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Inverse Trig Functions: Arctan

  • 0:00 - 0:01
    上次课
  • 0:01 - 0:04
    上次课我讲到如果有人走过来
  • 0:04 - 0:10
    向你请教arcsin
  • 0:10 - 0:13
    arcsin x=？
  • 0:13 - 0:16
    就等同于-
  • 0:16 - 0:19
    等同于
  • 0:19 - 0:23
    sin ?=x
  • 0:23 - 0:24
    上个例子我们在不同
  • 0:24 - 0:25
    情况下进行了求解
  • 0:25 - 0:28
    根据模板 写出来
  • 0:28 - 0:31
    可以重写为反正弦函数
  • 0:31 - 0:34
    sin-1 x=?
  • 0:34 - 0:35
    意义是相同的
  • 0:35 - 0:38
    反正弦函数的两种表示方法
  • 0:38 - 0:40
    这就是反正弦函数
  • 0:40 - 0:42
    不是-1次方
  • 0:42 - 0:44
    求的是sin值
  • 0:44 - 0:45
    问号
  • 0:45 - 0:47
    x对应的角度是多少？
  • 0:47 - 0:48
    这是上次课所讲的内容
  • 0:48 - 0:50
    类似的
  • 0:50 - 0:53
    如果在街道上我走过来
  • 0:53 - 0:58
    请教tan
  • 0:58 - 1:02
    tan-1 x=？
  • 1:02 - 1:04
    你们应该马上反应过来
  • 1:04 - 1:06
    他是在问
  • 1:06 - 1:09
    什么角度的正切值
  • 1:09 - 1:11
    等于x
  • 1:11 - 1:13
    只需要得到这个角度值
  • 1:13 - 1:15
    举个例子
  • 1:15 - 1:17
    在街道上我走过来
  • 1:17 - 1:20
    很多人在街道上行走
  • 1:20 - 1:23
    向你请教
  • 1:23 - 1:28
    arctan -1等于多少？
  • 1:28 - 1:30
    等同于问
  • 1:30 - 1:33
    tan-1(-1)等于多少？
  • 1:33 - 1:34
    本质相同
  • 1:34 - 1:37
    你们应该做的是-
  • 1:37 - 1:39
    如果没有记住结果
  • 1:39 - 1:40
    就需要画出单位圆
  • 1:40 - 1:43
    先来复习一下
  • 1:43 - 1:44
    什么是tan
  • 1:44 - 1:46
    tanθ
  • 1:46 - 1:49
    这是tan函数
  • 1:49 - 1:51
    而不是反函数
  • 1:51 - 1:53
    等于sinθ
  • 1:53 - 1:57
    除以cosθ
  • 1:57 - 2:00
    sinθ是纵坐标值
  • 2:00 - 2:01
    在单位函数（口误）
  • 2:01 - 2:03
    在单位圆上
  • 2:03 - 2:05
    cosθ是横坐标值
  • 2:05 - 2:08
    如果画一条直线
  • 2:08 - 2:10
    画出单位圆
  • 2:10 - 2:13
    像这样
  • 2:13 - 2:17
    对于某个角度
  • 2:17 - 2:20
    设为θ
  • 2:20 - 2:26
    坐标为(x,y)
  • 2:26 - 2:29
    我们知道y
  • 2:29 - 2:31
    等于sinθ
  • 2:31 - 2:33
    移动一点
  • 2:33 - 2:34
    sinθ
  • 2:34 - 2:35
    我们知道
  • 2:35 - 2:38
    x等于cosθ
  • 2:38 - 2:40
    tan等于什么呢？
  • 2:40 - 2:45
    等于这段距离
  • 2:45 - 2:47
    除以这段距离
  • 2:47 - 2:50
    从代数角度讲 很耳熟
  • 2:50 - 2:52
    因为是从原点出发
  • 2:52 - 2:56
    y轴的变化除以x轴的变化 或者说
  • 2:56 - 2:59
    纵向变化除以横向变化
  • 2:59 - 3:02
    tanθ也可以理解成
  • 3:02 - 3:04
    也确实是直线的斜率
  • 3:04 - 3:05
    斜率
  • 3:05 - 3:08
    可以写成斜率
  • 3:08 - 3:11
    等于tanθ
  • 3:11 - 3:13
    这些要记住
  • 3:13 - 3:15
    现在举个例子
  • 3:15 - 3:19
    如果问你 重写一遍
  • 3:19 - 3:23
    tan-1(-1)等于多少？
  • 3:23 - 3:24
    也可以写为
  • 3:24 - 3:27
    arctan -1等于多少？
  • 3:27 - 3:30
    也就是说单位圆上什么角度
  • 3:30 - 3:31
    对应斜率为-1
  • 3:31 - 3:33
    画出单位圆
  • 3:33 - 3:37
    单位圆像这样
  • 3:37 - 3:43
    画出坐标轴
  • 3:43 - 3:45
    为使斜率为-1
  • 3:45 - 3:49
    斜率为-1 像这样
  • 3:50 - 3:53
    如果这样斜率为+1
  • 3:53 - 3:54
    这个角度是多少？
  • 3:54 - 3:58
    为使斜率为-1
  • 3:58 - 4:00
    这两段距离相等
  • 4:00 - 4:03
    你们应该已经意识到
  • 4:03 - 4:04
    这是直角
  • 4:04 - 4:06
    这两个角相等
  • 4:06 - 4:09
    所以是45°45°90°三角形
  • 4:09 - 4:11
    等腰三角形
  • 4:11 - 4:12
    两个角之和是90°
  • 4:12 - 4:13
    而且相等
  • 4:13 - 4:15
    所以是45°45°90°
  • 4:15 - 4:18
    如果已知45°45°90°
  • 4:18 - 4:20
    实际上 不需要知道边长
  • 4:20 - 4:21
    在前面的视频中
  • 4:21 - 4:24
    我们知道 在这里
  • 4:24 - 4:28
    这段距离是√2/2
  • 4:28 - 4:31
    y轴坐标为
  • 4:31 - 4:33
    -√2/2
  • 4:33 - 4:35
    这里的坐标值
  • 4:35 - 4:38
    x轴坐标为√2/2
  • 4:38 - 4:41
    这两段距离相等
  • 4:41 - 4:43
    √2/2的平方加
  • 4:43 - 4:46
    √2/2的平方等于1的平方
  • 4:46 - 4:48
    最重要的是认识到
  • 4:48 - 4:50
    这是45°45°90°三角形
  • 4:50 - 4:53
    这个角
  • 4:53 - 4:57
    单独看这个三角形
  • 4:57 - 4:59
    这个角是45°
  • 4:59 - 5:04
    因为是沿逆时钟方向在x轴下面
  • 5:04 - 5:09
    所以是-45°角
  • 5:09 - 5:13
    那么tan-45° 写在下面
  • 5:13 - 5:15
    在角度制下
  • 5:15 - 5:17
    这更符合一般思维习惯
  • 5:17 - 5:23
    那么tan-45°
  • 5:23 - 5:27
    等于这个负值
  • 5:27 - 5:30
    -√2/2除以√2/2
  • 5:30 - 5:31
    等于-1
  • 5:31 - 5:36
    或者写为arctan-1
  • 5:36 - 5:39
    等于-45°
  • 5:39 - 5:41
    如果用弧度制
  • 5:41 - 5:42
    只需要化为弧度
  • 5:42 - 5:45
    乘以
  • 5:45 - 5:50
    π弧度除以180°
  • 5:50 - 5:51
    消去角度
  • 5:51 - 5:54
    得到45/180
  • 5:54 - 5:55
    4倍的关系
  • 5:55 - 5:58
    等于
  • 5:58 - 6:02
    -π/4弧度
  • 6:02 - 6:05
    所以arctan-1
  • 6:05 - 6:11
    等于-π/4 或者说
  • 6:11 - 6:14
    tan-1（-1）=-π/4
  • 6:14 - 6:15
    现在可以说
  • 6:15 - 6:18
    如果是-π/4 在这里
  • 6:18 - 6:19
    不错
  • 6:19 - 6:22
    得到结果为-1
  • 6:22 - 6:23
    因为这条直线的斜率为-1
  • 6:23 - 6:25
    但是可以沿单位圆
  • 6:25 - 6:27
    累加2π
  • 6:27 - 6:29
    加上2π
  • 6:29 - 6:31
    仍然得到
  • 6:31 - 6:33
    如果求其tan值
  • 6:33 - 6:35
    仍然得到-1
  • 6:35 - 6:37
    再加上2π 仍然
  • 6:37 - 6:39
    得到-1
  • 6:39 - 6:42
    如果是这一点
  • 6:42 - 6:44
    其正切值也是-1
  • 6:44 - 6:46
    斜率是相同的
  • 6:46 - 6:49
    就像在反正弦函数那次课上讲的
  • 6:49 - 6:51
    不存在
  • 6:51 - 6:52
    一对多映射的函数
  • 6:52 - 6:58
    tan-1(x)不能映射一系列
  • 6:58 - 7:00
    不同的取值
  • 7:00 - 7:04
    不能同时映射-π/4
  • 7:04 - 7:09
    或者是映射3π/4
  • 7:09 - 7:10
    怎么写呢
  • 7:10 - 7:15
    应该是2π-π/4
  • 7:15 - 7:16
    或4π-π/4
  • 7:16 - 7:18
    不能映射这些不同的值
  • 7:18 - 7:20
    所以需要对反正切函数
  • 7:20 - 7:22
    限定取值范围
  • 7:22 - 7:25
    和对反正弦函数
  • 7:25 - 7:29
    限定取值范围的处理方法相似
  • 7:29 - 7:30
    限定在第一和
  • 7:30 - 7:33
    第四象限
  • 7:33 - 7:35
    那么反正切函数值
  • 7:35 - 7:37
    一般在这两个象限之内
  • 7:37 - 7:40
    但是不能取这两个点
  • 7:40 - 7:42
    因为正切函数在π/2
  • 7:42 - 7:47
    和-π/2处取值为无穷
  • 7:47 - 7:48
    因为斜率是垂直的
  • 7:48 - 7:50
    x轴值为0
  • 7:50 - 7:53
    除以- cosθ趋于0
  • 7:53 - 7:55
    相除的话为无穷
  • 7:55 - 8:00
    取值范围- 写在下面
  • 8:00 - 8:02
    tan-1(x)
  • 8:02 - 8:04
    得到
  • 8:04 - 8:06
    正切取值范围是什么？
  • 8:06 - 8:11
    如果写成tanθ=x
  • 8:11 - 8:13
    x可以取到
  • 8:13 - 8:14
    哪些值呢？
  • 8:14 - 8:17
    斜率可以取到所有的值
  • 8:17 - 8:19
    斜率值任意
  • 8:19 - 8:22
    所以x取值从-∞
  • 8:22 - 8:24
    到+∞
  • 8:24 - 8:27
    x可以取任意值
  • 8:27 - 8:29
    那么θ呢？
  • 8:29 - 8:30
    刚才说过
  • 8:30 - 8:34
    θ只能从-π/2
  • 8:34 - 8:35
    取到π/2
  • 8:35 - 8:37
    而且不包括π/2
  • 8:37 - 8:38
    和-π/2
  • 8:38 - 8:39
    因为其对应斜率垂直x轴
  • 8:39 - 8:41
    那么
  • 8:41 - 8:43
    如果是讨论tan
  • 8:43 - 8:44
    而不是反正切
  • 8:44 - 8:49
    tan的定义域
  • 8:49 - 8:51
    有多重取值
  • 8:51 - 8:53
    所以不这样讲
  • 8:53 - 8:55
    如果是反正切函数
  • 8:55 - 8:57
    就不用考虑一对多的映射
  • 8:57 - 8:59
    希望排除这些值
  • 8:59 - 9:02
    将θ限定在 范围是
  • 9:02 - 9:06
    -π/2＜θ
  • 9:06 - 9:10
    θ＜π/2
  • 9:10 - 9:14
    限定在这个范围
  • 9:14 - 9:16
    不包括这两个点
  • 9:16 - 9:18
    就可以得到唯一解
  • 9:18 - 9:19
    当问到什么角度的
  • 9:19 - 9:22
    正切值对应斜率为-1？
  • 9:22 - 9:24
    和这个问题是一样的
  • 9:24 - 9:25
    有唯一解
  • 9:25 - 9:27
    因为如果 这一点在取值范围之外
  • 9:27 - 9:29
    显然沿圆周移动
  • 9:29 - 9:33
    这些都落在之前限定的θ
  • 9:33 - 9:34
    取值范围之外
  • 9:34 - 9:38
    验证一下计算结果
  • 9:38 - 9:40
    结果是π/4
  • 9:40 - 9:42
    用计算器求一下
  • 9:42 - 9:50
    tan-1(-1)等于
  • 9:50 - 9:53
    看一下是不是等于-π/4
  • 9:53 - 9:58
    -π/4等于
  • 9:58 - 9:59
    确实是-π/4
  • 9:59 - 10:01
    不借助计算器
  • 10:01 - 10:03
    就很难看出来
  • 10:03 - 10:06
    这个数值就是-π/4
Title:
Inverse Trig Functions: Arctan
Description:

Understanding the arctan or inverse tangent function.
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Video Language:
English
Duration:
10:06
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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