Ters Trigonometrik Fonksiyonlar: Arktanjant

Arktanjant veya ters tanjant fonksiyonunun anlatımı

.

.

.

.

.

Arcsin x dediğimiz, bir açının sinüsünün bir x değerine eşit olmasıyla aynı şeydir.

.

Bu fonsiyonun çözümü için bir kaç farklı yol kullanılabilir.

.

Örneğin, bunu x'in sinüsünün tersi kaça eşittir şeklinde tekrar yazalım.

.

Bunların hepsi aynı anlama gelen, birbiriyle eş ifadelerdir.

Diğer bir değişle, ters sinüs fonksiyonunu yazmak için kullanılan iki farklı ifade.

Kısacası, bu bir ters sinüs fonksiyonudur.

Yalnız dikkat edilmesi gereken bir nokta, burada eksi birinci kuvveti almıyoruz.

Üzeri eksi bir gösterimi ile demek istediğimiz şey, sinüs kaç derece x sayısına eşit olurdur.

.

Bir önceki videoda bunu yapmıştık.

Yine aynı örneği kullanalım.

Diyelim ki ters tanjant x neye eşittir gibi bir soruyla karşılaştık.

.

Hemen aklımıza gelmesi gereken şey, hangi açının tanjantı x'e eşittir sorusu olmalıdır.

.

.

Sonrası için tek yapmam gereken ise, o açının ne olduğunu bulmaktır.

Hadi o zaman bir örnek yapalım.

Diyelim ki, sokakta yürürken seninle karşılaştım.

.

Ve sana şunu sormuşum mesela, eksi birin arktanjantı kaç?

.

ya da, onu değil de tanjant eksi bir fonksiyonunun tersini sormuşum.

.

Aslında bu iki soru da birbirinin tıpa tıp aynısı.

Benim bu sorum üzerine senin yapman gereken şey, eğer bunu ezbere bilmiyorsan, kafandan bir birim çember çizmek.

.

Aslında tanjant neydi önce bir hatırlayalım.

.

Tanjant(θ) dediğimiz, adı üstünde ters olmayan tanjant fonksiyonuna verdiğimiz isimdir.

Ve bu da sinüs(θ)'nın cosinüs(θ)'ya oranlanması ile bulunur.

.

Ayrıca, sinüs(θ)'nın alacağı değerler, birim çemberde y eksenine karşılık gelir.

.

cosinüs(θ)'nın değerleri ise x ekseninde yer alır.

O zaman bir tane birim çember çizeyim hemen.

.

Böyle bir birim çemberim var diyelim.

Ve mesela şu an ben bir açıdayım.

O açının ölçüsü de (θ) olsun.

Benim koordinatlarıma da (x,y) diyelim.

y değerinin, sinüs(θ)'nın aldığı değere karşılık geldiğini zaten biliyoruk.

.

Buraya ilerleyelim.

(θ)'nın sinüsü.

Ve öğrendiğimiz gibi buradaki x değeri (θ)'nın cosinüsüdür.

Peki o zaman tanjant ne olmalı?

tanjant(θ), bu uzunluğun bu uzunluğa bölümü ile bulunacak.

ya da, tanjant(θ)'yı bulmak için cebir I'den yola çıkılabilir, çünkü burada orijinden yani (0,0) noktasından başlıyoruz.

.

Bu y'deki değişim bölü x'teki değişime denk gelir.

Ya da, buna bu aralıktaki artış da denileblir.

Çözüme ulaşmada kullanabileceğin diğer yollardan biri ise bir bakıma tanjant(θ)'yı görmektir.

Başka bir değişle, onun bu çizginin eğimi olduğunu anlamaktır.

Evet, eğim.

Yani, eğim eşittir (θ)'nın tanjantı diye yazabilirsin.

Hadi o zaman örneğimize geri dönelim, ama aklımızın bir köşesinde de bunu saklayalım.

Ele aldığımız örnekte tanjant eksi birin tersi sorulmaktaydı.

.

Şimdi onu tekrar yazalım.

ya da, onun yerine eksi birin arktanjantı da yazabiliriz.

Burada sorduğum şey ise birim çemberde eksi birin eğimi bana hangi açıyı verdiğidir.

.

Hadi o zaman birim çemberi çizelim.

.

Sonra da eksenlerimizi yerleştirelim.

Burada benim bilmeyi istediğim şey eksi birin eğimi.

Eksi birin eğimi böyle gözüküyor.

.

Eğer böyle olsaydı, bu artı birin eğimi olacaktı.

Peki, o zaman, bu açının ölçüsü nedir?

Eksi birin eğimini bulmak adına, bu uzaklık ve bu uzaklık birbirine eşittir.

.

Ve bunun dik açı olduğunu çoktan fark etmiştirsin.

O zaman bu açılar birbirine eşittir.

Ve bu üçgenin 45-45-90 üçgeni olması gerekir.

Bu bir ikizkenar üçgendir.

Bu iki açının birbirine eşit ve toplamlarının 90 derece olması gerekir.

Bu yüzden bu bir 45-45-90 üçgenidir.

Bu üçgenin kenarlarını bilmek zorunda değilsin.

.

Bir önceki videoda bunun tam burada olacağını görmüştük.

.

Bu uzaklık ikinin kare kökü bölü ikidir.

Yani, bu koordinatın y eksenindeki karşılığı eksi, ikinin kare kökü bölü ikidir.

.

x ekseni üzerinde de bu koordinat buradadır ve değeri ikinin karekökü bölü ikidir.

.

.

Yani, (ikinin karekökü bölü iki)'nin karesi artı (ikinin karekökü bölü iki)'nin karesi eşittir birin karesidir.

.

Ama burada farkedilmesi gereken önemli şey bunun bir 45-45-90 üçgeni olduğudur.

.

Evet, burada bir dik üçgenimiz var.

Eğer bu üçgene sadece üçgen olarak bakarsak, bunun bir 45 derecelik açı olduğunu söyleriz.

.

Ancak burada, x ekseninin altından saatin dönüş yönünde ilerliyoruz ve bu durumda da bu açı eksi kırk beş derece olarak isimlendirilir.

.

.

.

Derece ile çalışıyoruz.

.

Yani buraya tanjant eksi kırk beş derece yazıyorum ve bu negatif bir değere yani eksi (ikinin karekökü bölü iki) bölü (ikinin karekökü bölü iki)'ye, bu da eksi bire eşit oluyor.

.

.

ya da bunun yerine arktanjant eksi bir eşittir eksi kırk beş derece de yazabilirim.

.

Ama eğer radyanla işlem yapacak olursak, derece cinsinden yazdıklarımızı radyana çevirmemiz gerekir.

.

Her bir 180 derece, pi radyana eşittir.

.

O zaman şimdi dereceleri radyana çevirelim.

Elimizde 45 derecemiz vardı. Şimdi ise 45 bölü 180 radyanımız olmalı.

.

Bu da eksi pi bölü dört radyana eşit olur. Eksi işaretimizi unutmayalım, çünkü uğraştığımız derece aslında eksi kırk beş derece.

.

Yani, eksi birin arktanjantı, başka bir deyişle, eksi birin tanjantının tersi, eksi pi bölü dörde eşit olur.

.

Şimdi bir de şöyle bakalım.

Eğer şimdi eksi pi bölü dörtte isem ki o da burada, bu bana eksi bir değerini verir, çünkü bu çizginin eğimi eksi birdir.

.

.

.

ama burada durmayıp birim çemberin etrafında dönebilirim.

Mesela buna iki pi ekleyebilirim.

ve tekrar elde ettiğim yeni derecenin tanjantına baktığımda bir öncekiyle aynı değeri yani eksi biri görürüm.

.

.

O sayının üzerine bir tane iki pi daha ekledim, ve elde ettiğim sonuç değişmedi, yine eksi bir.

Yani bu noktada olduğum sürece elde edeceğim sonuç eksi bir olacak.

Ve bu örnek için bu noktadan elde ettiğim tanjant değerim her zaman eksi bire eşit olacak, çünkü buradaki çizginin eğimi değişmiyor.

.

Ters sinüs fonksiyonlarını anlattığım videoda da dediğim gibi, bir fonksiyonun bir girdi değeri için birden çok görüntü değeri olamaz.

.

Yani, ters tanjant x fonksiyonu birden fazla değerle eşleşemez.

.

Mesela, tanjant x fonksiyonu eksi pi bölü dört, üç pi bölü dört, iki pi eksi pi bölü dört, dört pi eksi pi gibi değerlerin hepsiyle birden eşleşemez.

.

.

.

.

Burada olduğu gibi bir fonksiyon böyle değişik değişik değerlere sahip olamaz.

O zaman ters tanjant fonksiyonunun aralığını daraltmamız gerekiyor.

.

Ters sinüs fonksiyonunun alağını nasıl daralttıysak, burada da benzerini yapacağız.

.

Bunu birinci ve dördüncü kuadrantlarla sınırlandıralım.

O zaman ters tanjant fonksiyonundan elde edeceğin bir değer her zaman bu kuadrantlarda olmalı.

.

Ama elde edeceğin değer bu nokta ve o nokta olamaz.

Çünkü tanjant fonksiyonu pi bölü iki ve eksi pi bölü iki değerlerinde tanımsız olur.

.

Çünkü burada eğimin diktir.

x'teki değişimin sıfır, yani cosinüs(θ) değerin sıfırdır.

Yani buradaki tanjant değerini bulurken bölen değerin sıfır olacak ve bu da işlemi tanımsız yapar.

.

Aralığı yazacak olursak, tanjant'ın alabileceği bütün değerler nelerdir?

.

.

yani mesela eğer tanjant(θ) eşittir x ise, x'in alabileceği değerler nelerdir?

.

Bunlar eğimin alabileceği bütün değerler.

Ve bu eğim herhangi bir değer olabilir.

Diğer bir deyişle, x eksi sonsuz ve artı sonsuz arasında bir değerdir.

.

Yani, x herhangi bir değer olabilir.

Peki ya (θ) değeri için de aynı şey geçerli midir?

Aslında bunu önceden söylemiştik.

(θ) değerini bulabilmek için, eksi pi bölü ikiden pi bölü ikiye kadar olan aralığı değerlendirmek gerekir.

.

ki bu aralığa pi bölü ikiyi ve eksi pi bölü ikiyi dahil edemeyiz, çünkü burada eğim dik olur.

.

Burada ilgilendiğimiz fonksiyon, ters tanjant değil tanjant fonksiyonu.

.

.

.

.

Ama eğer elimizdeki ters tanjant fonksyonuysa tanım kümesindeki bir değer birden fazla değere sahip olamaz.

.

O zaman bunların hepsini çıkarıyorum.

Değerlerin eksi pi bölü ikiden büyük ve pi bölü ikiden küçük olabilmesi için (θ) veya aralığımı sınırlandırıyorum.

.

Yani eğer, aralığımı bu şekilde sınırlandırırsam, bu noktaları da aralığın dışına almam gerekir.

.

Ve sonunda, sadece bir cevabım olur.

Ne zaman tanjant kaç bana eksi bir eğimini verir sorusunu sorabilirim?

Bu tam olarak burda sorduğum soru.

Bu sorunun tek bir cevabı var.

.

Ve görünen o ki, (θ) için verdiğim aralık, bunun etrafında döndükçe daralıyor.

.

Şimdi bir de yaptığımızı bir kontrol edelim.

Cevabımız pi bölü dörttü.

Şimdi hesap makinemizi kullanalım bakalım.

Evet, tanjant eksi birin tersi buna eşit.

Şimdi de eksi pi bölü dört bu sonuçla aynı mı diye bakalım.

eksi pi bölü dört de buna eşit.

Yani bu eksi pi bölü dört.

Bu örneği hesap makinesiz çözmüş olamamız çok iyi, çünkü bu sayının eksi pi bölü dört olduğunu anlamamı oldukça zor gözüküyor.

.