Determining a Position Vector-Valued Function for a Parametrization of Two Parameters

Determining a Position Vector-Valued Function for a Parametrization of Two Parameters

V priebehu minulého videa sme začali hovoriť

o parametrizácii torusu (anuloidu), alebo tiež tvaru šišky.

A o dvoch parametroch, ktoré sme používali a ja som strávil spústu

času snahou ako to celé zvizualizovať, pretože toto celé je

o vizualizácii.

Myslím, že toto je z toho celého naozaj ťažká časť.

Ale spôsob, akým môžeme parametricky popísať torus (anuloid), ktorý je povrchom

tejto šišky, je povedať si: Hej, tak vezmime si bod a nechajme

ho rotovať dokola v kruhu (presnejšie v kružnici).

Môže to byť akákoľvek kružnica.

Ja som vybral kružnicu v rovine z-y.

A v akom bode sa kružnice sa práve bod nachádza môžeme popísať

parametrom "s", a "s" sa môže pohybovať kdekoľvek medzi hodnotou 0 a 2pí, a potom

necháme túto kružnicu rotovať okolo seba samej.

Alebo je asi lepšie povedať, že necháme rotovať

túto kružnicu okolo osi "z", ktorá je v centre tejto rotácie,

takže nám vždy zostane zachovaná vzdialenosť "b".

Takže takto to vyzerá zvrchu.

A potom definujeme náš druhý parameter "t", ktorý nám hovorí, ako

ďaleko už zvládol celý okruh dorotovať

okolo osi "z".

To boli teda definície dvoch parametrov.

A tu sa pokúsime zvizualizovať, čo sa vlastne stalo.

Toto je oblasť, ktorá bude

definovať našu parametrizáciu.

"s" sa drží medzi 0 a 2pí, takže keď "t" je 0, vôbec

sme sa nedostali zo "z-y" roviny.

"s" je v 0 a dostane sa až do 2pí sem.

Keď sa "t" dostane až k 2pí, tak už sme pohli našou kružnicou.

Pohli sme ju trochu a otočili sme ju okolo

osi "z".

A potom táto línia v našej "s-t" oblasti korešponduje s pohybom

kružnice v 3 dimenziách, teda v našom "x-y-z" priestore.

Tak snáď sme to zakreslili pre predstavu celkom dobre.

Poďme sa zamyslieť, ako vlastne definovať pozíciu

vektorovo orientovanej funkcie, ktorá je v podstate

touto parametrizáciou.

Tak poďme najprv na "z", pretože to je

celkom priamočiare.

Takže pozrime sa na to.

Akou funkciou bude naše "z" ?

Takže naše "x", naše "y" a naše "z" by všetky mali byť

funkciou "s" a "t".

To je to o čo tu ide.

Akákoľvek poloha v priestore by mala byť funkciou určenou

konkrétnym "t" a konkrétnym "s".

Videli sme to tu.

Tento bod priamo tu, ...ukážem to radšej

na pár bodoch.

Tento bod priamo tu, ktorý zodpovedá tomuto

bodu priamo tu.

Potom vyberieme ďalší.

Tento bod priamo tu, odpovedá tomuto

bodu priamo tu.

Môžem ich ukázať ešte niekoľko.

Nejaké vyberiem.

Tento bod priamo tu, kde "s" je stále rovné 0.

To bude tento vonkajší okraj, priamo tam.

Vyberiem ešte jeden, len aby som ukázal celý tento štvorec.

Tento bod, v ktorom sme vôbec nepohli s "t",

ale pohli sme sa o štvrtinu kruhu,

je bodom priamo tam.

Takže akékoľvek "s" a "t" sme schpní spojiť s konkrétnym bodom

v "x-y-z" priestore.

Takže všetky "z"-tká, "x"-ká a ypsilony by mali dojedného byť

určiteľné funkciou "s" a "t".

Takže najskôr sa pozrime na "z".

Myslím, že to bude celkom jasné.

Takže "z" ako funkcia "s" a "t" bude rovná čomu?

No, keď si vezmete ktorúkoľvek kružnicu, pamätajte si, že "s" je v podstete uhol

medzi polomerom a rovinou "x-y".

Môžem to sem dokonca nakresliť

Radšej v inej farbe.

Už mi dochádzajú farby.

Takže povedzme, že nás zaujíma polomer bodu, ktorý sa nachádza priamo tu, preto polomer zaznačím tu.

A tento uhol, ako sme povedali, je "s".

Takže, keď tú kružnicu zakreslím tu vedľa, pre znázornenie,

môžem si precvičiť trochu trigonometrie.

Uhol je "s".

Vieme, že polomer je "a", teda polomer

našej kružnice, určili sme si ho tak.

Takže "z" určíme ako vzdialenosť od roviny "x-y".

Bude to teda presne táto vzdialenosť.

A to úplne jasná trigonometria.

Môžeme to skúsiť pomocou SOH-CAH-TOA (sinus = protiľahlá/prepona;cosinus=priľahlá /prepona; tangens=protiľahlá /priľahlá.)

Pozrite sa napríklad na video Basic Trogonometry.

Ale sinus....no môžete sa na to pozrieť takto.

Takže, keď "z" je tu, môžete povedať, že sinus "s"

(sinus = protiľahlá/prepona)

sa rovná "z/a".

Vynásobme obidve strany "a", a máme a.sin s = z

Tak sa dozvieme, ako vysoko nad "xy" rovinou som.

Len jednoduchá trigonometria.

Takže máme "z" určené pomocou "s" a "t", nakoniec to ale bude len funkcia "s".

Bude to teda "a" krát "sin s".

To nie je zlé.

Teraz sa pozrieme ako určíme "x" a "y".

Pamätajte na "z" nezaleží.

Nezáleží na tom, ako veľmi sme rotovali okolo osi "z".

Na čom záleží je, ako veľmi sme rotovali okolo kružnice.

Pokiaľ "s" je rovné 0, budeme stále v "x-y" rovine

a "z" bude rovné 0.

Pokiaľ "s" je pí / 2, potom sa budeme

pohybovať na vrchole šišky ( nášho tvaru.)

A naša vzdialenosť od "x-y" roviny buderovná presne áčku,

teda "z" sa bude rovnať priamo "a".

Dúfam, že to dáva zmysel.

No a teraz sa pozrieme, čo sa stane, keď začneme rotovať kol dokola.

Pamätajte si, že tak to celé vyzerá zvrchu(tieto dva obrázky).

Pozrime sa zdola na tú šišku.

Takže stred týchto kružníc je od počiatku vzdialený o vzdialenosť "b",

alebo tiež od osi "z", okolo ktorej celá kružnica rotuje.

Je vždy vzdialená o vzdialenosť "b".

Takže naša x-ová súradnica, alebo "x" a "y"-nové súradnice ,

alebo ak ideme do stredu kružnice, vždy budeme vzdialení o vzdialenosť "b"

a bude to teda vždy o vzdialenosť "b".

Rozmýšľajme kde sme v rovine x-y,

alebo ako sme ďaleko, myslím že si môžete predstaviť,

keby ste mali zobraziť náš bod do roviny "x-y",

ako ďaleko jetento bod od nášho začiatku?

Dobre, pamätajte, že vždy to bude....spomeňte si

na tento obrázok.

Ten by mohol byť najviac poučný.

To je len jedna určitá kružnica v rovine "z-y",

ale mohla by to byť ktorákoľvek z nich.

Ak je toto os z , táto vzdialenosť vpravo

bude vždy "b".

To vieme určite.

A aká tá vzdialenosť bude?

Máme vzdialenosť "b" a imáme nejaký

uhol "s" a teda konečná vzdialenosť bude závisieť na tomto uhle "s".

Teda v rovine "x-y", keď si to celé premietneme do rovina "x-y",

tak vzdialenosť od osi "z"

pri premietnutí celej situácie len do roviny "x-y".

Alebo si to môžete premietnuť ako chcete.

Hovorím o vicerých možnostiach.

Myslím, že si to viete predstaviť.

Ak "z "je sinusom daného uhla,potom táto vzdialenosť ,

táto trochu kratšia vzdialenosť

bude " a(cos s)".

"s" je ten hľadaný uhol tu.

Táto vzdialenosť tu bude " a(cos s)"

Takže ak hovoríme len o čistej vzdialenosti od počiatku,

v rovine "x-y", potom naša vzdialenosť vždy bude

"b +a( cos s)."

Ak s je tu, potom skutočne dostaneme

záporné číslo a to skutočne dáva zmysel, pretože naša vzdialenosť

bude kratšia ako" b".

Bude presne v tomto bode.

Ak sa pozriete na tieto horné obrázky, nezáleží

kde sme, je to "b".

A povedzme, že sme s tým trochu rotovali.

Táto vzdialenosť , ak sa na ňu pozrieme z pohľadu roviny "x-y",

bude vždy "b +a(cos s)".

To je vzdialenosť pre daný bod.

Sme závislí na "s" a "t".

Teraz, keď rotujeme po našej kružnici, povedzme, že

nás zaujíma tento bod a ako sme už povedali, tento bod sa nachádza

vo vzdialenosti "b +a( cos s)" od začiatku na rovine" x-y."

Aké sú jeho súradnice "x" a "y" ?

Dobre, rozmýšľajme.

Pozeráme sa na to zhora.

Sedíme na osi "z" pozerajúc priamo dole

na rovinu"x-y".

Pozeráme dolu na šišku.

Takže aké bude naše "x" a "y" ?

Dobre, nakreslíme ďalší pravouhlý trojuholník .

Máme ďalší pravouhlý trojuholník.

Tento uhol tu je "t".

Táto vzdialenosť bude presne toľkokrát

sínus nášho uhla.

Takže toto tu, čo je v podstate naše "x".

bude naša súradnica "x", "x" ako funkcia závislá na "s" a "t",

bude to "sin t"...... t je náš uhol tu....

krát tento polomer.

krát....môžme to napísať aj inak....

krát "b +a( cos s)".

Pretože si pamätáme,že to ako ďaleko sme záleží od toho ako veľmi sme sa posunuli

po obvode kružnice. Mám pravdu?

Ak sme tu, sme oveľa ďalej.

Tu sme presne "b" ďaleko, ak hľadáte

iba na rovine x-y.

A zase tu sme vo vzdialenosti"b-a"

ak sme na rovine "x-y".

Takže je to "x" ako funkcia "s" a "t".

A skutočne, ako som to definoval tu, naša kladná

x-ová os vlastne ide v tomto smere.

Tak to je x kladné a toto je x v zápornom smere.

Mohol som tie znamienka prehodiť, ale dúfajme, že viete, že

skutočne nedáva zmysel, aby tam bolo kladné x,

je to záporné x.

Záleží na tom, či používate súradnicový systém

orientovaný podľa pravej alebo ľavej ruky, ale snáď to dáva zmysel.

OK, takže povedzme si, čo je táto vzdialenosť,

to "b + a(cos s)" ?

Dostali sme to z toho, keď sme zobrali

len časť z toho anuloidu.

To je,vzdialenosť toho, ako ďaleko sme v smere "x-y"

bez toho, aby sme premýšľali

o nejakej výške..

A teda ak chceme získať "x"-ovú súradnicu, vynásobíme to

krát "sin t", ako som to mal tu,

a "y"-ová súradnica bude vyplývať

ztohto trojuholníka.

Takže "y" je funkcia "s" , "t" a bude sa rovnať

"cos t " krát tento polomer.

"b + a(cos s)".

A tak sme určili parametre,a môžetesa hrať

s týmto trojuholníkom a dúfajme, že to celé dáva zmysel.

Chcem povedať, ak hovoríte, že toto tu je y-ová súradnica ,

použijeme vzťah: cos t = priľahlá ku prepone,

čo je y, správne, to je uhol tu

nad preponou,

takže a/b+ a(cos s)"

Vynásobíme obidve strany rovnice, a dostanete

"y(s , t) = (cos t) . táto

zátvorka.

Skopírujem a vložímto podstatné, čo si musíte odniesť.

A sme hotoví s našou parametrizáciou.

Mohli by sme to nechať takto, ale ak to chceme

prezentovať ako vektorovo orientovanú funkciu polohy,

môžeme to definovať takto.

Nájdem nejakú peknú farbu, napríklad ružovú.

Povedzme, že naša vektorovo orientovaná funkcia polohy bude "r".

Bude to funkcia s dvomi parametrami, "s" a "t" a

a bude sa to rovnať hodnote "x".

Urobím to rovnakou farbou.

Tak to bude.... urobím túto časť prvú .

"b + a(cos s) . sin t , a to pôjde v smere x,

takže povedzme,že to vynásobíme ešte písmenom"i"

A v tomto prípade, pamättajte si to,spôsob akým som to definoval,

bude kladná časť osi "x" tu.

Takže i-jednotkový vektor bude vyzerať takto.

Podľa toho, ako som to vyjadril, bude mať tento smer.

A potom pripočítame hodnotu "y", ktorá bude "b + a(cos s)"

.krát "cos t" v smere osi"y".

Tento vektor "j" vyzerá tak.

Toto je náš "j"-jednotkový vektor.

A potom konečne budeme hodnotiť z, ktoré bolo

úplne najjednoduchší.

"+a(sin s)" krát vektor "k", ktorý je

vektor v smere "z".

Takže krát "K" vektor.

Takže mi dajte akékoľvek "s" alebo "t" v tomto priestore

a dosadíme ich do tejto vektorovo orientovanej funkcie polohy,

a dostaneme presnú polohu vektora,

ktorá presne presne určuje bod anuloidu.

Takže čokoľvek vyberiete, ujistíme sa, že rozumieme




Pokud vybereme třeba bod právě tady, kde "s" a "t" jsou obojí
13:56 – 13:58

rovné pí lomeno dvěma, a možná se klidně rovnou
13:58 – 14:00

chcete do tohoto úkolu pustit.
14:00 – 14:02

Takže vemte si pro tyhle všechny pí lomeno dvěma.
14:02 – 14:04

No, pojďme do toho.
14:04 – 14:11

Takže v tom případě, pokud "r" jako funkce má argument "pí / 2, pí / 2", co dostaneme?
14:11 – 14:16

Bude to "b + a (cos pí / 2)"
14:16 – 14:18

"cos pí/2" je roven nule, ano?
A

tomu, čo robíme.

Ak vyberieme napríklad bod práve tu, kde "s" a "t" sú obidve

rovné pí/2. A možno sa chcete priamo

pustiť do tej úlohy.

Takže vezmite si pre tieto všetky pí/2.

Poďme do totho.

Takže v tomto prípade, ak "r" ako funkcia má argument "pí/2, pí/2", čo dostaneme?

Bude to "b+a(cos pí/2)"

"cos pí/2" je rovné 0, áno?

cosinus 90°

Takže to bude "b", správne, celá tá vec bude

rovná 0, krát "sin pí/2.

"sin pí/2" je 1.

Takže to bude "b.i + ....ešte raz-

"cos pí/2" = 0; takže celý tento výraz sa rovná "b" a potom

"cos pí/2" = 0, takže to bude 0j.

Takže to bude plus 0j.

A konečne pí/2, no tu nie je žiadne "t",

"sin pí/2" = 1.

Takže +"a.k"

Takže tu vlastne nie je žiadny "j" smer.

Takže to bude rovno "b.i +a.k"

Takže bod, ktorý je určený týmito

parametrami, je "b.i + a.k"

Takže "b.i" nás dostane rovno sem a potom "a.k"

nás dostane sem.

Takže poloha vektora, ktorý sme si zadali,

je priamo tu.

Presne ako sme predpovedali.

Tento bod, presne tento, zodpovedá

tomuto bodu.

Samozrejme som vybral body, ktoré bolo ľahké spočítať, ale to

všetko, ak vezmeme každé "s" a "t" v tomto priestore,

tak všetko môžete preniesť na tento povrch.

A toto je tá transformácia = prenesenie, presne to.

A samozrejme musíme si stanoviť, že "s" je medzi

(môžeme to napísať rôznymi spôsobmi)

"s" je medzi dvoma pí a 0 a môžeme tiež povedať,

že "t" je medzi dvoma pí a 0.

No, a mohli by ste ešte...no týmto sa už prekrývame

v tom bode 2pí, takže by sme sa možno mohli zbaviť jedného toho rovnítka tu

ak chcete, aj keď to nie je úplne nevyhnutné

ak celý tento výraz vzťahujeme k oblasti povrchov.

Ale snáď vám to celé dá aspoň základnú predstavu,

alebo možno trocu viac než základnú predstavu, ako pomocou parametrov vyjadriť takéto veci, a

o tom, čo tu vôbec robíme, pretože to bude dosť

dôležité v okamžiku, keď sa začnčmč baviť o integrácii povrchov.

A najťažšia vec na tom všetkom bude

si to celé predstaviť.