Positsiooni vektorväärtusega funktsiooni määramine kahe parameetri defineerimiseks

Determining a Position Vector-Valued Function for a Parametrization of Two Parameters

Viimases videos ma hakkasime rääkima kuidas

defineerida toora, või sõõriku kuju.

Ja need kaks parameetri mida me kasutasime, ja ma kulutasin palju

aega püüdes seda visualiseerida, sest see on

kõik visualiseerimise taga.

Ma arvan, et see on siin väga raske.

Aga toora defineerimine, mis on selle

sõõriku pind, on nagu ütlemine, et põtame punkti ja pöörame seda ümber ringi.

.

See võib olla ükskõik milline ring.

Ma valisin ringi z-y teljestikus.

Ja kui kaugele ringi ümber see läinud on, me defineerime

seda s abil ja s on nulli ja kahe pi vahel, ja siis

me pöörame seda ringi ümber iseenese.

Ehk on parem viis öelda, et me pöörame

ringi ümber z telje, ja see kõik on

ringi keskel, nii et me alati hoiame vahemaa b eemal.

Ja need olid meie pealtvaated.

Ja siis me defineerisime meie teise parameetri t, mis ütleb meile kui

kaugele see ring on pööranud

ümber z telje.

Ja need olid meie kaks parameetri definitsiooni.

Ja siin me proovisime ette kujutada mis juhtub.

See on meie lähtehulk

millel meie parametriseerimine defineeritakse.

s on nulli ja 2 pi vahel, nii et kui t on null

me ei ole z-y teljestikust välja pööranud.

s on null, läheb terve tee 2 pini siin.

ning kui t läheb 2 pini, me oleme liigutanud oma ringi.

Me oleme seda liigutanud, me oleme pööranud

ümber z telje.

Ja siis see loon meie s-t piirkonnas vastab

sellele ringile kolmes dimensioonis või meie x-y-z alas.

Looedetavasti nüüd me suudame seda hästi ette kujutada.

Mõtleme nüüd kuidas me saame defineerida positsiooni

vektorväärtusega funktsiooni mis on põhimõtteliselt

see parametriseerimine.

Teeme kõigepealt z, sest see

on üpris otsene.

Vaatame seda vaadet siin.

Mis me z hakkab olema funktsioonina?

Meie x-id y-id ja z-id peaks olema

s ja t funktsioonis.

See on mis ta on.

Ükskõik missugune positsioon selles alas peaks olema funkstioon

kindla t ja kindla s abil.

Ja me nägime seda siin.

See punkt siin, las ma tegelikult teen seda

mõne punktiga.

See punkt siin, see vastab

tollele punktile seal.

Siis me valime uue.

See punkt siin, vastab tollele

punktile seal.

Ma võin mõne veel teha.

Las ma valin.

See punkt siin, s on ikka null.

See hakkab olema väline külg, seal kaugel.

Las ma valin ühe veel, lihtsalt, et defineerida seda ruutu.

See punkt siin, kus me pole t keeranud

üldse, me oleme läinud ümber veerand ringi, on see punkt

seal.

Iga s ja t korral me määrame selle

punktile x-y-z alas.

Meie z-d x-d ja y-d peaksid kõik olema

funktsioon s ja t-st.

Esimene mida me teeme on z.

Ma arvan, et see hakkab olema üpris otsene.

z s ja t funktsioonina hakkab olema millega võrdne?

Kui võtta ükskõik milline ring, pidage meeles, et s on meie

nurk raadiuse ja x-y teljestiku vahel.

Ma võin selle isegi siia joonistada.

Las ma teen seda teise värviga.

Mul saavad värvid otsa.

Ütleme, et see on raadius, see siin.

See nurk on s.

Kui ma joonistaksin selle ringi,

me saame teha veidi trigonomeetriat.

Nurk on s.

Me teame, et raadius on a, meie

ringi raadius, me oleme seda defineerinud.

Z hakkab olema kaugus x-z teljest kõrgusesse.

See hakkab olema see kaugus.

Ja see on otsejooneline trigonomeetria.

See hakkab olema a, me võime teha SOCATOA sellega ja kõik see,

te võiksite need videod uuesti üle vaadata.

Aga sinus, te võite seda nii vaadata.

Kui see on z, te võite öelda, et

sinus s, SOCATOA on vastand jagatud hüpotenuus, on

võrdne z jagatud a.

Korrutada mõlemad küljed a-ga, te saate a sinus s on võrdne z-ga.

See ütleb meile kui kaugem me x-y teljestikust me oleme.

Lihtsalt natuke lihtsat trigonomeetriat.

z s ja t-st , see hakkab olema s-i funktsioon.

See hakkab olema a korda sinus s.

Pole paha.

Nüüd vaatame, et kas me mõtleme välja mis x ja y hakkavad olema.

Pidage meeles, z ei ole tähtis.

Pole tähtis kui palju me oleme pööranud ümber z telje.

Mis loeb, on kui palju me oleme pööranud ümber ringi.

Kui s on null, siis me oleme lihtsalt x-y teljestikul,

z on null.

Kui s on pi jagatud kahega, siis me

hakkame liikuma mööda sõõriku pealset.

Ja me oleme täpselt a kaugusel x-y teljestikust, või z

hakkab olema võrdne a-ga.

Loodestavasti on see teile arusaadav.

Nüüd mõtleme mis juhtub kui me pöörame ringi.

Pidage meeles, need on pealtvaated.

Me vaatame ülevalt alla sõõrikutele.

Siis kõikide nende ringide keskpunktid on b kaugusel

algusest, või z teljest, mida me pöörame ringi.

See on alati b kaugusel.

Meie x koordinaat, või meie x ja y koordinaadid, nii et kui me läheme

ringi keskpunkti, me oleme b kaugusel,

see see hakkab olema b kaudusel siin.

Mõtleme kui me oleme x-y teljestikul, või kui

kaugel osa meie..., mida te ette kujutate,

kui te projekteeriksite meie puntki x-y

teljestikku, kui kaugel see on meie alguspunktist?

See hakkab alati olema, pidage meeles,

lähme tagasi selle joonistuse juurde.

See on ehk kõige instruktiivsem.

See on üks kindel ring meie z-y teljestikus, aga

see võib olla ükskõik milline neist.

Kui see on z telg, siin, see kaugus siin

on alati b.

Me teame seda kindlalt.

Ja mis see kaugus hakkab olema?

Me oleme bst keskmesse, ja siis me hakkame olema

ming nurk s, ja siis arvestades nurka s, see vahemaa

ma arvan, x-y teljestik, kui me oleme x-y teljestikus, kui kaugel me oleme

z teljest

või projektsioon x-y teljele.

Või te saate, te teate, x või y positsiooni.

Ma ütlen seda nii paljudes eri viisides kui on võimalik.

Ma arvan, et te kujutate seda juba ette.

Kui z on a sinus teeta, see vahemaa siin, see

veidi väiksem vahemaa siin, see hakkab olema

a koosinus s.

s on see nurk seal.

See vahemaa siin ahkkab olema a koosinus s.

Kui me räägime ainult sirgest vahemaast

alguspunktist, mööda x-y teljestikku, meie vahemaa hakkab alati

olema b pluss a koosinus s.

Kui s on siin, siis see tegelikult muutub negatiivseks,

ja see on loogiline, sest meie vahemaa

hakkab olema vähem kui b.

Me hakkame olema siin punktis.

Kui te vaatate seda pealtvaadet siin, pole vahet kus me oleme

see on b.

Ja ütleme, et me oleme veidi pööranud.

See vahemaa siin, kui te vaatate mööda x-y teljestikku

see hakkab alati olema b pluss a koosinus s.

See on see vahemaa mis on ükskõik millisesse antud punkti.

Me sõltume s ja t-dest.

Nüüd kui me pöörame ringi, kui me oleme selles punktis siin,

ütleme, et me oleme seal punktis, ja see punkt, me juba ütlesime, on

b pluss a koosinus s, eemal alguspunktist, x-y teljestikul.

Mis on x ja y koordinaadid sellest?

Pidage meeeles.

See on ülalt alla.

Me istume z telje otsas ja vaatame otse alla

x-y teljestikule.

Me vaatame sõõrikut.

Mis meie x ja y-d hakkavad olema?

Kui te joonistate täisnurkse kolmnurga siia.

Teil on veel üks täisnurkne kolmnurk.

See nurk siin on t.

See vahemaa siin hakkab olema see korda

sinus meie nurk.

See siin, mis on põhimõtteliselt meie x, see

hakkab olema meie x koordinaat, x funktsioonina s ja t-st ,

hakkab olema võrdne sinus t-ga, t on meie nurk

seal, korda raadius.

Korda, me võme kirjutada seda igal juhul, korda

b pluss a koosinus s.

Sest pidage meeles, kui kaugel me oleme sõltub kui palju

me oleme käinud ümber ringi.

Kui me oleme siin, me oleme palju kaugemal.

Siin me oleme täpselt b kaugusel, kui te vaatate ainult

x-y teljestikku.

Ja siis siin, me oleme b miinus a kaugusel,

kui me oleme x-y teljestikul.

See siis on x funktsioonina s ja t.

Ja tegelikult, see viis kuidas ma defineerisin seda siin, meie positiivne

x telge läheks hoopis selles suunas.

See x on positiivne, see on x negatiivses suunas.

Ma oleks võinud märgid ümber pöörata, aga loodetavasti, te teate, see

tegelikult on loogiline et see on positiivne x.

See on negatiivne x.

Oleneb kas me kasutame parema või vasakukäelist

koordinaatsüsteemi, aga loodetavasti see on loogiline.

Mis on kaugus siin mis on

b pluss a koosinus s?

Me oleme nii kaugele jõudnud siin, me vaatame,

toora lõiget.

See on kui kaugele me oleme, kuidagi x-y suunas

igas punktis, või kuidagi radiaalselt väljas, ilma mõtlemata

kõrgusele.

Ja siis kui te tahate x koordinaati, te korrutate seda

korda sinus t, ja

y koordinaat hakkab olema see siin,

see viis kuidas me selle kolmnurga lõime.

Y funktsioonina s ja t-st hakkab olema võrdne

koosinus t korda see raadius.

b pluss koosinus s.

Ja meie parametriseerimine, te teate, lihtsalt mängige

selle kolmnurgaga, ja loodetavasti see on mõistlik.

Kui öelda, et see on meie y koordinaat,

te lihtsalt teeteSOCATOA, koosinus t, CA on võrdne lähisküljega,

mis on y, see nurk siin,

jagatud hüpotenuusiga.

jagatu b pluss a koosinus s.

Korrutage mõlemad võrduse küljes sellega, ja te

saata y s-st t-st on võrdne koosinus t korda

see asi.

Las ma kopeerin tulemused.

Ja me oleme valmis parametriseerimisega.

Me võiks selle nii jättagi, aga kui me tahame

esitada seda positsiooni vektorväärtusega funktsioonina, me

saame seda defineerida nii.

Otsin roosa värvi.

Ütleme, et meie positsiooni vektorväärtus funktsioon on r.

See hakkab kahe parameetri funktsioon, s ja t, ja

see hakkab olema võrdne me x väärtusega.

las ma teen seda sama värviga.

See hakkab olema, see hakkab olema esimene osa.

b pluss a koosinus s korda sinus t, ja see hakkab olema

x suunas, ütleme, et see on korda i.

Ja sel juhul, pidage meeles, see viis kuidas ma seda defineerisin,

positiivne x suund hakkab olema siin.

i ühikvektor hakkab olema selline.

ma lähen selles suunas, suunas kus ma olen asju defineerinud.

Ja siis pluss meie y väärtus, hakkab olema b pluss a koosinus s

korda koosinus t y ühikvektor suunas.

Pidage meeles, j ühikvektor hakkab olema see.

see on meie j ühikvektor.

Ja siis, lõpuks, me viskame sisse z, mis oli tegelikult

kõige otsesem.

Pluss a sinus s korda k ühikvektor, mis on

ühikvektor z suunas.

korda k ühjikvektor.

Võtame ükskõik millise s ja t selles piirkonnas

siin, ja paneme selle sellesse positsiooni vektorväärtusega funktsiooni

ja see annab teile täpse positsiooni vektori mis

spetsifitseerib sobiva punkti tooral.

Kui te valite, teeme kindlaks et me saame aru

mida me teeme.

Kui te valite selle punkti seal, kus s ja t on mõlemad

võrdse poole piga ja te isegi ehk tahate minna

läbi selle ülesande.

Võtke pool pid kõigis nendes.

Tegelt teeme seda.

sel juhul kui r poolest pi-st, mis me saame?

See hakkab olema b pluss a korda koosinus poolest pi-st.

Koosinus poolest pi-st on null.

koosinus 90st kraadist.

See hakkab olema b, see kogu värk siin hakkab olema

null, korda sinus pool pi.

Siinus pool pi on 1.

Ning see hakkab olema b korda i pluss koosinus pool pi-d,

see liise hakkab olema b, ja siis

koosinus poolest pist on null, see hakkab olema null j.

See on siis pluss 0 j.

Ja lõpuks pool pi, siin ei ole t-d.

sinus pool pi on 1.

pluss a korda k.

tegelikult ei olegi j-suunda.

Nii et see hakkab olema võrdne b korda i pluss a korda k.

See punkt mida see spetsifitseerib,

selle parametriseerimise, või vektor [ARUSAAMATU] on b korda

i plussa korda k.

B korda , ma viin meid kohe sinna, ja siis a korda k

..

Selle vektori positsioon

on siin.

Just nagu me ennustasime.

See punkt seal vastab

tolle punktile, just nii.

Muidugi ma valisin selle et oleks lihtne arvutada, aga see

küik, kui te võtate iga s ja t selles piirkonnas

te muudate selle selleks pinnaks.

Ja siis see on see transformatsioon siin.

Ja muidugi, me peame spetsifitseerima et s on,

me võime kirjutada seda mitmes viisis.

s on 2 pi ja nulli vahel, ja me võime öelda

et t on kahe pi ja nulli vahel.

Ja te võite, te teate, me kordame seda korra, kahe pi juures, võibolla me saame

lahti nendest võrdsetest märkidest siin kui te tahate, aga see

ei muuda ilmselt

seda ala, kui te võtate pinna ala.

Aga loodetavasti see annab teile vähemalt sisetunde, või rohkemgi veel

kuidas parametriseerida neid asju, ja

mida me tegelikult teeme, sest see hakkab olema

väga tähtis kui me hakkame rääkima pinna integraalidest.

Ja selle asja juures kõige raskem asi on

visualiseerimine.