Example solving for slope of a secant line

Sečna protíná křivku y rovná se
přirozený logaritmus z x ve dvou bodech,

jejichž x-ové souřadnice
jsou 2 a 2 plus h.

Jaká je směrnice
této sečny?

V zadání nám dali dva body
ležící na této sečně.

Možná to není vidět na
první pohled, ale dali nám body…

Když je x rovno 2,
čemu se rovná y?

Víme, že y se rovná
přirozenému logaritmu z x,

takže v tomhle případě to
bude přirozený logaritmus ze 2.

A když je x rovno 2 plus h,
čemu se rovná y?

y bude vždy přirozený
logaritmus toho, čemu se rovná x,

takže to bude přirozený
logaritmus z (2 plus h).

Toto jsou tedy ty dva body,
které leží na naší sečně.

V těchto bodech sečna
protíná zadanou křivku.

Jsou to dva body na přímce,
a když známe dva body na přímce,

dokážeme spočítat
její směrnici.

Připomeňme si, že směrnice
se rovná změně y dělené změnou x.

Čemu se to tedy
bude rovnat?

Když budeme druhý bod
považovat za koncový,

tak se y změnilo z přirozeného logaritmu
ze 2 na přirozený logaritmus z (2 plus h),

takže změna y bude rovna koncovému bodu,
tedy přirozenému logaritmu z (2 plus h),

minus počáteční bod, neboli koncová
hodnota y minus počáteční hodnota y,

tedy minus přirozený
logaritmus ze 2.

Změna x se bude rovnat
koncové hodnotě x, tedy 2 plus h,

minus počáteční
hodnota x, tedy minus 2.

Tyto dvojky se
samozřejmě odečtou.

Když se teď podíváme na nabídku možností,
tak jedna přesně odpovídá tomu, co máme.

Přirozený logaritmus z (2 plus h)
minus přirozený logaritmus ze 2,

to celé lomeno h.

Kdybyste si to chtěli lépe
představit, tak si to můžeme nakreslit.

Tohle teď smažu,
ať tu mám místo na graf,

abyste lépe viděli,
že jde o sečnu.

Nejprve nakreslím
osu y a osu x.

Graf funkce y rovná se přirozený
logaritmus z x bude vypadat nějak takto.

Samozřejmě to kreslím ručně,
takže to není úplně dokonalé.

Když máme bod
[2;ln(2)], který bude…

Pokud je tohle 2 a zde je
přirozený logaritmus ze 2,

tak tady bude
bod [2;ln(2)].

Potom tady máme trochu abstraktnější
bod 2 plus h, tedy 2 plus něco.

Řekněme, že
2 plus h je zde.

Tady na grafu pak
bude bod [2+h;ln(2+h)].

Před chvílí jsme hledali směrnici přímky,
která spojuje právě tyto dva body.

Tato přímka bude
vypadat nějak takhle.

Směrnici jsme spočítali tak, že
jsme nejdřív zjistili, jaká je změna y.

Jdeme z y rovno ln(2) do
bodu y rovná se ln(2 plus h),

takže změna y je přirozený logaritmus z
(2 plus h) minus přirozený logaritmus z 2.

S x jsme se posunuli
ze 2 do 2 plus h,

takže změna x je taková,
že jsme se posunuli o h.

Posunuli jsme se ze 2 do 2 plus h,
takže změna x se rovná h.

Směrnice této sečny,

tedy přímky, která protíná
graf ve dvou bodech,

se tak rovná této změně y dělené změnou x,
a to je opět přesně to, co máme tady.