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No último vídeo,
eu te mostrei que
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se alguém
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te perguntasse o que é um arco seno --
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-- arco seno de x?
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Isto vai ser igual a quem sabe o quê?
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Isto é o mesmo que dizer que o seno de
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um ângulo é igual a x.
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E o resolvemos no último exemplo.
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Portanto, usando o mesmo padrão --
vou te mostrar isto.
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Eu poderia também ter reescrito isto como
o inverso de seno
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de x é igual a o quê?
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Estas são declarações equivalentes
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Duas formas de se escrever
a função inversa de seno
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Esta é a função inversa de seno.
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Você não está elevando isto
a menos um
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Você só está dizendo que o seno do quê
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Qual ângulo é igual a x?
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E fizemos isto no último vídeo.
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Pelo mesmo padrão, se eu
te encontrasse na rua
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e te dissesse que a tangente
de -- a tangente inversa
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de x é igual a o quê?
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Imediatamente você deveria pensar --
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Ele está apenas dizendo que
a tangente de um ângulo
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é igual a x.
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E eu só preciso calcular
qual é este ângulo.
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Vamos dar um exemplo.
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Digamos que eu te encontrasse na rua
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-- Muitos encontros em muitas ruas --
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e eu te perguntasse
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Hey você, qual é o arco tangente
de menos um?
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Ou, de forma equivalente,
eu poderia ter perguntado,
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qual é a tangente inversa de menos um?
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Estas são perguntas equivalentes.
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E o que você deve fazer na sua cabeça --
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se você não tiver isto memorizado,
desenhe o círculo unitário.
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Vamos refrescar nossa memória
sobre qual tangente
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ele está nos perguntando.
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A tangente de teta -- isto é simplesmente
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a função tangente -- não sua inversa --
isto é igual a
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seno de teta sobre cosseno de teta.
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E o seno de teta é o valor de y
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no círculo unitário.
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E o cosseno de teta
é o valor de x.
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E portanto se você desenhar uma linha --
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vou desenhar um
pequeno círculo unitário aqui.
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Se você tiver um círculo unitário
como este.
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E digamos que eu esteja em um ângulo.
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Digamos que este seja o meu ângulo teta.
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E este é meu y -- minhas coordenadas
x, y.
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Já sabemos que o valor y,
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é o seno de teta.
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Vou repaginar aqui.
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Seno de teta.
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Ja sabemos que este valor x
é o cosseno de teta.
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Então, qual vai ser a tangente?
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Vai ser esta distância
dividida por esta distância.
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Você deve se lembrar disso de Álgebra I
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porque começamos na origem,
no ponto (0,0).
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Esta é a nossa mudança em y
sobre a mudança em x.
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Ou nossa inclinação.
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Ou você pode ver isto como
tangente de teta,
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É a inclinação desta linha.
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A inclinação.
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Você poderia escrever que a inclinação é
igual a tangente de teta.
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Vamos manter em mente
quando formos ao nosso exemplo.
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Se eu te perguntar -- e eu vou reescrever
aqui --
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qual é a tangente inversa de menos um?
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Vou continuar reescrevendo.
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Ou o arco tangente de menos um?
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Eu quero dizer qual ângulo
me dá a inclinação de menos um
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no círculo unitário?
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Vamos desenhar o círculo unitário
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Vamos desenhar o círculo unitário assim.
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Eu tenho meus eixos. Desse jeito.
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E eu quero a inclinação de menos um.
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a inclinação de menos um
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se parece com isto.
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Se fosse assim, seria
a inclinação de mais um.
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Então, qual é este ângulo?
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Para termos a inclinação
de menos um, esta distância
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é a mesma que esta distância.
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E você já deve ter reconhecido que
este é um ângulo reto.
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Portanto estes ângulos
tem que ser iguais.
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Portanto isto tem que ser um
triângulo 45 45 90.
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Este é um triângulo isósceles.
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Estes dois tem que somar 90
e têm que ser iguais.
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Portanto isto é 45 45 90.
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E se você souber --
Na verdade, você nem precisa
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saber os lados dele.
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No vídeo anterior, vimos que
isto seria
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-- bem aqui.
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A distância vai ser a raíz quadrada
de dois sobre dois.
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Então esta coordenada na direção y é
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menos raíz quadrada de dois
sobre dois.
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E aí esta coordenada na direção x é
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raíz quadrada de dois sobre dois porque
este comprimento
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bem aqui é isto.
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A raíz quadrada de dois sobre dois
mais a raíz quadrada
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de dois sobre dois ao quadrado é
igual a um ao quadrado.
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Mas o importante é perceber que
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isto é um triângulo 45 45 90.
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Portanto, este ângulo aqui é --
Bem, se você estiver olhando somente
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o triângulo em si, você diria que este é
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um ângulo de 45 graus.
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Mas como estamos na direção horária
abaixo do eixo x, vamos chamar
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de ângulo de menos 45 graus.
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Portanto, a tangente de menos 45 --
vou escrever isto.
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Se eu estiver em graus.
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E é a assim que eu costumo pensar.
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Eu poderia escrever a tangente
de menos 45 graus é igual
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a este valor negativo -- menos raíz
quadrada de dois sobre dois
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sobre a raíz quadrada de dois sobre dois,
o que é igual a menos um.
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Ou eu poderia escrever o arco tangente
de menos um é igual
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a menos 45 graus.
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Se estivermos lidando com radianos
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temos que converter isto para radianos.
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Portanto, multiplicamos aquilo vezes --
Obtemos pi radianos
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para cada 180 graus.
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Os graus se cancelam.
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E você tem 45 sobre 180.
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Isto vai quatro vezes.
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Isto é igual a -- você tem
o sinal menos --
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menos pi sobre 4 radianos.
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Portanto, o arco tangente de menos um é
igual a menos pi sobre quatro
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ou a tangente inversa de menos um é
também igual a menos pi sobre quatro.
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Você poderia dizer,
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Se eu estou em menos pi sobre quatro,
que está ali, tudo bem.
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Isto me dar um valor menos um
porque o coeficiente angular
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desta linha é menos um.
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Mas eu posso continuar indo em volta
do círculo unitário.
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Eu poderia adicionar dois pi a isto.
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Talvez eu pudesse adicionar dois pi a isto
e aquilo também me daria --
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Se eu pegasse a tangente daquele ângulo
ela também
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me daria menos um.
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Ou eu poderia adicionar 2 pi novamente e,
novamente, me daria menos um.
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De fato, eu poderia ir a este
ponto bem aqui.
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E a tangente também me daria
menos um porque
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a inclinação está bem ali.
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E como eu disse no seno -- no vídeo
sobre seno inverso,
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você não pode ter uma função
com relacionamento de um para muitos.
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A tangente inversa de x
não pode relacionar com um monte
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de valores diferentes.
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Não pode mapear para
menos pi sobre quatro.
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Não pode mapear para três - o que seria?
3 pi sobre 4.
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Eu não sei.
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Seria -- Eu vou dizer 2 pi menos
pi sobre quatro.
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Ou 4 pi menos pi.
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Não pode mapear para todos estes
valores diferentes.
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Portanto eu tenho que restringir
a faixa na
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função tangente inversa.
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E vamos restringir de forma parecida
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com a que restringimos o seno inverso --
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Vamos restringir para o primeiro
e quarto quadrantes.
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Portanto a resposta para sua tangente
inversa sempre será
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algo nestes dois quadrantes.
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Mas não pode ser este ponto
e aquele ponto.
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Porque uma função tangente se torna
indefinida em pi sobre dois
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e em menos pi sobre dois.
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Porque sua inclinação se torna vertical.
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Você começa a dividir --
Sua mudança em x é zero.
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Você está dividindo -- O seu cosseno
de teta vai a zero.
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Portanto se você dividir por aquilo, fica
indefinido.
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Portanto a sua faixa -- vou escrever isto.
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Se eu tiver uma tangente inversa de x
eu vou -- bem,
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Quais são os valores
que a tangente pode assumir?
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Se eu tiver a tangente de teta igual a x,
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quais são os diferentes valores que
x pode assumir?
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Estes são todos os valores possíveis
para a inclinação.
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E aquela inclinação pode assumir qualquer
valor.
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x poderia ser qualquer coisa entre
menos infinito
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e mais infinito.
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x poderia assumir qualquer valor.
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Mas e o teta?
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Eu acabei de dizer.
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Teta só pode ir de menos pi sobre dois
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até pi sobre dois.
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E você nem pode incluir pi sobre dois ou
menos pi sobre dois
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porque senão você estaria na vertical.
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Se eu estiver lidando
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com uma tangente simples
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e não a inversa,
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o domínio -- bem, o domínio da
tangente pode ir múltiplas vezes
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em volta, portanto eu não vou
dizer isto --
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Se eu quiser fazer a tangente inversa
para
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-- eu não preciso ter uma relação
de um para muitos
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eu quero eliminar todos estes --
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eu tenho que restringir teta,
ou minha faixa,
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para que seja maior que
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o menos pi sobre dois e menos que
pi positivo sobre dois.
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Se eu restringir minha faixa
a esta bem aqui
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e eu excluir aquele ponto e aquele ponto
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eu obtenho somente uma resposta.
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Quando eu digo tangente do quê me dá
a inclinação de menos um?
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Isto é o que eu estou perguntando bem ali.
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Só existe uma resposta.
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Porque se eu mantiver
-- esta é eliminada.
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E obviamente quando eu vou em volta,
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todos estes são eliminados
da faixa válida para teta que eu te dei.
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Para ter certeza que fizemos isto
corretamente,
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nossa resposta é pi sobre quatro.
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Vamos ver se obtemos isto quando
usamos nossa calculadora.
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A tangente inversa de menos um
é igual àquilo.
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Vamos ver se isto é a mesma coisa que
menos pi sobre quatro.
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Menos pi sobre quatro é igual àquilo.
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Portanto, é menos pi sobre quatro.
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Foi bom termos resolvido sem a calculadora
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porque é difícil de se reconhecer
isto como menos pi sobre quatro.
