Обратни тригонометрични функции: Аркустангенс

Обяснение на аркустангенс или обратната функция на тенгенс.

В последното видео ти показах какво трябва да направиш,

ако някой дойде при теб и те попита колко е аркуссинус от х.

И така, това ще бъде равно на какво?

Това е същото като това да попиташ

синус от кой ъгъл е равен на x.

И го решихме за няколко случая в предния пример.

Използвайки същия модел...

Можех да напиша това и като

"обратната функция на синус от х е равно на какво."

Това са еднакви неща.

Два начина за изписване на обратната функция на синус.

Това е запис за обратна синус функция.

Не повдигаме това на степен -1.

Само казваме: "Синус от какво – въпросителен знак –

от какъв ъгъл е равен на x?"

И направихме това в последното видео.

По същия начин ако дойда при теб и ти кажа:

"Обратната функция на тангенс от х е равна на какво?"

Веднага трябва да си кажеш наум: "О, той просто ми казва,

тангенсът от някакъв ъгъл е равен на х. "

И аз просто трябва да разбера какъв е този ъгъл.

Така че нека направим един пример.

Да речем, че те срещна на улицата и те попитам....

И те попитам колко е аркустангенс от -1.

Или можех по същия начин да те попитам колко е

обратната функция на тангенс от -1?

Това са еднакви въпроси.

И това, което трябва да направиш наум – ако

не го помниш наизуст, трябва да начертаеш единична окръжност.

Всъщност нека припомня какво всъщност е тангенс.

Тангенс от тита – това е просто обикновена

не обратна функция на тангенс – това е равно на

синус от тита върху косинус от тита.

И синус от тита е стойността на y координатата

на съответната точка от единичната окръжност.

А косинус от тита е стойността на х координатата на тази точка.

И така, ако начертаем права – нека начертая малка

единична окръжност тук.

Ако имам подобна единична окръжност,

и да речем, че имам някакъв ъгъл;

да речем, че това е моят ъгъл тита.

А това са моите координати (x;y) в тази точка.

Вече знаем, че стойността на y, това е

синус от тита.

Нека дойда до тук.

Синус от тита.

Вече знаем, че тази х стойност е косинус от тита.

А колко ще бъде тангенс от тита?

Той ще бъде дължината на това разстояние, делено на дължината на това разстояние.

Или това може би те връща към Алгебра 1, защото

започваме от центъра – от точката (0;0).

Това е изменението на y координатата върху изменението на x координатата.

Или това е срещулежащ катет към прилежащ катет.

Или може един вид да видиш тангенс от тита, и той наистина е,

като наклона на тази права.

Наклонът.

Така че можем да напишем, че наклонът е равен на тангенс от тита.

Просто имай това предвид, когато стигнем до нашия пример.

Ако те попитам – ще го напиша отново тук – колко е

обратната функция на тангенс от -1?

И продължавам с още един запис –

Или аркустангенс (arctan) от -1?

Питам какъв ъгъл ми дава наклон от -1

в единичната окръжност?

Така че нека начертаем единична окръжност.

След това чертая осите ето така.

И искам наклон от -1.

Наклон от -1 изглежда ето така.

Ако беше така, би бил наклон на +1.

Та какъв ъгъл е това?

За да имаме наклон от -1, това разстояние е

същото като това разстояние.

И може би вече разпознаваш, че това е прав ъгъл.

Така че тези ъгли трябва да са равни.

Това трябва да бъде 45-45-90 триъгълник.

Това е равнобедрен триъгълник.

Тези два ъгъла трябва да се допълват до 90 и те трябва да са равни.

Така че това е 45-45-90.

И ако познаваш триъгълника от вида 45-45-90;

всъщност дори няма нужда да знаеш страните му.

В предишното видео видяхме, че това ще

бъде точно тук.

Това разстояние ще бъде корен квадратен от 2 върху 2.

Така че тази у координата ще е

минус корен квадратен от 2 върху 2.

И тогава тази х координатна тук ще е

корен квадратен от 2 върху 2,

защото тази дължина тук е толкова.

Така че корен квадратен от 2 върху 2 на квадрат плюс

корен квадратен от 2 върху 2 на квадрат е равно на 1 на квадрат.

Най-важното нещо е да разберем, че

това е триъгълник от вида 45-45-90 градуса.

Така че този ъгъл тук е – ако просто гледаме триъгълника,

бихме казали, че това е ъгъл от 45 градуса.

Но тъй като се движим по часовниковата стрелка под Ох,

ще кажем, че това е -45 градусов ъгъл.

Минус 45 градуса.

Така, тангенс от -45 – нека запиша това.

Ако мерим ъгъла в градуси,

и това ми показва начина, по който да мисля,

мога да запиша, че тангенс от -45 градуса е равен на

отрицателната стойност – минус корен квадратен от 2 върху 2,

върху корен квадратен от 2 върху 2, което е равно на -1.

Или мога да напиша, че аркустангенс от -1

е равен на -45 градуса.

Ако работех в радиани, просто трябва да

превърнем това в радиани.

И така умножаваме това по –

имаме π радиана за всеки 180 градуса;

градусите се съкращават.

Получаваме 45 върху 180.

180 е 4 по 45.

Така че това е равно на – имаме знак минус –

-π/4 радиана.

Така че аркустангенс от -1 е равен на -π/4 или

обратната функция на тангенс от -1 е равна също на -π/4.

Сега може да си помислиш:

ако съм при -π/4, това е тук.

Това е добре.

Това ми дава стойност -1,

защото наклонът на тази линия е минус 1.

Но аз мога да продължа да обикалям около единичната окръжност.

Мога да добавя 2π към ъгъла.

Може би можех да добавя 2π и към това и това също щеше да ми даде....

Ако взема тангенс от този ъгъл, той също ще ми даде -1.

Или мога да добавя 2π отново и ще ми даде пак -1.

Всъщност мога да стигна до тази точка тук.

И тангенсът отново ще ми даде -1, защото

наклонът е точно толкова.

И както казах при синуса – във видеото за обратната синус функция,

не можем да имаме функция, която приема различни стойности за един и същи аргумент.

Обратната функция на тангенс от х не може да съответства

на много различни стойности.

Не може да съответства на -π/4,

не може да съответства на 3 – какво да бъде – 3π/4.

Не знам... Например 2π минус π/4.

Или 4π минус π.

Не може да изобрази всички тези различни неща.

Така че трябва да огранича функционалното множество (ФМ)

за обратната тангенс функция.

И ще я ограничим по много подобен начин на този, по който

ограничихме ФМ за обратната синус функция (аркуссинус).

Ще го ограничим до първия и четвъртия квадрант.

Така че отговорът на нашия аркустангенс

винаги ще е нещо в тези квадранти.

Но не може да бъде тази точка и тази точка.

Защото функцията тангенс става неопределена

при π/2 и -π/2.

Тъй като наклонът става вертикален.

Ако започнем да делим, промяната в х става 0.

Делим и косинус от тита става 0.

Ако делим на това, изразът става неопределен.

Така че функционалното множество... Нека го запиша.

Ако имам аркустангенс от х,

какви са всички стойности, които тангенс може да приеме?

Ако имам тангенс от тита е равно на x, какви са

всички различни стойности, които х може да приеме?

Това са всички възможни стойности за наклона.

И този наклон може да приеме всякаква стойност.

Така x може да бъде навсякъде между минус безкрайност

и плюс безкрайност.

x може да приеме всякакви стойности.

Но какво да кажем за тита?

Ами току-що го казах.

Ъгъл тита може да се изменя само от

-π/2 до π/2.

И дори не можем да включим π/2 или -π/2,

защото тогава правата ще бъде вертикална.

Сега имам работа просто с обикновен тангенс,

не аркустангенс.

Дефиниционното множество на тангенс може да е всичко,

така че нека не правя това изявление.

Но ако искам да разгледам аркустангенс, така че да нямам

съответствие 1 към много –

искам да зачеркна всички тези,

ще огранича тита, или ФМ, да бъде

по-голямо от -π/2 и по-малко от плюс π/2.

И така, ако огранича ФМ до това тук и

изключа тази точка и тази точка,

тогава ще мога да получа само един отговор,

когато попитам тангенс от какво ми дава наклон от -1?

И това е въпросът, който задавам тук.

Има само един отговор.

Защото ако продължа, ще изпадна извън разглеждания интервал (-π/2; π/2).

И очевидно като обикалям и обикалям, тези отпадат от

допустимите стойности за тита, които зададох.

И след това, само за да се уверим, че го направихме правилно,

нашият отговор беше π/4.

Нека видим дали ще го получим, когато използваме калкулатора.

И така, аркустангенс от -1 е равен на това.

Нека да видим дали това е същото нещо като -π/4.

-π/4 е равно на това.

Така че е вярно.

Но беше добре, че го решихме без калкулатор, защото

е трудно да разбереш че това е -π/4