D แล้วมันยาวต่อไปตลอดไป
-
ทีนี้ สมมุติว่าเส้นตรงเหล่านี้อยู่บนระนาบเดียวกัน และในกรณีนี้ ระนาบคือหน้าจอ หรือกระดาษแผ่นเล้กๆ ที่เรากำลังดูอยู่ตรงนี้
-
และพวกมันไม่ตัดกันเลย! พวกมันไม่ตัดกัน. มันอยู่บนระนาบเดียวกัน แต่พวกมันไม่เคยตัดกัน
-
ถ้าสองอย่างนี้เป็นจริง, พวกมันไม่ใช่เส้นตรงเดียวกัน, พวกมันไม่เคยตัดกัน, พวกมันอยู่บน
-
ระนาบเดียวกัน, แล้วเราจะเรียกเส้นตรงสองเส้นนี้ว่าขนาน (parallel)
-
พวกมันเคลื่นไปในทิศทางเดียวกัน, ที่จริงนิยามโดยทั่วไป, ถ้าเราดูมันจาก
-
มุมมองของพีชคณิต, เราก็บอกว่าพวกมันมีความชันเท่ากัน,
-
แต่พวกมันมีจุดตัดแกนต่างกัน, พวกมันมีจุดต่างกัน
-
ถ้าเราลากแกนตรงนี้ พวกมันจะตัดกันคนละที่ แต่พวกมันมีความชันเท่ากันเป๊ะ
-
สิ่งที่ผมอยากทำ คือคิดว่ามุมต่างๆ เกี่ยวข้องกันอย่างไรในเส้นขนาน
-
แล้วนี่ตรงนี้ เรามีเส้นขนาน 2 เส้นนี้
-
เราบอกได้ว่า เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD
-
บางครั้งที่คุณจะเห็นภาพวาดในเรขาคณิตแบบนี้
-
ผมจะใส่ลูกศรเล็กๆ ตรงนี้เพื่อบอกว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน
-
และถ้าคุณใช้ลูกศรเดียวไปแล้ว คุณอาจใช้ลูกศรสองตัว
-
เพื่อแสดงว่าเส้นนี่ขนานกับเส้นนั้นตรงนั้น
-
ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำ คือวาดเส้นตรงที่ตัดเส้นขนานนี้ทั้งคู่
-
ตรงนี้มีเส้นที่ตัดทั้งคู่. ขอผมวาดให้ใกล้หน่อย
-
และผมจะเรียกมันว่าเส้นตรง L
-
และเส้นตรงนี้ที่ตัดเส้นขนานทั้งสองเส้น
-
เราเรียกมันว่าเส้นตัดขวาง (transversal). นี่คือเส้นตัดขวาง
-
มันขวางเส้นขนานทั้งสองเส้น
-
และสิ่งที่ผมอยากคิดคือ มุมที่เกิดขึ้น
-
และความสัมพันธ์ของพวกมัน
-
มุมที่เกิดขึ้นตรงจุดตัดระหว่างเส้นตัดขวาง
-
กับเส้นขนานสองเส้น
-
ทีนี้อย่างแรกเราก็เริ่มต้นด้วยมุมนี่ตรงนี้
-
มุมนั่นตรงนี้ เราเรียกมุมนั้นว่า --
-
ทีนีถ้าเราระบุมันตรงนี้ มันจะเป็น D, จุดนี้แล้วก็ตัวอื่น
-
ผมจะเรียกมุมนี่ตรงนี้
-
เรารู้ว่านี่จะเท่ากับ มันคือมุมตรงข้าม
-
มุมนี้ตรงกับข้ามมุมนั้น,
-
มันจะเท่ากับมุมนั่นตรงนั้น
-
เราจึงรู้ว่ามุมนี่ตรงนี้ จะเท่ากับมุมที่เป็นมุมตรงข้าม
-
หรือมุมที่อยู่กับตรงกันข้ามตรงจุดตัด มันจึงเท่ากับตัวนั้น
-
และบางครั้ง คุณจะเห็นเขาระบุแบบนี้, คุณจะเห็นรอยขีดมุมซ้ำแบบนั้น
-
หรือบางครั้งคุณจะเห็นบางคนเขียนตัวนี้
-
เพื่อแสดงว่าสองตัวนี้เท่ากับ และสองตัวนี้เท่ากับตรงนั้น
-
ทีนี้ อีกอย่างที่เรารู้คือว่า เราทำแบบเดียวกันได้บนนี้ --
-
สองตัวนี้จะเท่ากัน และสองตัวนี้จะเท่ากัน
-
พวกมันเป็นมุมตรงข้ามกัน
-
สิ่งที่น่าสนใจตรงนี้ คือการคิดถึงความสัมพันธ์ระหว่างมุมนี่
-
ตรงนี้ กับมุมนี่ตรงนี้
-
และถ้าคุณดู, มันก็ชัดเจนว่าความสัมพันธ์คืออะไร
-
พวกมันจะเป็นมุมเดียวกัน
-
และถ้าคุณใช้โปรแทรกเตอร์ตรงนี้มาวัดมัน คุณจะอ่านค่าได้เท่ากันเป๊ะตรงนี้
-
และถ้าผมวาดเส้นขนาน, บางทีผมวาดมันตรงๆ ซ้ายไปขวา, มันอาจชัดเจนไปหน่อย
-
ถ้าผมสมมุติว่าเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน และผมมีเส้นตัดขวางตรงนี้
-
สิ่งที่ผมกำลังบอกคือว่า มุมนี้จะมีค่าเท่ากับมุมนั้นพอดีเป๊ะ
-
และเพื่อให้เห็นภาพ, ลองนึกภาพเส้นตรงนี้เอียงไป, และเมื่อคุณหา,
-
มันดูเป็นกรณีต่างๆ ตรงนี้, ถ้าคุณเอาเส้นตรงนี้มา แล้วคุณดูมันตรงนี้,
-
มันชัดเจนว่านี่เท่ากับอันนี้ และมันไม่มีบทพิสูจน์สำหรับมัน
-
นี่คือสิ่งหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์บอกว่ามันชัดเจนตามสัญชาตญาณอยู่แล้ว
-
ว่าถ้าคุณดูมัน, ถ้าคุณหมุนเส้นตรงนี้ไป, คุณจะบอกว่ามุมพวกนี้เท่ากัน
-
หรือคิดว่าใช้โปรแทรกเตอร์ตรงนี้เพื่อวัดมุมพวกนี้จริงๆ
-
ถ้าคุณวางโปรแทรกเตอร์ลงไปตรงนี้, คุณให้ด้านหนึ่งของมุมอยู่ที่ 0 องศา และอีกด้านหนึ่งจะบอกจุด
-
แล้วคุณก็วางโปรแทรกเตอร์ตรงนี้, สิ่งเดียวกันก็เกิดขึ้น
-
ด้้านหนึ่งจะอยู่บนเส้นขนานนี้ และอีกด้านนั้นจะชี้ไปยังจุดเดียวกันเป๊ะ
-
จากนั้น, เรารู้ไม่ใช่แค่ว่าด้านนี้เทียบได้กับด้านนี้
-
มันยังเทียบได้กับด้านนี่ตรงนี้ด้วย, และนั่นบอกเราว่ามันยังเท่ากับด้านนั้นด้วย
-
ดังนั้นสิ่งเหล่านี้สีเขียวทั้งหมด จะเท่ากัน และด้วยเหตุผลเดียวกัน
-
ด้านนี้ตรงนี้ หรือมุมนี้
-
จะมีค่าวัดได้เท่ากับมุมนี้ และจะเท่ากับมุมนี้, เพราะมันตรงข้ามกัน, หรือพวกมันเป็นมุมตรงข้าม
-
ทีนี้ สิ่งสำคัญที่ต้องสังเกตคือว่า มุมตรงข้ามเท่ากัน และมุมที่เยื้องกัน ณ จุดตัดนั้นเท่ากันด้วย
-
นั่นจะเป็นคำใหม่ที่ผมจะแนะนำตรงนี้ มุมนี้กับมุมนี้ตรงกัน (corresponding)
-
พวกมันแทนมุมขวาบนของตัวอย่างนี้ ที่เราตัดกัน, ตรงนี้พวกมันแทนมุมขวาบนของจุดตัด
-
นี่ก็คือมุมบนซ้าย, พวกมันเท่ากันเสมอ, มุมที่ตรงกันนี้
-
และเหมือนเดิม, มันค่อนข้างชัดเจน
-
นอกจากนั้น, ยังมีคำอื่นที่คนมักเจอ, ไม่ใช่พิสูจน์ว่ามุมนี้เท่ากับมุมนี้,
-
แต่มันยังเท่ากับมุมนี่ตรงนี้ด้วย, และมุมสองมุมนี้ บางทีผมจะเรียกนี่
-
ขอผมระบุพวกมันไป เราจะได้คืบหน้าไปได้. ผมจะใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็ก
-
แทนมุมพวกนั้น. ลองเรียกนี่ว่า a พิมพ์เล็ก, b พิมพ์เล็ก, c พิมพ์เล็ก -- c พิมพ์เล็กแทนมุม
-
d พิมพ์เล็กแล้วก็ขอผมเขียนนี่ว่า e, f, g, h
-
เราก็รู้จากมุมตรงข้ามว่า b เท่ากับ c,
-
แต่เรารู้ว่า b เท่ากับ f ด้วยเพราะมันคือมุมที่ตรงกัน
-
แล้ว f เท่ากับ g. ดังนั้นมุมตรงข้ามเท่ากัน. มุมที่ตรงกันเข้ากัน.
-
และเรายังรู้แน่นอนว่า b เท่ากับ g
-
เราจึงบอกว่ามุมแย้ง (alternate interior angles) นั้นเท่ากัน
-
เรารู้ว่ามันมีมุมข้างในจุดตัดอยู่
-
พวกมันอยู่ระหว่างเส้นตรงสองเส้น แต่พวกมันอยู่คนละฝั่งของเส้นตัดขวาง
-
ตอนนี้ คุณไม่ต้องรู้คำหรูหราก็ได้ -- มุมแย้ง -- คุณก็แค่ต้องสรุป
-
สิ่งที่เราเห็นตรงไป, ว่ามุมตรงข้ามเท่ากัน และมุมที่ตรงกันเท่ากัน
-
แล้วคุณจะเห็นอันอื่นๆ ด้วย. เรารู้ว่า a เท่ากับ d, ซึ่งเท่ากับ h, ซึ่งเท่ากับ e