ฟังก์ชันอินเวอร์สตรีโกณฯ: อาร์คแทน

เข้าใจฟังก์ชันอาร์คแทนต์หรืออินเวอร์สแทนเจนต์

-

ในวิดีโอที่แล้ว, ผมได้แสดงให้คุณดูไปว่า ถ้ามีคนเดินมา

เจอคุณแล้วถามคุณเรื่องอาร์คไซน์ -- โอ๊ย

-- อาร์คไซน์ของ x?

และมันก็เท่ากับสิ่งที่ใครก็รู้

นี่ก็เหมือนกับบอกว่า ไซน์ของ

มุมสักมุมเท่ากับ x

เราหามันไปหลายกรณีในตัวอย่างที่แล้ว

เราก็ใช้รูปแบบเดียวกัน -- ขอผมทำนี่ให้ดูหน่อย

ผมก็เขียนมันเป็นอินเวอร์สไซน์

ของ x เท่ากับอันนั้น

มันเป็นประโยคเหมือนกัน

เป็นวิธีการเขียนฟังก์ชันอินเวอร์สไซน์สองแบบ

อันนี้คือ -- อันนี้คือฟังก์ชันอินเวอร์สไซน์

ไม่ใช่เอาอันนี้มายกกำลังลบ 1 นะ

คุณแค่บอกว่าไซน์ของอะไร -- เครื่องหมายคำถาม --

มุมอะไรเท่ากับ x?

เราทำไปในวิดีโอที่แล้ว

และด้วยรูปแบบเดียวกัน หากผมเดินเจอคุณ

ตามถนนแล้วถามคุณว่าแทนเจนต์ -- อินเวอร์ส

แทนเจนต์ของ x เท่ากับอะไร?

คุณก็ควรคิดในใจได้ทันทีว่า เขากำลัง

ถามฉันว่า -- เขากำลังถามว่าแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง

เท่ากับ x

และฉันต้องหาว่ามุมนั้นคืออะไร

ลองทำตัวอย่างกัน

งั้นสมมุติว่าผมเดินเจอคุณบนถนน

รู้สึกจะเดินบนถนนบ่อยจังเลยนะ

ผมเขียน -- ผมบอกคุณว่า

อาร์คแทนเจนต์ของลบ 1 คืออะไร?

หรือผมอาจถามอีกอย่างว่า อินเวอร์ส

แทนเจนต์ของลบ 1 เป็นเท่าไหร่?

มันเป็นคำถามเดียวกัน

สิ่งที่คุณควรทำคือ คุณควรคิดในไจ --

หากคุณไม่อยากต้อง คุณก็ควรวาดวงกลมหน่วย

ที่จริงผมทบทวนหน่วยว่าแทนเจนต์

คืออะไรกันแน่

แทนเจนต์ของทีต้า -- อันนี้คือฟังก์ชันแทนเจนต์

ตรงๆ ไม่มีอินเวอร์สอะไร -- มันเท่ากับไซน์ของ

ทีต้าส่วนโคไซน์ของทีต้า

และไซน์ของทีต้าเท่ากับค่า x บนฟังก์ชัน --

บนวงกลมหน่วย

และโคไซน์ของทีต้าคือค่า x

แล้วหากคุณลากเส้น -- ขอผมวาด

วงกลมหน่วยเล็กๆ ตรงนี้นะ

หากผมมีวงกลมหน่วยแบบนี้

สมมุติว่าผมมีมุมหนึ่งมุม

สมมุติว่านั่นคือมุมทีต้าของผม

และนี่คือ y -- พิกัด x,y

เรารู้แล้วว่าค่า y, นี่คือ

ไซน์ของทีต้า

ขอผมเลื่อนลงมาตรงนี้นะ

ไซน์ของทีต้า

และเรารู้แล้วว่าค่า x คือโคไซน์ของทีต้า

แล้วแทนเจนต์จะเท่ากับอะไร?

มันจะเป็นระยะนี่หารด้วยระยะนี้

หรือจากพีชคณิต I, นี่อาจทำให้คุณร้องอ๋อ เพราะ

เราเริ่มจากจุดกำเนิด คือจุด 0,0

นี่คือการเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

มันก็คือ ระยะแนวตั้งส่วนระยะแนวนอน

หรือคุณอาจมองแทนเจนต์ของทีต้า, ว่ามัน

ก็คือความชันของเส้นตรงนี้เอง

ความชัน

คุณเลยสามารถเขียนความชันเท่ากับแทนเจนต์ของทีต้า

เก็บไว้ในใจแล้วกันตอนเราทำตัวเอย่าง

หากผมถามคุณ -- ผมจะเขียนใหม่ไว้ตรงนี้นะ -- ว่า

อินเวอร์สแทนเจนต์ของลบ 1 คืออะไร?

ผมจะเขียนมันใหม่อีก

หรืออาร์คแทนเจนต์ของลบ 1 คืออะไร?

ผมถามว่ามุมอะไรให้ความชันเป็นลบ 1

บนวงกลมหน่วย?

ขอผมวาดวงกลมหน่วยหน่อยนะ

ลองวาดวงกลมหน่วยแบบนั้นดู

ผมมีแกนแบบนั้น

ผมอยากได้ความชันเป็นลบ 1

ความชันลบ 1 เป็นแบบนี้

-

และหากเป็นเช่นนั้น, ความชันก็จะเป็นบวก 1

แล้วมุมนี่เป็นเท่าไหร่?

ในการหาความชันเป็นลบ 1, ระยะนี้

ต้องเท่ากับระยะนี้

คุณอาจระลึกได้ว่านี่คือมุมฉาก

และมุมสองมุมนี้ต้องเท่ากัน

นี่เลยต้องเป็นสามเหลี่ยมแบบ 45 45 90

นี่คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สองมุมนี้รวมกันได้ 90 และมันต้องเท่ากัน

นี่เลยเป็น 45 45 90

และถ้าคุณรู้ 45 45 90 -- ที่จริงคุณไม่ต้อง

รู้ความยาวด้านมันก็ได้

ในวิดีโอที่แล้ว, เราเห็นแล้วว่ามันจะ

เท่ากับ -- ตรงนี้

ระยะนี่จะเป็นสแควร์รูท 2 ส่วน 2

ดังนั้นพิกัดนี้ในทิศ y คือลบ

สแควร์รูท 2 ส่วน 2

แล้วพิกัดนี่ตรงนี้ตามทิศ x

คือสแควร์รูท 2 ส่วน 2 เพราะความยาว

ตรงนี้คือค่านั้น

แล้วสแควร์รูท 2 ส่วน 2 กำลังสอง บวกสแควร์รูท

2 ส่วน 2 กำลังสอง เท่ากับ 1 กำลังสอง

แต่สิ่งสำคัญที่ต้องสังเกตคือว่า นี่คือ

สามเหลี่ยมแบบ 45 45 90

ดังนั้นมุมนี่ตรงนี้ คือ -- ถ้าคุณดูแต่

สามเหลี่ยมเอง, คุณก็บอกได้ว่านี่คือ

มุม 45 องศา

แต่เนื่องจากเราไปทางใต้แกน x, เราจะเรียก

มุมนั้นว่าลบ 45 องศา

-

ดงนั้นแทนเจนต์ของลบ 40 -- ขอผมเขียนลงไปนะ

ถ้าผมใช้หน่วยองศา

นั่นคือวิธีที่ผมมักคิด

ผมก็เขียนแทนเจนต์ของลบ 45 องศา มันเท่ากับ

ค่าลบนี่ -- ลบสแควร์รูท 2 ส่วน 2 ส่วนสแควร์รูท

2 ส่วน 2, ซึ่งเท่ากับลบ 1

หรือผมอาจเขียนว่าอาร์คแทนเจนต์ของลบ 1 เท่ากับ

ลบ 45 องศา

ทีนี้หากเราใช้มุมเรเดียน เราต้อง

เปลี่ยนมุมนี้เป็นหน่วยเรเดียน

เราก็คูณมันด้วย -- เรารู้ว่า ไพ เรเดียน

เท่ากับ 180 องศา

องศาก็ตัดกัน

คุณจะได้ 45 ส่วน 180

นี่เป็น 4 เท่า

นี่ก็เลยเท่ากับ -- คุณก็ไดเครื่องหมายลบ --

ลบ ไพส่วน 4 เรเดียน

ดังนั้นอาร์คแทนเจนต์ของลบ 1 เท่ากับลบไพ ส่วน 4 หรือ

อินเวอร์สแทนเจนต์ของลบ 1 เท่ากับลบไพ ส่วน 4 เช่นกัน

ทีนี้คุณก็บอกว่า ดูสิ

หากฉันอยู่ที่ลบไพส่วน 4 มันคือตรงนั้น

ก็ใช้ได้

มันให้ค่าลบ 1 เพราะความชันของ

เส้นตรงนี้คือลบ 1

แต่ผมยังไปรอบวงกหลมหน่วย

ผมสามารถเพิ่ม 2 ไพเข้าไปตรงนี้

บางทีผมอาจเพิ่ม 2 ไพเข้าไปตรงนี้ มันก็ทำให้ผม --

หากผมหาแทนเจนต์ของมุมนั้น, มันก็ยัง

ได้ลบ 1

หรือผมอาจเพิ่ม 2 ไพอีกที แล้วมันก็ให้ ลบ 1 ผมอีก

ที่จริงผมไปยังจุดนี้ก็ได้

แทนเจนต์ก็ยังได้ลบ 1 เพราะ

ความชันอยู่ตรงนี้

และอย่างที่ผมทำกับไซน์ -- ในวิดีโอเรืองอินเวอร์สไซน์

คุณไม่สามารถมีฟังก์ชันที่โยงค่า 1 ค่าไปยังหลายค่าได้

คุณทำไม่ได้ -- อินเวอร์สแทนเจนต์ไม่สามารถโยงไปยัง

ค่าต่างๆ กันได้

ผมไม่สามารถโยงไปยังไพ ส่วน 1

มันไปหา 3 -- คืออะไรนะ? 3 ไพส่วน 4

ไม่รู้สิ

มันอาจเป็น -- ผมอาจบอกว่า 2 ไพ บวก ไพ ส่วน 4

หรือ 4 ไพ ลบ ไพ

มันสามารถโยงไปหาค่าต่างๆ ทุกค่าได้

ผมเลยต้องจำกัดเรนจ์ของ

ฟังก์ชันอินเวอร์สแทน

และเราจะบังคับมันแบบเดียวกับ

ที่เราจำกัดไซน์ -- เรนจ์ของอินเวอร์สไซน์

เราจะกำหนดไว้แค่จตุภาคที่ 1 กับ 4

ดังนั้นคำตอบของอินเวอร์สแทนเจนต์

จะอยู่ในจตุภาคเหล่านี้เสมอ

แต่มันเป็นจุดนี้หรือจุดนั้นไม่ได้

เพราะฟังก์ชันแทนเจนต์นิยามไม่ได้ตรง ไพ ส่วน

2 กับลบ ไพ ส่วน 2

เพราะเส้นตรงจะกลายเป็นเส้นดิ่ง

คุณจะเริ่มหาร -- การเปลี่ยนแปลงของ x เป็น 0

คุณเลยหาร -- โคไซน์ของทีต้าเข้าหา 0

แล้วหากคุณหารด้วยค่านั้น มันก็นิยามไม่ได้

ดังนั้นเรนจ์ -- หากผม -- ขอผมเขียนลงไปนะ

หากผมมีอินเวอร์สแทนเจนต์ของ x, ผมจะ -- เอาล่ะ

ค่าทั้งหมดที่แทนเจนต์เป็นได้นั้นมีค่าใดบ้าง?

หากผมมีแทนเจนต์ของทีต้าเท่ากับ x, ค่า x

จะมีค่าเป็นอะไรได้บ้าง?

ความชันจะมีค่าเป็นอะไรก็ได้

และความชันเป็นนเท่าไหร่ก็ได้

x เลยมีค่าระหว่างลบอนันต์

กับบวกอนันต์

x เป็นไปได้ทุกค่า

แล้วทีต้าล่ะ?

ผมก็เพิ่งบอกไป

ทีต้า, คุณเริ่มจากลบ ไพ ส่วน 2 จน

ถึงไพ ส่วน 2 ได้เท่านั้น

คุณไม่สามารถรวม ไพ ส่วน 2 กับลบไพส่วน 2 ได้

เพราะคุณอยู่บนเส้นดิ่งแล้ว

แล้วคุณก็บอกว่า -- ตรงนี้ผมกำลังยุ่ง

กับแทนเจนต์ธรรมดา

ไม่ใช่อินเวอร์ส

โดเมน -- โดเมนของแทนเจนต์จะวน

กี่รอบก็ได้ ขอผมละประโยคนั้นไปนะ

แต่หากผมอยากหาอินเวอร์สแทนเจนต์ ผมไม่อยากให้

มันเป็นการโยงแบบ 1 ค่าไปหาหลายค่า

ผมอยากตัดพวกนี้ออกให้หมด

ผมจะจำกัดทีต้า หรือเรนจ์ของผม ให้มากกว่า

ลบ ไพส่วน 2 และน้อยกว่าบวก ไพ ส่วน 2

ดังนั้นถ้าผมจำกัดเรนจ์ไว้เช่นนี้ และผม

เอาจุดนั้นกับจุดนั้นออก

ผมก็ได้คำตอบเพียงค่าเดียว

ผมถามไว้ว่าแทนเจนต์ของอะไรให้ความชันเป็นลบ 1?

นั่นคือคำตอบที่ผมถามอยู่ตรงนี้

มันมีแค่คำตอบเดียว

เพราะหากผมบวกเพิ่ม -- มันจะหลุดออกไป

และแน่นอนหากผมวนครบรอบ, มันก็จะ

หลุดนอกเรนจ์ของทีต้าที่ผมบอกคุณไป

เพื่อให้แน่ใจว่าเราทำถูก

คำตอบของเราคือ ไพ ส่วน 4

ลองดูว่าเราจะได้ค่านั้นไหมเมื่อใช้เครื่องคิดเลข

อินเวอร์สแทนเจนต์ของลบ 1 เท่ากับค่านั้น

ลองดูว่ามันเหมือนกับไพส่วน 4 หรือเปล่า

ลบไพ ส่วน 4 เท่ากับค่านั้น

มันคือลบไพส่วน 4 จริงๆ

แต่เราแก้โดยไม่ใช่เครื่องคิดเลขดีกว่าเพราะ

มันดูยากว่าเป็นลบไพ ส่วน 4