Inverse Trig Functions: Arctan

Understanding the arctan or inverse tangent function.

Привет!

На прошлом уроке мы говорили о том, что если бы кто-то

подошел к вам и спросил, что такое arcsin х?

И это будет равно… неизвестно чему.

Это то же самое, что сказать:

синус какого-то угла равен х.

И в последнем примере мы это вычислили для пары случаев.

Поэтому, используя тот же образец… Давайте я покажу вам его.

Я мог бы переписать это так: обратный синус х

равен чему-то.

Эти выражения имеют одинаковые значения.

Это просто два способа записи обратной функции синуса.

Это обратная функция синуса.

Вы не возводите ее в степень «минус 1».

Вы только говорите: синус какого («какого» - это знак вопроса)

угла равен х?

И мы это делали на прошлом уроке.

И опять-таки, если бы я подошел к вам

на улице и спросил: «Чему равен обратный тангенс х?»

Вы тотчас сказали бы про себя: «Ага, как он только что говорил,

это значит, что тангенс какого-то угла

равен х.

И мне нужно только выяснить, что это за угол».

Итак, давайте решим пример.

Опять-таки подхожу я к вам на улице…

На многих улицах есть много гуляющих... и спрашиваю вас:

чему равен arctg (-1)?

С таким же успехом я мог спросить:

чему равен обратный тангенс tgֿ¹(-1)?

Это равносильные вопросы.

И что вам следует сделать -

если это не сохранилось у вас в памяти, то следует нарисовать единичную окружность.

Собственно, давайте я вам напомню, что такое тангенс.

Tg θ - простая, не обратная функция тангенса –

равен отношению sin θ к cos θ.

Sin θ – это значение Y

на единичной окружности.

Cos θ – значение Х.

Нарисую небольшую единичную окружность.

Итак, есть вот такая единичная окружность.

И, допустим, есть какой-то угол.

Пусть этот угол равен θ.

А это – точка с координатами (х,у).

Мы уже знаем, что значение Y – это sin θ.

Перемещусь сюда.

Sin θ.

А также знаем, что значение Х – это cos θ.

Так чему же будет равен тангенс?

Он будет равен этому расстоянию, деленному на это расстояние.

Или, возможно, вам это кое-что напомнит из уроков алгебры,

т.к. мы начинаем от начала координат, от точки (0,0).

Это равно смещению по Y, деленному на смещение по Х.

Или можно рассматривать tg θ как тангенс угла наклона этой прямой.

Тангенс угла наклона.

Т.е. можно было бы записать: тангенс угла наклона равен tg θ.

Будем иметь это в виду при решении нашего примера.

Если я спрошу вас (перепишу это здесь): чему

равен обратный тангенс tgֿ¹(-1)?

И продолжаю переписывать в другой форме...

или arctg (-1)?

Я говорю: «Какой угол даст мне тангенс угла наклона -1

на единичной окружности?»

Итак, нарисуем единичную окружность.

Нарисуем вот такую единичную окружность.

У нее будут вот такие оси.

И мне нужен угловой коэффициент -1.

Он выглядит приблизительно так.

Если бы было вот так, то это был бы угловой коэффициент +1.

Итак, какой это угол?

Чтобы тангенс угла наклона был равен -1, это расстояние

должно быть равно этому расстоянию.

И вы наверняка уже узнали, что это прямой угол.

Поэтому эти углы должны быть равны.

Т.е. это должен быть треугольник с углами 45-45-90.

Это равнобедренный треугольник.

Сумма этих двух углов должна быть равна 90°, и они должны быть равны.

Поэтому это 45-45-90.

И если вы знаете, в треугольнике 45-45-90… хотя, вообще-то,

вам даже не обязательно знать его стороны.

В предыдущем уроке мы выяснили, что это будет равно…

вот это расстояние будет равно √2/2.

Здесь координата на оси Y равна -√2/2.

А эта координата, здесь, на оси Х,

равна √2/2, т.к. длина этой стороны

равна длине этой стороны.

Итак, (√2/2)² + (√2/2)² = 1²

Но самое главное – понять, что это

треугольник с углами 45-45-90.

Т.е. вот этот угол… Ну, если вы посмотрите на сам треугольник,

то скажете, что это угол 45°.

Но т.к. мы идем по часовой стрелке под осью Х,

то будем считать, что этот угол равен -45°.

Итак, tg (-45°)… Запишем это.

Используем градусы…

Итак, я мог бы записать: tg(-45°)=(-(√2/2)) / (√2/2),

что в свою очередь равно -1.

Или можно было бы записать: arctg (-1) = -45°

А теперь, если дальше будем работать с радианами, то нам нужно

перевести это в радианы.

Поэтому умножаем на π радиан, деленные на 180°.

Градусы сокращаются.

Остается 45/180.

Это равно 1/4.

Поэтому остается (со знаком минус) -π/4 радиан.

Итак, arctg (-1) = - π/4 или

обратный тангенс tgֿ¹(-1) также равен -π/4.

Теперь вы могли бы сказать: «Послушайте,

если я нахожусь в -π/4 (это вот здесь) –

замечательно,

это дает мне значение -1, т.к. тангенс угла наклона

этой линии равен -1.

Но ведь я могу продолжать двигаться вокруг единичной окружности.

Могу к этому добавить еще 2π и также получу

(если возьму тангенс этого угла)

также получу -1.

А потом снова добавлю 2π, и снова получу значение -1.»

По сути, я мог бы прийти вот в эту точку,

и тангенс снова был бы равен -1, т.к.

угол наклона находится здесь.

И так же, как я говорил на уроке по арксинусу,

функции обратного тангенса в каждой конкретной точке х не может соответствовать

целый ряд разных значений.

Она не может одновременно принимать значения -π/4

и 3π/4…

нет, стоп...

(2π – π/4)...

и, например, (4π – π/4).

Не может функция принимать все эти значения.

Поэтому нужно ограничить область значений

для обратной функции тангенса.

Мы ограничиваем ее так же, как делали это

для функции обратного синуса.

Ограничиваем до 1-й и 4-й четвертей окружности.

Т.е. значением функции арктангенса всегда будет

какое-то значение в этих четвертях.

Только оно не может быть в этой и в этой точках,

потому что функция тангенс не определена в точках π/2 и -π/2.

Потому что угол наклона идет вертикально.

Тогда вы разделите… смещение по Х равно нулю,

cos θ также равен нулю…

вы делите на это значение – и функция становится неопределенной.

Итак, область значений… Давайте я запишу это.

Если есть обратный тангенс х…

Какие значения вообще может принимать тангенс?

Если tan θ = x,

какие значения может принимать х?

Это все возможные значения для тангенса угла наклона.

Он может принимать любые значения.

Т.е. х принаджежит промежутку (-∞; +∞).

х просто-напросто может принимать любое значение.

Но как насчет θ?

Мы только что сказали,

что θ может принимать значения от -π/2 до π/2,

и это не включая сами точки -π/2 и π/2

(потому что тогда угол наклона был бы вертикальным).

Итак, если я имею дело

с простым тангенсом

(не обратным),

то область его определения… собственно, это промежуток

(-∞; +∞), поэтому давайте я не буду записывать выражение.

Но если я имею дело с обратным тангенсом, то здесь уже

не будет значение 1 во многих точках.

Хочу все это зачеркнуть.

Ограничу область значений θ, чтобы θ был больше,

чем -π/2 и меньше, чем π/2.

И поэтому если я ограничиваю область значений до этой области,

исключая эту точку и эту,

то получу только один ответ.

Если я говорю: «Тангенс какого угла даст мне значение -1?»

Это вопрос, который я задавал вот здесь.

Здесь только один ответ.

Потому что эта точка не в счет…

Ведь заметно, что при движении по кругу две другие четверти

не входят в правильную область значений для θ, которую я давал вам.

А теперь давайте убедимся, что мы правильно решили пример.

Наш ответ был π/4.

Посмотрим, получится ли то же самое на калькуляторе.

Итак, обратный тангенс -1 равен вот чему.

Посмотрим, действительно ли это равно -π/4.

-π/4 равно вот чему.

Итак, это -π/4.

Но хорошо, что мы вычислили это без помощи калькулятора, потому что,

глядя на это значение, трудно понять, что это -π/4.